3.2.1函数单调性与最大（小）值第1课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性   一、教学目标 1．理解函数单调性的概念，明确函数的单调性是局部概念，能够准确判断函数在给定区间上的单调性，区分函数的单调区间和在某区间单调两个概念； 2．掌握定义法、图象法等方法判断函数单调性，理解增（减）函数的定义，掌握用定义法证明函数单调性； 3．通过对具体函数单调性的分析，培养学生观察、分析、归纳能力，在证明函数单调性的过程中，提高学生的逻辑推理能力和数学表达能力； 4．引导学生运用数形结合的思想方法，理解函数单调性，培养学生的综合思维能力．   二、教学重难点 重点：函数的单调性. 难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性.   三、教学过程 （一）创设情境 下图为某城市一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，请同学播报一下该天的气温状况. 师生活动：教师给出气温变化图，并引导学生从图象中获取有用信息，为了突出单调性的主题，教师强调从0点到2点，气温逐渐降低，从2点到14点，气温逐渐升高...... 设计意图：使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：函数的单调性定性分析. 思考：给出三个函数图象，请问它们有什么特点或变化规律？分别反映了相应函数的哪些性质？ 答：左边图象从左至右保持上升，中间图象和右边图象从左至右有上升也有下降. 思考: 左边图象从左至右保持上升，这一不变性是函数的什么性质呢？我们在初中学过函数的单调性，当时的描述是：随着的增大而增大（减小）.接下来我们通过函数进一步认识函数的单调性. 探究：当时，随的增大而减小. 用符号语言描述：任取，得到，当时，有，我们说函数在区间上单调递减. 思考：如何比较的大小？ 答：作差法. 当时，，所以. 可以看到，判断的正负，是通过把分解为可以直接确定符号的式子. 探究：时的情况. 先独立思考，再合作交流. 当时，随的增大而增大. 用符号语言描述：任取，得到，当时，有，我们说函数在区间上单调递增. 思考：函数的单调性是怎样的？ 答：根据函数图象，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 师生活动：教师给出函数图象，引导学生认识函数的单调性. 从初中概念入手，结合具体函数整体认识函数的单调性. 设计意图：通过函数图象观察图象特征，引入函数的单调性. 任务2：函数的单调性定义. 【概念形成】 函数的单调性：一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们称为增函数. 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们称为减函数. 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有 （严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 思考：你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 答：在整个定义域内是单调递增的函数：. 在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数：. 思考：单调递增与增函数有什么区别？ 答：单调递增是函数的局部性质，需要指明函数在哪个区间单调递增. 增函数是函数的整体性质，要求函数在整个定义域上单调递增. 思考：函数的单调区间能不能简单合并呢？ 答：不能. 例如，如图所示，函数在区间,0)和都单调递减，我们可以说函数在区间,0)和上单调递减，但不能说在区间,0)上单调递减，或在整个定义域内单调递减，即不能说是减函数. 思考：设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间上单调递增吗？你能举例说明吗？ 答：不能. 对于函数，当时，符合，当时，都有，但是在区间上不是单调递增的. 函数单调性的等价形式：设函数的定义域为，区间：记，都有，则函数在区间上单调递增. 若都有 ，则函数在区间上单调递减. 师生活动：教师给出函数单调性的定义，并引导学生思考需要注意的事项，包括单调递增与增函数的区别、单调区间能否合并等等问题. 设计意图：使学生在接收函数单调性定义的基础上，通过注意事项对函数单调性的理解更加深刻. 任务3：函数单调性的判定. 探究：如何证明函数在某个区间单调递增或递减？ 要求：先独立思考，再合作交流. 答：定义法，具体步骤如下： (1)取值：在区间上任取两个自变量的值，并规定. (2)作差、变形：计算，将分解为若干可以直接确定符号的式子. (3)定号、下结论：确定的符号. 若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减. 总结：通过代数运算（变形）证明数学命题是高中数学学习的重要任务，应该引起足够的重视. 思考：如何快速判断一些函数的单调性，； 答：增+增=增、减+减=减、增－减=增、减－增=减. “增－增”、“减－减”无法确定单调性. （3） 应用举例 例1.画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 解：由图知，函数的增区间为： 函数的减区间为： 例2.函数，若在上是增函数，求的范围. 解： 由二次函数的性质知，在上单调递增，所以，. 例3.根据定义，研究函数的单调性． 解：函数的定义域是．，，且， 则 由，得所以 当时，于是，即这时，是增函数． 当时，于是，即这时，是减函数．  例4.物理学中的玻意耳定律为正常数告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大，试用函数的单调性定义证明． 解：证明：易知函数的定义域为 设，是定义域上的任意两个实数，且， 则 由，得； 由，得． 又，于是，即． 所以函数，是减函数． 例5.根据定义证明函数在区间上单调递增． 解：证明：，，且，有 ． 由，，得，． 所以，又由，得． 于是，即所以，函数在区间上单调递增．  设计意图：巩固知识，强化理解. （四）课堂练习 1.下列函数在区间上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 解：函数，，在上都单调递增，故A、、C错误； 当时，， 因此函数在上单调递减， D正确． 故选：． 2.定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为(    ) A. B. C. D. 解：由题图知：在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为． 故选：． 3.下列函数中，在区间上不是单调函数的是(    ) A. B. C. D. 解：对于，在上单调递增，所以A错误； 对于，在上单调递增，所以B错误； 对于，在上不是单调函数，所以C正确； 对于，，在上单调递增，所以D错误． 故选C． 4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：由题意得解得， 则的取值范围是： 故选：． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$