福建省部分学校2024-2025学年高三上学期质检数学试卷

2024-2025学年福建省部分学校新高考高三(上)质检数学试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.复数,则z的虚部为( ) A. 3 B. C. D. 3.已知等比数列为递增数列,若,,则公比( ) A. B. 6 C. D. 4.已知函数,满足,则实数t的值为( ) A. B. C. 1 D. 2 5.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6.如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱若侧面水平放置时,液面恰好过AC,BC,,的四等分点处,,当底面ABC水平放置时,液面高为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3:2,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 8.某城市采用摇号买车的方式,有20万人摇号,每个月摇上的人退出摇号,没有摇上的人继续进入下月摇号,每个月都有人补充进摇号队伍,每个季度第一个月摇上的概率为,第二个月为,第三个月为,则平均每个人摇上需要的时间为个月. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.已知m,为实数,随机变量,且,则( ) A. B. C. D. 10.如图,在棱长为2的正方体中,点P是正方体的上底面内不含边界的动点,点Q是棱BC的中点,则以下命题正确的是( ) A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P,使得PQ与所成的角为 C. 直线PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若,则P的轨迹的长度为 11.利用不等式“”可得到许多与且有关的结论,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.在中,已知,,点G为的外心,点O为重心,则_. 13.已知,若对任意实数x都有恒成立,则满足条件的一组有序数对为_. 14.已知函数有且只有一个零点,则ab的取值范围为_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知为数列的前n项和,若 求证:数列为等比数列; 令,若,求满足条件的最大整数 16.本小题15分 在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,且满足 求的值; 设,求外接圆的半径. 17.本小题15分 如图所示,AB是的直径,点C是上异于A,B的动点,平面ABC,E,F分别为PA,PC的中点. 求证:平面PBC; 若,二面角的正弦值为,求 18.本小题17分 已知椭圆C:的离心率为,且经过点 求椭圆C的标准方程; 过点作直线l与椭圆相交于A,B两点,试问在x轴上是否存在定点Q,使得两条不同直线QA,QB恰好关于x轴对称,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由. 19.本小题17分 已知 将,,x,按由小到大排列,并证明; 令,求证:在内无零点. 答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键,难度较易,属于基础题. 由集合A与集合B,找出两集合的交集即可选出正确答案. 【解答】 解:集合,, 其中集合A中的,0,1三个数在集合B内,,2不在集合B内. 故, 故选:D 2.【答案】B 【解析】解:复数,故z的虚部为 故选: 利用复数的计算法则可解. 本题考查复数运算,属于基础题. 3.【答案】D 【解析】解:因为等比数列为递增数列,,, 所以,, 故选: 由已知结合等比数列的性质及单调性即可求解,,进而可求公比 本题主要考查了等比数列的性质的应用,属于基础题. 4.【答案】B 【解析】解:, 即,则 故选: 将x的值依次代入解析式,解出t的值即可求解. 本题主要考查了函数值的求解,属于基础题. 5.【答案】D 【解析】解:根据,可得,整理得, 根据正弦定理,化简得, 因为,所以, 整理得,所以或, 结合A、B、C都是三角形的内角,得或, 所以等腰三角形或直角三角形. 故选: 根据正弦定理和三角恒等变换公式化简题中的等式,得到或,进而得出A为直角或,由此判断出的形状. 本题主要考查了三角恒等变换公式、正弦定理、三角形形状的判断等知识,属于中档题. 6.【答案】B 【解析】解:设当底面ABC水平放置时,液面高为h, 依题意,侧面水平放置时, 液面恰好过AC,BC,,的四等分点处,, 所以水的体积, 解得 故选: 利用等体积法列方程,由此求得正确答案. 本题考查直三棱柱的结构特征、等体积法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 7.【答案】C 【解析】解:由题意可知,2 c::2,则c::2,设,则, 所以,故C的离心率为 故选: 设,由已知可得,进而可求离心率. 本题考查双曲线的离心率的求法,是基础题. 8.【答案】C 【解析】解:设X表示摇上需要的时间,则X可能取1,2,3,⋯,10, 则,, ,, ,…, ,,…, 故; ; 则; 故 ; 即, 当时,,,, 故平均每个人摇上需要的时间为9个月. 故选: 表示每个人摇上需要的时间及其对应概率后,借助期望公式与错位相减法计算即可得. 本题考查离散型随机变量的期望的求解,函数极限的求解,属中档题. 9.【答案】AB 【解析】解:随机变量,且, 则, 故,故A正确; ,故B正确; , 则,故C错误; 当,时,满足,但,故D错误. 故选: 根据已知条件,结合正态分布的对称性,求出,再结合基本不等式的公式,即可求解. 本题主要考查正态分布的对称性,以及基本不等式的公式,属于基础题. 10.【答案】ACD 【解析】解:对于A,定值,故A正确; 以为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,设, 则, 对于B,, PQ与的夹角满足,故B错误; 对于C,平面的法向量为, 直线PQ与平面所成的角的正弦值为,故C正确; 对于D,,, 由可得, 化简可得, 在平面内,令,得, 令,得, 所以P的轨迹的长度为,D正确. 故选: 对于A:利用等体积转换即可求得体积为定值; 对于B:建立空间直角坐标系,设,得出,,利用向量夹角公式即可求解; 对于C:求出平面的法向量为,利用向量夹角公式即可求解; 对于D:由可得,即可求解. 本题考查等体积法求体积以及空间向量的应用,属于中档题. 11.【答案】ABD 【解析】解:依题意,不等式,当且仅当时,等号成立, 对于A,易知 , 令中的, 所以, 故, 所以,A正确; 对于B,将x替换为,可得,当且仅当时等号成立. 令, 可得,所以, 故, 得, 所以,所以B正确; 对于C,当时,,选项C错误; 对于D,等价于证明,将中的x替换为,其中,, 则,则, 故,当且仅当时,等号成立, 则,D正确. 故选: 易知不等式,当且仅当时,等号成立,对于A,令,易得结论;对于B,由,易得结论;对于C,举反例易判断;对于D,证明,即可判断. 本题考查归纳推理,考查运算求解能力,属于中档题. 12.【答案】 【解析】解:设BC的中点为D,连接AD,GD, 由点G为的外心,可得, 由点O为重心,可得, 故 故答案为: 设BC的中点为D,根据三角形外心性质,得,由重心性质,得,再根据数量积运算即可求得结论. 本题考查平面向量数量积运算,考查三角形外心和重心性质,属中档题. 13.【答案】或 【解析】解:因为对任意实数x都有恒成立, 所以函数的周期相同, 当时,则有,, 又因为 所以,, 当时,则有, 所以,, 所以,, 又因为 所以,, 所以有序数对为或 故答案为:或 由题意可得函数与的周期相同,分、结合三角函数的性质求解即可. 本题考查了三角函数的性质及分类讨论思想,属于中档题. 14.【答案】 【解析】解:依题意得与只有一个交点,即两曲线相切, 则只有一个解, , 即, 化简得,将其代入, 得, , , 即, ,,, 则, 设, 则, 在单调递减, , , 的取值范围是 故答案为: 由题意可得只有一个解,从而可得,,设,利用导数求解即可. 本题考查了转化思想、对数函数、指数函数的性质,考查了导数的综合运用,属于难题. 15.【答案】解:证明:由可得, 当时,,解得, 当时,,即, 则 ,即, 即,即, 又, 所以数列是首项为6,公比为2的等比数列. 由得,则, 设, 则 令,得, 即,即, 又,,, 所以满足条件的最大整数为n为 【解析】利用与的关系式可得,即,即可得证. 由可得,则,设,根据等比数列的前n项和公式可得,令,结合,即可求解. 本题考查数列的通项与求和的关系,以及等比数列的通项公式、求和公式,考查转化思想和运算能力,属于中档题. 16.【答案】解:由,结合正弦定理,得 因为,所以 由余弦定理,得, 所以,所以, 即, 整理,得, 解得舍负 由,,得 又,所以是边长为1的正三角形. 由,知A,B,D三点共线,且 由,知A,C,E三点共线,且 在中,由余弦定理,得,所以 由正弦定理,得, 所以,即外接圆的半径为 【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解; 先结合向量共线定理,结合余弦定理可求DE,然后结合正弦定理即可求解. 本题主要考查了正弦定理,余弦定理及向量共线定理的应用,属于中档题. 17.【答案】解:证明:由平面ABC,知, 由AB是的直径,知, , 平面PBC, 由E,F分别是PA,PC的中点,知, 平面 以C为原点,CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,则, 设,,且, 易知平面PAC的一个法向量, 设平面PAB的一个法向量,则 则,即 取,得,,则, 二面角的正弦值为,则其余弦值为, , 又,, 解得, 故 【解析】根据已知条件,结合线面垂直的判定定理即可得证; 建立空间直角坐标系,分别求出平面PAC和平面PAB的一个法向量,利用向量夹角公式即可求解. 本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用,属于中档题. 18.【答案】解:由题意, ,解得 椭圆C的标准方程为; 在x轴上假设存在点Q,使得QA,QB恰好关于x轴对称, 设,, 再设直线l:,, 联立,得 则,, 由,可得, 即, 可得 则,得,即 故在x轴上是否存在定点,使得两条不同直线QA,QB恰好关于x轴对称. 【解析】由题意列关于a,b,c的方程组,求解a,b,c的值,则椭圆方程可求; 在x轴上假设存在点Q,使得QA,QB恰好关于x轴对称,设,,再设直线l:,,联立直线方程与椭圆方程,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系结合列式求解t得结论. 本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查运算求解能力,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题. 19.【答案】解:设,则,设,则, 因为时,恒成立. 所以在上单调递增,即在上单调递增; 所以, 所以在上单调递增, 从而, 即时,恒有成立. 又,由,知, 所以,即, 综上, 证明:要证在内无零点,只需证 由知,, 只需证, 即证,即证, 令,则,设,则, 当时,有,所以在上单调递增, 即在上单调递增,所以, 从而在上单调递增,所以, 所以在内无零点. 【解析】设,求函数的导数,利用导数判断函数的单调性,求出在上的最小值,利用最小值大于0,判断,再判断,即可得出结论. 要证在内无零点,只需证,由知,只需证,由此构造函数求解即可. 本题考查了导数的综合应用问题,也考查了函数与不等式的应用问题,是难题. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$