精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题 高一数学 2024.11 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码 2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（用2B铅笔填涂），非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm黑色签字笔作答），在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】由题意集合，， 根据并集的定义可知，. 故选：C 2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 3. 设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，利用，即可求出结果. 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以当时，. 故选：B. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出的定义域，结合，求出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为， 又因为，即， 所以函数的定义域为， 故选：A. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得和2是方程的两个根，且，利用韦达定理可得，代入所求不等式化简即可求出. 【详解】因为不等式的解集为， 和2是方程的两个根，且， 所以，可得， 则不等式化为， 由，则可整理得，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 7. 命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值集合，然后通过集合间的包含关系判断即可. 【详解】由题意，在单调增函数， 当时，满足题意，当时，二次函数开口向上，对称轴为，所以，则， 因此，，设集合； 由题意，在上为增函数， 则，解得，设集合； 因为集合是集合的真子集，则命题是命题的必要不充分条件， 故选：B. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立； 故选：B. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中有多项是最符合题意的. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AC，利用特例法判断B，利用作差法判断D. 【详解】对于A，可知，不等式两侧同乘以，有，故A正确； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，由，知，，由不等式同向可加性的性质知C正确； 对于D，利用作差法知，由，， 知，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 关于函数性质描述，正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图象关于原点对称 D. 在定义域上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于函数， 由，解得或， 综上所述，的定义域是，A选项正确. 当时，，单调递增. 当时，，单调递增. 所以的值域为，所以B选项错误. 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 故，函数为奇函数，的图象关于原点对称；所以C选项正确. 的单调递增区间是、， 但不能说在定义域上单调递增，所以D选项错误. 故选：AC 【点睛】关键点睛：本题的关键在于先求出函数定义域，结合定义域化简函数解析式，在这一前提下，才能比较容易判断函数的奇偶性，单调性，值域，否则此题就会容易做出错误判断. 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（  ）． A. ； B. ； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一次函数，且满足，请写出符合条件的一个函数解析式______． 【答案】或（写一个即可） 【解析】 【分析】利用待定系数法，即可求解. 【详解】设，故， 因此且，解得或， 故或， 故答案为：或（写一个即可） 13. 有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人). 考点：元素与集合的关系. 14. 设为正实数，，，则____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算法则求解即可； （2）利用对数的运算法则和换底公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知函数 （1）求的值； （2）若，用单调性定义证明：函数在上是减函数． 【答案】（1） （2）证明：由题意可得， 且， ， 因为，所以，，， 所以，即， 因此函数在上是减函数． 【解析】 【分析】（1）先根据函数解析式求出的值，代入即可求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 略 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】（1） （2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【解析】 【分析】（1）由分段代入计算即可得. （2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 所以的函数解析式为. 【小问2详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号，则， 而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 18. 已知函数为定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. 【小问2详解】 解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以． 不等式，即， 得在有解，所以且，即 【小问3详解】 解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的最小值. （2）若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，最小值为；当时，最小值为. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求解即可； （2）按的不同取值，结合二次函数的图象和性质讨论的单调性，进而即可求解； （3）由题意可得在上函数的图象应在的下方，当或时，结合函数图象检验不满足条件，当时，有，由此求得的范围即可. 【小问1详解】 由题意可得， 若，则由二次函数的图象和性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，令解得， 所以当时，最小值为；当时，最小值为. 【小问2详解】 由（1）得当时，在上单调递增，在上既无最大值也无最小值. 当时， 在、上单调递减，在上单调递增， ，， 令，解得， 令，解得， 故在上既有最大值又有最小值，、需满足：，. 【小问3详解】 由（1）得， 不等式的解集为，若， 则在上函数的图象应在的下方， 当时，显然不符； 当时，的图象是把的图象向左平移个单位，结合图象可知其图象不可能在的图象下方； 当时，结合图象，要使在上，函数的图象应在的下方，只要即可， 即，化简得， 解得，故此时的范围为， 综上可得，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题 高一数学 2024.11 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码 2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（用2B铅笔填涂），非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm黑色签字笔作答），在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　 　） A. B. C. D. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中有多项是最符合题意的. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 关于函数性质描述，正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图象关于原点对称 D. 在定义域上是增函数 11. 用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（  ）． A. ； B. ； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 若，则 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是一次函数，且满足，请写出符合条件的一个函数解析式______． 13. 有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人. 14. 设为正实数，，，则____________． 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1） （2） 16. 已知函数 （1）求的值； （2）若，用单调性定义证明：函数在上是减函数． 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 18. 已知函数为定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的最小值. （2）若函数在上既有最大值又有最小值，试探究、分别满足的条件（结果用表示）． （3）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $