5.2《解一元一次方程》教案 2024--2025学年人教版七年级数学上册

5.2 解一元一次方程 第1课时：利用合并同类项解一元一次方程 【素养目标】 1.会正确利用合并同类项解ax+bx=c类型的一元一次方程. 2.通过解一元一次方程,体会解方程中的化归思想. 【教学重点】建立方程解决实际问题,会解ax+bx=c类型的一元一次方程. 【教学难点】根据实际问题建立方程模型. 【教学过程】 活动一:回顾旧知,引入新知 [设计意图] 回顾等式的性质与合并同类项的法则,为解方程的学习作准备. 【回顾导入】 1.上节课我们学习了利用等式的性质解方程,请大家说一说等式的性质有哪些? (可让学生回答,课堂上一起回顾) 2.合并下列各式的同类项: (1)a+2a-4a;(2)-6xy-5+2yx+xy-3. (1)-a;(2)-3xy-8.[教学提示] 回顾旧知时,教师应关注学生是否忘记等式性质中“同一个数”;合并同类项,要关注学生是否能准确识别同类项,是否漏掉了负号. 活动二:交流讨论,学习新知 [设计意图] 学习利用合并同类项解一元一次方程. 探究点 利用合并同类项解一元一次方程 (教材P120问题1)某校三年共购买计算机140台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍.前年这所学校购买了多少台计算机? 问题1 你能根据题意列出方程吗? 设前年购买计算机x台,则去年购买计算机2x台,今年购买计算机4x台.根据“三年共购买计算机140台”,可以得到如下相等关系: 前年购买量+去年购买量+今年购买量=140. 列得方程 x+2x+4x=140. 问题2观察方程,等号左边有3个含x的未知数项,不能直接利用等式性质解这个方程.我们可以利用什么知识,将这个方程转化一下,以便顺利地求解呢? 利用合并同类项的法则,把含有x的项合并同类项,得 7x=140. 问题3你能进一步求出方程的解吗? 系数化为1,得 x=20. 因此,前年这所学校购买了20台计算机. 思考(教材P120思考)上面解方程中“合并同类项”起了什么作用? 合并同类项是一种恒等变形,通过合并同类项,减少项数,进而将方程转化为更接近x=m的形式. 【对应训练】 教材P121练习第2题.[教学提示] 给学生说明,“系数化为1”指使方程由ax=b(a≠1)变形为x=m,它的依据是等式的性质2. 系数化为1时,要避免出现以下几种错误:(1)颠倒除数与被除数的位置;(2)忽略未知数系数的符号. [教学提示] 结合解方程的过程,让学生思考有关步骤(合并同类项)的作用,是为了反复渗透“解方程就是要使方程不断向x=m(常数)的形式转化”的化归思想. 【教学过程】 活动三:熟练运用,巩固提升 [设计意图] 巩固用合并同类项解一元一次方程的方法,强化运算能力. 例1(教材P120例1)解下列方程: (1)2x-5/2x=6-8; (2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3. 例2(教材P121例2)有一列数1,-3,9,-27,81,-243,…,其中第n个数是(-3)n-1(n>1).如果这列数中某三个相邻数的和是-1701.这三个数各是多少? 分析:数的排列规律:后一个数=-3×前一个数. 某三个相邻数的和:前面的数+中间的数+后面的数=-1701. 解:设所求三个数中的第1个数是x,则后两个数分别是-3x,9x. 由三个数的和是-1701,得x-3x+9x=-1701. 合并同类项,得7x=-1701.系数化为1,得x=-243.所以-3x=729,9x=-2187. 答:这三个数是-243,729,-2187. 【对应训练】 教材P121练习第1,3题.[教学提示] 给学生总结:例1中,解一元一次方程时,同类项有两类,即含未知数的一次项和常数项.这两类都需要合并. [教学提示] 让学生认识到:用一元一次方程解含多个未知数的问题时,通常先设其中一个为x,再根据其他未知数与x的关系,用含x的式子表示这些未知数. 活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.今天我们学习的解方程,有哪些步骤? 2.解一元一次方程时,合并同类项起了什么作用? 3.系数化为1的依据是什么? 4.含多个未知数时,怎样设未知数､列方程? 【作业布置】 1.教材P130习题5.2第1(1)(2),14题. 【教学后记】 第2课时：利用移项解一元一次方程 【素养目标】 1.能从实际问题中找出相等关系,并列一元一次方程,培养抽象能力. 2.能利用移项､合并同类项解形如ax+c=bx+d的方程,强化运算能力. 【教学重点】利用移项､合并同类项解形如ax+c=bx+d的方程. 【教学难点】实际问题中找出相等关系,构建方程模型解决问题. 【教学过程】 活动一:回顾旧知,引入新知 [设计意图] 通过合并同类项遇到的问题,引出移项的新课题. 【课堂引入】 你能利用等式的性质解下列方程吗? (1)x=3x+2;(2)x-2=6-x;(3)0.5x+1=1.2x-4. 显然解这些方程的第一步不是合并同类项,因为在这些方程中,同类项分别分布在等号的两边,不能直接合并,那么怎么才能进行合并同类项呢? 下面我们就来开始今天的学习——移项.[教学提示] 让学生结合等式的性质1,想想为了合并同类项,在等式的两边应该加减什么. 活动二:对比学习,探究新知 [设计意图] 加强根据实际问题列方程的能力. 探究点 利用移项解一元一次方程 (教材P122问题2)把一批图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则剩余20本;若每人分4本,则缺25本.这个班有多少名学生? 问题1设这个班有x名学生.应如何列方程呢? 每人分3本,共分出3x本,加上剩余的20本,这批书共(3x+20)本; 每人分4本,需要4x本,减去缺的25本,这批书共(4x-25)本. 这批书的总数是一个定值,表示它的两个式子应相等,根据这一相等关系列得方程3x+20=4x-25. 问题2方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25),怎样才能把它转化为x=m(常数)的形式呢?请你用等式的性质试一试. 为了使方程的右边没有含x的项,等式两边减4x,利用等式的性质1,得 3x+20-4x=-25. 为了使方程的左边没有常数项,等式两边减20,利用等式的性质1,得 3x-4x=-25-20. 问题3把方程3x-4x=-25-20与原方程作比较,请你用自己的语言描述其中的变化. 这个变形相当于 即把原方程左边的20变为-20移到右边,把右边的4x变为-4x移到左边.[教学提示] (1)本题属于中国古代数学中所说的“盈不足问题”.(2)可以给学生总结,列这个方程依据的是“表示同一个量的两个不同的式子相等”. 【教学过程】 问题4 把某项从等式的一边移到另一边时,这项有什么变化? 该项系数的符号变了. [设计意图] 通过比较,找出区别,引入移项的概念. 概念引入: 问题5请你继续解方程3x-4x=-25-20. 合并同类项,得-x=-45.系数化为1,得x=45. 由上可知,这个班有45名学生. 思考(教材P123思考)上面解方程中“移项”起了什么作用? 通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左､右两边,使方程更接近于x=m(常数)的形式. 【对应训练】 教材P124练习第2,3题.[教学提示] 移项法则是根据等式的性质1得出的.教学中应展现得出移项法则的过程,说明移项“变号”的道理,体现移项法则的合理性,引导学生在理解道理的基础上记忆移项法则. 活动三:运用新知,巩固提升 [设计意图] 展现利用移项解方程的步骤. [设计意图] 巩固用方程解决实际问题的能力. 例1(教材P123例3)解下列方程: (1)3x+7=32-2x;(2)x-3=3/2x+1. 解:(1)移项,得3x+2x=32-7.合并同类项,得5x=25.系数化为1,得x=5. (2)移项,得x-3/2x=1+3.合并同类项,得-1/2x=4.系数化为1,得x=-8. 方法归纳: 例2(教材P123例4)某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100t.新､旧工艺的废水排量之比为2∶5,采用两种工艺的废水排量各是多少吨? 分析提问: (1)说一说本题中什么量是一定的?根据题意你能得出怎样的相等关系? 环保限制的最大废水排量是一定的. 相等关系:旧工艺废水排量-200=新工艺废水排量+100. (2)由“新､旧工艺的废水排量之比为2∶5”,你认为可以如何设未知数? 可设新工艺的废水排量为2xt,旧工艺的废水排量为5xt. 根据前面的分析求出两种工艺下的废水排量. 解:设采用新､旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得 5x-200=2x+100. 移项,得5x-2x=100+200. 合并同类项,得3x=300. 系数化为1,得x=100. 所以2x=200,5x=500. 答:采用新､旧工艺的废水排量分别为200t和500t. 【对应训练】 教材P124练习第1,4题.[教学提示] 提醒学生注意: (1)方程中的项是连同它前面的符号的,不要忽略,移项要变号. (2)移项时,应使含未知数的项集中于方程一边,常数项集中于另一边. [教学提示] (1)本题中涉及两个量的比,在设未知数时应利用这种比的关系使要求的量的形式尽可能简单易算. (2)求出x的值后,还要进一步求出题中要求的量. 活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.如何根据同一个量的不同表示方法列方程? 2.移项的依据是什么?移项应注意什么? 3.如何利用移项､合并同类项的方法解方程? 【作业布置】 1.教材P130习题5.2第1(3)(4),4(1)(2),6,8,10题. 【教学后记】 第3课时 利用去括号解一元一次方程 【素养目标】 1.会解含有括号的一元一次方程. 2.知道解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”,把“未知”转化为“已知”的过程. 【教学重点】利用去括号解一元一次方程. 【教学难点】利用去括号解一元一次方程. 【教学过程】 活动一:回顾旧知,引入新知 [设计意图] 为后面学习去括号解方程作准备. 【知识回顾】 1.在前面的课时我们学习了一元一次方程的解法,当中有哪几个步骤? 移项､合并同类项､系数化为1. 2.你能快速求出方程6x-7=4x-1的解吗? 移项,得6x-4x=-1+7.合并同类项,得2x=6.系数化为1,得x=3. 3.去括号: (1)(3a+2b)+(6a-4b);原式=3a+2b+6a-4b. (2)(-3a+2b)-3(a-b);原式=-3a+2b-3a+3b. (3)-(5a+4b)+2(-3a+b).原式=-5a-4b-6a+2b. 今天我们将在以上知识的基础上学习新的解方程的方法.[教学提示] 提醒学生注意: (1)移项时要变号. (2)去括号注意两点:①如果括号外的数是负数,去括号后,原括号内各项都要改变符号;②将括号前的乘数与括号内的式子相乘时,乘数应乘括号内的每一项,不要漏乘. 活动二:交流讨论,探究新知 [设计意图] 继续强化根据实际问题建立方程模型的能力,并引出带有括号的一元一次方程,学会求其解 探究点 利用去括号解一元一次方程 (教材P124问题3)某工厂采取节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2000kW·h(千瓦时),全年的用电量是150000kW·h.这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少? 问题1 设去年上半年平均每月的用电量是xkW·h,请你根据题意说一说相等关系是怎样的?并列出方程. 问题2我们前面学过了用移项､合并同类项的方法解一元一次方程,对于这个方程,如果要用我们前面学过的知识求解,你觉得需要先对方程作怎样的变形? 将方程中的括号去掉. 问题3请你结合去括号的知识,解这个方程.[教学提示] 让学生对比本节课与上节课解方程的过程,体会其中增加的步骤. 【教学过程】 方程左边去括号,得6x+6x-12000=150000. 移项,得6x+6x=150000+12000. 合并同类项,得12x=162000. 系数化为1,得x=13500. 由上可知,这个工厂去年上半年平均每月的用电量是13500kW·h. 【对应训练】 教材P126练习第2题. 活动三:巩固提升,灵活运用 [设计意图] 规范展现利用去括号解一元一次方程的过程. [设计意图] 构建方程模型解决涉及顺､逆水的行程问题,并进一步展现去括号等解方程的步骤. 例1(教材P125例5)解下列方程: (1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3). 解:(1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2. 移项,得2x-x-5x-2x=-2+10. 合并同类项,得-6x=8. 系数化为1,得x=-4/3. (2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6. 移项,得3x-7x+2x=3-6-7. 合并同类项,得-2x=-10. 系数化为1,得x=5. 例2(教材P125例6)一艘船从甲码头到乙码头顺水而行,用了2h;从乙码头返回甲码头逆水而行,用了2.5h.已知水流的速度是3km/h,求船在静水中的平均速度. 问题1这道题中哪一个量是不变的? 这艘船往返的路程. 问题2根据题意你能得出怎样的相等关系? 顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间. 问题3题中涉及顺水､逆水因素,这类问题中又有哪些基本相等关系? 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 问题4根据前面的分析,求出船在静水中的平均速度. 解:设船在静水中的平均速度为xkm/h,则顺水速度为(x+3)km/h,逆水速度为(x-3)km/h. 根据往返路程相等,列得方程 2(x+3)=2.5(x-3). 去括号,得2x+6=2.5x-7.5. 移项及合并同类项,得-0.5x=-13.5. 系数化为1,得x=27. 答:船在静水中的平均速度为27km/h. 【对应训练】 教材P126练习第1,3题.[教学提示] 请两个学生上台板演,其他学生独立完成解方程,教师讲解正确的解题步骤,提醒学生注意去括号时符号的变化规律,以减少解方程中的运算错误. [教学提示] 教学时,教师要引导学生知晓: (1)找到一个不变的量,这个不变的量能以不同式子表示,是列方程的核心. (2)在匀速运动中,“路程=速度×时间”是基本的相等关系. 活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.解带括号的一元一次方程时,步骤有哪些? 2.去括号时要注意什么? 3.在行程问题中,涉及顺､逆水问题时,速度分别是怎样计算的? 【作业布置】 1.教材P130习题5.2第2,4(3),7,11,13题. 【教学后记】 第4课时 利用去分母解一元一次方程 【素养目标】 1.通过去分母解一元一次方程,归纳解一元一次方程的一般步骤,全面掌握解一元一次方程的方法. 2.会将含有分数系数的方程化成整数系数的方程并求解,体会化归的思想. 3.从实际问题中构建方程模型,用一元一次方程求解. 【教学重点】掌握解一元一次方程中“去分母”的方法,并会解这种类型的方程. 【教学难点】正确去分母;在稍复杂的实际问题中正确构建方程模型. 【教学过程】 活动一:回顾旧知,引入新知 [设计意图] 去括号､等式的性质2､最小公倍数等内容,为去分母的学习作准备. 【回顾导入】 问题1去括号时应该注意什么? 去括号时要用括号外的数乘括号内的每一项,且符号不要出错. 问题2等式的性质2是怎样叙述的? 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c. 问题3说一说下面三组数的最小公倍数: (1)6,3,4;(2)2,4,5;(3)3,4,12. (1)12;(2)20;(3)12.[教学提示] 让学生回答问题,教师适当补充与纠正. 活动二:交流讨论,探究新知 [设计意图] 引出含分数系数的一元一次方程,并求解,使学生用一元一次方程解决实际问题的能力更全面. 探究点 去分母解一元一次方程 问题1(教材P126问题4)如图,翠湖在青山､绿水两地之间,距青山50km,距绿水70km.某天,一辆汽车匀速行驶,途经王家庄､青山､绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远? (1)本题中,哪一个量是不变的? 汽车行驶的速度. (2)结合题意和问题(1),你认为本题中有怎样的相等关系? 王家庄至青山的行驶速度=王家庄至绿水的行驶速度. (3)结合问题(1)(2),若设王家庄距翠湖的路程为xkm,试着填写下面的表格,并列出方程 (4)你还能列得其他方程吗? ②根据等式的性质2,等式两边乘同一个数,结果仍相等.我们在等式两边乘一个怎样的数,可以去掉分母,将分数系数变成整数系数? 乘3,5的最小公倍数15. ③请你按照上面的思路,将原方程化为整数系数的方程. 方程两边都乘15,得5(x-50)=3(x+70). ④请你进一步求出方程的解. 去括号,得5x-250=3x+210. 移项,得5x-3x=210+250. 合并同类项,得2x=460. 系数化为1,得x=230. 因此,王家庄距翠湖的路程为230km. [教学提示] (1)给学生说明:选择方程中各分母的最小公倍数作为方程两边同乘的数,既能约去分母,又能使所乘的数最小,因此一般采用这种方法. (2)去分母解方程时须注意:①先确定各分母的最小公倍数;②不要漏乘没有分母的项;③去掉分母后,若分子是多项式,要加括号,视多项式为一个整体;④去分母与去括号这两步要分开写,不要跳步,避免出错. [教学提示] 1)让学生将本节课解方程的步骤与前面课时中解方程的步骤进行比较,看看它们有什么相同之处和不同之处. (2)给学生强调:解一元一次方程时,应灵活运用一般步骤中的各种做法,采取哪些步骤要看解什么样的方程,各种步骤都是为使方程向x=m的形式转化. 【教学过程】 [设计意图] 规范地展现解一元一次方程的一般步骤,同时巩固学生解方程的能力追问 你能说出上面解方程过程中每个步骤的依据吗? 归纳 例(教材P128例7)解下列方程: (1)(x+1)/2-1=2+(2-x)/4;(2)3x+(x-1)/2 =3-(2x-1)/3. 解:(1)去分母(方程两边乘4),得2(x+1)-4=8+(2-x). 去括号,得2x+2-4=8+2-x. 移项,得2x+x=8+2-2+4. 合并同类项,得3x=12.系数化为1,得x=4. (2)去分母(方程两边乘6),得18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2. 移项,得18x+3x+4x=18+2+3. 合并同类项,得25x=23. 系数化为1,得x=23/25. 【对应训练】 教材P129练习第1,3题. [教学提示] 提醒学生:方程中写在同一条分数线上下的部分,可以被认为是一项.例如,在方程(x+1)/2-1=2+(2-x)/4;中,可以认为左､右两边各有两项,它们分别是(x+1)/2,-1和2,(2-x)/4 活动三:知识升华,巩固提升 [设计意图] 通过实际问题构建方程模型,并巩固用去分母解一元一次方程的能力. 例 为丰富学生的课余生活,某校开展多彩的社团活动,每位同学可报名参加1个社团.刘伟在报名前向班长询问同学们的报名情况,班长说:“我们班有1/3的同学参加文学社团,2/7的同学参加科技社团,1/6的同学参加体育社团,7名同学参加艺术社团,就剩下你和请假缺勤的李明没有报名了.”全班共有多少名学生? 解:设全班共有x名学生. 根据题意,得x/3+2x/7+x/6+7+2=x. 去分母(方程两边乘42),得14x+12x+7x+294+84=42x.移项,得14x+12x+7x-42x=-294-84. 合并同类项,得-9x=-378. 系数化为1,得x=42. 答:全班共有42名学生. 【对应训练】 教材P129练习第2题.[教学提示] 提醒学生:从实际问题构建方程模型时,数量关系要找准,如例题中,列式表示全班学生人数时要准确无误. 活动四:随堂训练,课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.去分母时应该在方程两边乘一个什么样的数? 2.去分母时要注意什么? 3.解一元一次方程的一般步骤有哪些? 【作业布置】 1.教材P130习题5.2第3,4(4),15,16,17题. 【教学后记】 1 学科网（北京）股份有限公司 $$