精品解析：湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟利川一中 命题人：杨胜端 董坤 考试满分：150分 考式用时：120分钟 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线 B. 若，则 C. 若异面且，则 D. 若，则直线可能两两相交且不过同一点 8. 设函数，下列命题正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 当时，的最大值为 C. 的最小值与的取值无关 D. 的最大值与的取值无关 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有2个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥．则成立 B. 若事件两两独立．则成立 C. 若事件相互独立．则与不一定相互㹨立 D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 11. 记为圆的圆心．H为轴上的动点．过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 直线过定点 C. 存在点，使得 D. 四边形HMCN的面积的最小值为 三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______． 13. 已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为______． 14. 在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求； （2）若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 17. 甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为．设各局比赛相互之间没有影响且无平局． （1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率； （2）求甲校以3：1获胜的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 19. 已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为． （1）求的方程． （2）已知直线与轴交于点． ①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； ②求证：为定值，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟利川一中 命题人：杨胜端 董坤 考试满分：150分 考式用时：120分钟 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把数据按顺序排列，再利用百分位数的定义求解即可. 【详解】首先，我们把按顺序排列，得到， 而，故第百分位数是第个数， 则该组数据的第百分位数是，故D正确. 故选：D 2. 若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥表面积公式可得母线长，即可得圆锥的高，然后可得圆锥体积. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，高为h. 由题，，则. 则圆锥体积为. 故选：C 3. 在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】如图，连接，并作的中点， 由题意得， 因为为上靠近点的三等分点，为的中点， 所以，故A正确. 故选：A 4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举法先确定该两位数的个数，根据古典概型计算即可. 【详解】由题意可知组成的两位数有：共12个数， 能整除3的有：共4个，所以相应概率为. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式将已知条件化简，用所求角度和已知角度的关系，将转化为已知角度关系，再用余弦的二倍角公式求出结果. 【详解】由辅助角公式，， . 因， 则， . 故选：B. 6. 已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】作出曲线对应的曲线，将看作曲线C上的点到直线的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最大值，即可求得答案. 【详解】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称； 由于时，曲线的方程为，即， 故结合曲线对称性，作出曲线C如图： 而表示曲线C上的点到直线的距离， 可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最小值为， 当时，曲线的方程为，即， 此时d的最大值为， 故的最小值与最大值之和为， 所以的最小值与最大值之和为， 故选：C． 7. 已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线 B. 若，则 C. 若异面且，则 D. 若，则直线可能两两相交且不过同一点 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论所有情况判断A，举反例判断B，合理作出图形，利用面面平行的判定定理判断C，先假设直线交于一点，再作图并利用相交直线的性质求解即可判断D. 【详解】对于A，我们要讨论平面和直线的关系， 当时，平面内一定存在和直线垂直的直线， 当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线； 当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直； 当直线与平面相交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直， 故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误； 对于B，当时，一定有或相交，故B错误； 对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面， 使得，，所以， 而，，故， 因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确； 对于D，如图， ，，，. ∵直线和不平行，相交. 设，则， . 又. 三条直线相交于同一点，故D错误， 故选：C 8. 设函数，下列命题正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 当时，的最大值为 C. 的最小值与的取值无关 D. 的最大值与的取值无关 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、B，利用同角三角函数的平方关系及二倍角公式化简函数式结合三角函数的周期、值域计算即可；利用A、B的结论可判定C、D. 【详解】若，此时 ，此时函数的周期为，故A错误； 若，此时显然，当时，，故B错误； 其实此时 ； 由A、B知与时函数的最小值变化，最大值不变， 而时，，故C错误； 不妨设，则， 则， 易知单调递增，由复合函数单调性知也递增， 时， 所以时，即此时单调递减， 时，即此时单调递增， 又，故D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：取具体的较小的数时，利用平方关系及二倍角公式可化简函数式，利用性质判定选项；n不定时利用换元法结合导数判定函数的单调性可确定最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 在上有2个零点 C. 的最大值为 D. 在上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用诱导公式结合函数周期性的定义判断，对于B将给定函数化简后结合余弦函数的性质求解零点个数判断，对于C利用换元法转化为二次函数，再求解二次函数的最值判断，对于D举反例判断即可. 【详解】对于A，因为 ， 所以是的一个周期，故A正确， 对于B，因为， 所以令，解得或， 当时，，故舍去， 当时，而，， ，，由余弦函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论， 当时，得到，所以此时在上存在一个根， 当时，得到，所以此时在上存在一个根， 综上可得在上有2个零点，故B正确， 对于C，令，故可化为， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为， 且，， 故最大值为，即的最大值为，故C正确， 对于D，由题意得，， 所以在上不可能是增函数，故D错误. 故选：ABC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件两两互斥．则成立 B. 若事件两两独立．则成立 C. 若事件相互独立．则与不一定相互㹨立 D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 【答案】AD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A，举反例判断选项B，利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D即可. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C错误； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：AD. 11. 记为圆的圆心．H为轴上的动点．过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 直线过定点 C. 存在点，使得 D. 四边形HMCN的面积的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由图可得，后由小于1可判断选项正误； B选项，取HC中点为D，则MN所在直线为以D为圆心，为半径的圆与圆C的交点弦，两圆方程相减可得MN所在直线方程，即可得所过定点； C选项，等价于判断是否存在H点，使; D选项，四边形HMCN的面积为，设，可得面积关于表达式，求出最值即可判断选项正误. 【详解】由题如图，圆C：，则C，. A选项，如图，由几何知识可知，HC垂直平分MN， 则，因HM与圆C相切， 则是以M为直角顶点的直角三角形， 则，故，则A错误； B选项，设，取HC中点为D，则，. 则圆D：， 与圆C方程相减并化简可得直线MN为：. 令，即直线MN过定点，故B正确； C选项，若，则，又由题可知， 结合，可知此时四边形HMCN为正方形. 则.当与y轴垂直时，最小为3，因， 则不存在相应的H点，使，故C错误； D选项，设四边形HMCN的面积为S， 则. 由题，. 则，当且仅当时取等号. 故D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：设圆的方程为，及一点.若该点在圆上，方程表示过该点的切线；若该点在圆外，方程表示过该点圆的两条切线切点所形成的切点弦方程. 三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及单位向量的概念计算即可. 【详解】由题意可知， 且， 即. 故答案为： 13. 已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知五人的平均身高为， 所以五人身高的方差为. 故答案为： 14. 在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面的周长. 【详解】 如图，取的中点,连接,易得，则, 过点在平面内作,交于点，则； 再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得, 过点在平面内作,交于点，则， 连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行， 同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行， 故五边形即点的正方体的截面. 因则,， 由可得，则有：, 即得：,则,; 又由可得,则有：, 即得：，则 则. 故五边形截面的周长为： 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求； （2）若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，由复数的乘法运算化简已知式，再由复数相等可得，解方程即可得出答案； （2）由题意可知在以为圆心，2为半径的圆上，由圆参数方程表示出，由向量的数量积代入化简结合三角函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 设，则，所以， 即，所以，即． 【小问2详解】 设，在复平面内对应的点为，由知， 在以为圆心，2为半径的圆上， 即， 所以 ， 即的取值范围是． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合正弦和角公式、辅助角公式计算即可； （2）根据（1）的结论及正弦定理用角表示边，结合三角恒等变换先求得，根据三角函数的性质计算值域即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可知，， 因为， 所以， 即． 又，所以． 所以，即或， 即或（舍去）． 【小问2详解】 由（1）得，则，即, 由正弦定理可知， 所以， 因为为锐角三角，所以， 即，则， 即，则. 故的周长的取值范围为． 17. 甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为．设各局比赛相互之间没有影响且无平局． （1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率； （2）求甲校以3：1获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得甲连胜三局或乙连胜三局，据此利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可得答案； （2）由题可得甲在第4局胜，乙在前3局中赢一局，据此利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可得答案. 【小问1详解】 恰好比赛三局，比赛结束的情况如下： 甲校连胜3局，概率为； 乙校连胜3局，概率为． 故恰好比赛三局，比赛结束的概率． 【小问2详解】 甲校以3：1获胜的情况如下： ①前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜， 概率为； ②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜， 概率为． 故甲校以3：1获胜的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点． （1）求证：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为是的中点，是的中点， 所以，又平面平面， 所以平面． （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在平面中，构造与平行的直线，即可由线线平行推出线面平行； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量的数量积求平面的夹角即可； （3）设，用参数表示，根据与平面的法向量平行，即可求得，进而求得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 即，则． 设平面的法向量为，则 令，得，所以可取． 易知平面的一个法向量为． 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知， 则， ． 由（2）知平面的一个法向量可为， 根据题意可得：，即，解得， 又当时，，，则BF的长为． 综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为. 19. 已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为． （1）求的方程． （2）已知直线与轴交于点． ①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； ②求证：为定值，并求出这个定值． 【答案】（1） （2）① ； ②由题意知，直线的斜率一定存在，设， 代入，消得， 则，得到， 不妨设，则， 故， 又， 所以， 故为定值，且定值为. 【解析】 【分析】（1）设，根据条件列方程，化简即可求解轨迹方程； （2）①取的中点，根据题意得，即可求得轨迹方程； ②设直线，代入圆的方程，得到，由韦达定理知，再利用，代入计算可求解. 【小问1详解】 设，由题知，又，， 所以，化简得． 【小问2详解】 ①不妨设曲线的圆心为，所以当不重合时，为直角三角形， 取的中点，则， 当重合时，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆在圆内的部分， 以为圆心，半径为3的圆的方程为， 由，消得， 所以的轨迹方程为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $