2. 3有理数的乘方 教案 2024-2025学年 人教版数学七年级上册

2.3 有理数的乘方 2.3.1 乘方 第1课时：有理数的乘方 【素养目标】 1.理解有理数乘方的意义,知道幂､底数､指数的概念. 2.已知一个数,会求它的乘方,提高运算能力. 3.知道有理数乘方的符号规律. 4.会利用计算器进行乘方运算,进一步提高运用计算工具的能力. 【教学重点】幂､底数､指数的概念及其表示,理解有理数乘法运算与乘方间的联系,处理好负数的乘方运算. 【教学难点】准确理解底数､指数和幂三个概念,并能求负数的正整数次幂. 【教学过程】 活动一:创设情境,导入新课[情境导入] 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个,经过3`h这种细胞由1个能分裂成多少个? 分裂方式如下所示. 以后会遇到很多类似的问题,这涉及数学中的乘方运算,今天我们就来学习这方面的内容.[教学提示] 鼓励学生交流讨论,列式计算,引出本节课要学习的内容. [设计意图] 巧妙地借助科学情境,引发学生的好奇心和求知欲,调动学生的学习积极性,让学生知道数学无处不在,激发学生解决问题的强烈欲望.活动二:问题引入,合作探究 探究点 乘方的意义及算法 问题1 (1)完成下列填空,并说一说这两个式子有什么相同点? (2)这两个过程有什么简单的写法吗?(类比单位的写法) [教学提示] 让学生观察算式特点,使学生明确乘方是乘法的特殊情况. [设计意图] 以问题串的形式,采用从具体到抽象的方法,引导学生理解有理数乘方的意义,并通过例题和练习使学生熟练乘方运算,提高运算能力. 【教学过程】 问题2 类比以上研究,填写下面的表格: (-2)×(-2)×(-2)×(-2) (-2)4 -2的4次方 (-25 )×(-25 )×(-25 )×(-25 )×(-25 ) (-25 )5 -25 的5次方 [教学提示] 教师酌情解释 中“…”再加上“n个”的标示,整体表示“n个a相乘”. [教学提示] 提醒学生:乘方是一种运算,幂是乘方的结果. [教学提示] 对于一个数的情况,可给学生提供一种角度:指数就是指相同乘数的个数,指数是1,就是指只有一个乘数.这种规定可为以后整式次数的讲解做铺垫. [教学提示] 引导学生用多个有理数相乘的符号法则来发现负数的幂的符号规律,用有理数的乘法法则得出正数和0的幂的符号规律,最后总结出有理数乘方的符号规律. 问题3 (-2)4与-24一样吗?为什么? 不一样,(-2)4表示-2的4次方,-(2×2×2×2)记作-24,-24表示2的4次方的相反数. 一般地,n个相同的乘数a相乘,即 ,记作an,读作“a的n次方”. 概念引入: 求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”. 试一试:填一填下面图示中的空. 注意:一个数可以看作这个数本身的1次方.例如,5就是51.指数1通常省略不写. 例1 (教材P51例1) 计算: (1)(-4)3; (2)(-2)4; (3)(-23 )3. 解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64; (2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16; (3)(-23 )3=(-23 )×(-23 )×(-23 )=-827 . 例1变式 计算: (1)(-1)5; (2)(-0.5)2; (3)(-13 )4. 解:(1)(-1)5=(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1)=-1; (2)(-0.5)2=(-0.5)×(-0.5)=0.25; (3)(-13 )4=(-13 )×(-13 )×(-13 )×(-13 )=181 . 思考:(1)结合例1和例1变式,你发现负数的幂的正负与指数有什么关系? 当指数是奇数时,负数的幂是负数; 当指数是偶数时,负数的幂是正数. 【教学过程】 [设计意图](2)如果幂的底数是正数,那么这个幂有可能是负数吗? 不可能,正数的任何次幂都是正数.归纳总结: 根据有理数的乘法法则可以得出: 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; 正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0. 例2 (教材P52例2) 用计算器计算(-8)5和(-3)6. 解:用带符号键 的计算器,有显示结果为-32768; 显示结果为729. 因此,(-8)5=-32`768,(-3)6=729. 【对应训练】 教材P52练习., 让学生了解如何用计算器进行乘方运算,进一步培养学生使用计算工具的意识与能力. 活动三:知识延伸,巩固升华 例3 计算: (1)-(-32 )2; (2)-(-3)3;(3)-(-1A14 )3; (4)(-4)2×(-2)3. 解:(1)-(-32 )2=-[(-32 )×(-32 )]=-94 ; (2)-(-3)3=-[(-3)×(-3)×(-3)]=-(-27)=27; (3)-(-114 )3=-[(-54 )×(-54 )×(-54 )]=-(-12564 )=12564 ; (4)(-4)2×(-2)3=16×(-8)=-128. 【对应训练】 计算:(1)-(-27 )2;(2)-(-6)3; (3)-(-113 )4;(4)(-22)×(-3)3. 解:(1)-(-27 )2=-[(-27 )×(-27 )]=-449 ; (2)-(-6)3=-[(-6)×(-6)×(-6)]=-(-216)=216; (3)-(-1A13 )4=-[(-43 )×(-43 )×(-43 )×(-43 )]=-25681 ; (4)(-22)×(-3)3=(-4)×(-27)=108.[教学提示] 选取学生代表上台板演,其他学生在纸上作答,提醒学生:(1)底数是带分数时可先将带分数化成假分数再计算;(2)对于例3(4)和对应训练的第(4)问,可将幂看作单独的一个数,先算出幂后再来计算乘法. [设计意图] 通过例题和练习帮助学生进一步掌握乘方运算,熟悉负数的幂的符号规律,并为后续的混合运算做铺垫.活动四: 【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.什么是乘方?在乘方中,幂､底数､指数分别指的是什么? 2.怎样计算一个有理数的乘方? 3.有理数的乘方的符号规律是怎样的? 【作业布置】 1.教材P56习题2.3第1,2,7,11,12题. 【教学后记】 第2课时：有理数的混合运算 【素养目标】 1.理解并熟练掌握有理数的混合运算顺序,并会进行简单有理数的混合运算,提升运算能力. 2.利用从特殊到一般的思想,体会从一系列简单有理数中观察总结出规律,增强推理能力. 【教学重点】理解并熟练掌握有理数的混合运算顺序,并会进行简单有理数的混合运算. 【教学难点】 1.从一系列简单有理数中观察总结出规律. 2.熟练并且正确地运用有理数混合运算法则进行运算. 【教学过程】 活动一:创设情境,导入新课 知识回顾还记得我们前面学习过哪些有理数的运算吗?它们相应的法则或规律是怎样的? 符号 计算绝对值 加法 同号取相同的符号 绝对值相加 异号取绝对值较大的加数的符号 绝对值相减 减法 减去一个数,等于加上这个数的相反数 乘法 同号取正 绝对值相乘 异号取负除法 同号取正 绝对值相除 异号取负除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数 乘方 正数的任何次幂都是正数; 负数的奇次幂是负数,偶次幂是正数 [情境导入] 学校圆形花坛里的花快枯萎了,请根据下列几位同学的对话列式: 该怎样列式计算呢? (π×32-12)×9.列出的算式中包含多种运算,该怎样计算出最好的结果呢?今天我们就来学习有理数的混合运算.[教学提示] 指定学生代表回答,教师酌情补充. [教学提示] 引导学生交流讨论,列出式子. [设计意图] 简要回顾之前的知识,为本课的学习做铺垫.[设计意图] 借助生活情境,激发学生学习兴趣,引出有理数混合运算的学习 活动二:问题引入,合作探究 探究点 有理数的混合运算顺序 问题 观察活动一中列出的算式,其中含有哪几种运算?先算什么?后算什么? 有理数的运算级别: 级别 名称 第一级运算 加､减 第二级运算 乘､除 第三级运算 乘方(还有今后学的开方) ①先乘方,再乘除,最后加减; ②同级运算,从左到右进行; ③如有括号,先做括号内的 运算,按小括号､中括号､ 大括号依次进行. 例1 (教材P53例3) 计算: (1)2×(-3)3-4×(-3)+15; (2)(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2). 解:(1)原式=2×(-27)-(-12)+15=-54+12+15=-27; (2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)=-8+42+4.5=38.5. 【对应训练】 教材P54练习.[教学提示] 引导学生交流讨论问题,指定学生代表回答.教师引导学生总结出有理数混合运算的顺序. [教学提示] 指定学生代表上台解答例1和对应训练,教学时注意学生解题过程中出现的问题,及时纠正学生在运算顺序等各方面出现的错误,并提醒学生观察算式能否利用运算律进行简化. [设计意图] 借助活动一中列出的算式,引导学生总结出有理数的混合运算顺序,再通过例题和对应训练让学生掌握有理数的混合运算. 活动三:知识延伸,巩固升华 例2 (教材P53例4) 观察下面三行数: -2,4,-8,16,-32,64,…;① 0,6,-6,18,-30,66,􀆻…;② -1,2,-4, 8,-16,32,…;③ (1)第①行中的数可以看成按什么规律排列? (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系? (3)取每行中的第10个数,计算这三个数的和. 分析:(1) ①:(-2)1,(-2)2,(-2)3,(-2)4,(-2)5,(-2)6,…. (2) 先看①②都含正数的一列,然后验证剩余列. ②:(-2)1+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,(-2)5+2,(-2)6+2,…. ③:(-2)1×12 ,(-2)2×12 ,(-2)3×12 ,(-2)4×12 ,(-2)5×12 ,(-2)6×12 ,…. [设计意图] 引导学生观察总结一系列简单有理数的特点和规律,及不同序列数相应位置之间的关系,加强推理能力,并且巩固所学的新知识.[教学提示] 引导学生从符号和绝对值两方面观察一系列简单有理数,并结合乘方的知识,总结出数和相应序数之间的规律,重点是观察出前面相邻几个数之间的关系.提醒学生总结出规律后可用已给出的所有数来验证是否都符合,若符合则推理正确,后续便可用来推算出未给出的数,再解决其他问题. 【教学过程】 解:(1)第①行中的数可以看成按如下规律排列: -2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,…. (2)对比第①②两行中位置对应的数,可以发现:第②行中的数是第①行中相应的数加2,即 -2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,…; 对比第①③两行中位置对应的数,可以发现:第③行中的数是第①行中相应数的12 ,即 (-2)×12 ,(-2)2×12 ,(-2)3×12 ,(-2)4×12 ,…. (3)每行中第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×12 =1 024+(1 024+2)+1 024×12 =1 024+1 026+512=2 562. 【对应训练】 仔细观察下列三组数: 第一组:1,-4,9,-16,25,…;第二组:0,-5,8,-17,24,…;第三组:0,10,-16,34,-48,….(1)第一组的第8个数是 -64 ; (2)分别写出第二组和第三组的第n个数:(-1)n+1n2-1 ,(-2)×[(-1)n+1n2-1] ; (3)取每组数的第10个数,计算它们的和. 分析:第一组的各数的绝对值均为序数的平方,再结合符号考虑规律;第二组中的数是第一组中相应的数减1;第三组中的数是第二组中相应的数乘-2. 解:(1)解析:因为1=(-1)1+1×12,-4=(-1)1+2×22,9=(-1)1+3×32,-16=(-1)1+4×42,25=(-1)1+5×52,…,所以第一组的第n个数为(-1)n+1n2,所以第一组的第8个数为(-1)8+1×82=-64. (2)解析:观察发现,第二组中的数是第一组中相应的数减1;第三组中的数是第二组中相应的数乘-2.所以第二组的第n个数为(-1)n+1n2-1;第三组的第n个数为(-2)×[(-1)n+1n2-1]. (3)第一组的第10个数为(-1)10+1×102=-100,第二组的第10个数为-100-1=-101,第三组的第10个数为(-101)×(-2)=202,所以其和为-100+(-101)+202=1.活动四: 【作业布置】 1.教材P56习题2.3第3,8题. 【教学后记】 2.3.2 科学记数法 【素养目标】 1.会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示). 2.会把用科学记数法表示的数还原. 3.探究用科学记数法表示大数的过程,通过对现实生活中的大数的背景知识的了解,感受数学与生活的密切联系,初步体会用数学的语言表达现实世界. 【教学重点】会用科学记数法表示数. 【教学难点】归纳出用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系. 【教学过程】 活动一:创设情境,导入新课[情境导入] 在现实生活中,我们会遇到一些比较大的数.例如: (此处太阳与地球未按实际比例画出) 上面图中的三个数据, 696 000读作六十九万六千, 300 000 000读作三亿, 8 000 000 000读作八十亿. 读､写这样大的数有一定的困难. 那么有没有一种表示方法,使得这些大数易写､易读呢? 接下来我们就来学习科学记数法.[教学提示] 让学生尝试读出列举的大数,使学生体会到,对于这类大数,需要一种便捷的表示方法.另外也可以让学生举几个现实中超过一百万的大数,开拓思维. [设计意图] 列举现实生活中的一些大数,引出科学记数法的学习.活动二:问题引入,合作探究 探究点 科学记数法 问题1 下列用幂的形式表示的数,原来分别是 102=100, 103=1 000, 104=10 000, 105=100 000, 108=100 000 000, 10n=1 000…0(n个0). 问题2 把下列各数写成10的幂的形式. 1 000=103,100 000=105, 10 000 000=107,1 000…0(n个0)=10n . 思考:(1)等号左边整数中0的个数与右边10的指数有什么关系? (2)等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系? 1 000 100 000 10 000 000 1 000…(n个0) 0的个数 3 5 7 n 位数 4 6 8 n+1 10 的幂形式的指数 3 5 7 n [教学提示] 指定学生回答,引导学生观察10的n次幂的结果与n的关系. [设计意图] 引导学生逐步体会科学记数法的表示原理,总结出用科学记数法表示较大的数的步骤,掌握用科学记数法表示数(包括在计算器上表示) 一般地,10的n次幂等于10…0(在1的后面有n个0),因此可以利用10的乘方表示—些大数,例如: 696 000=6.96×100 000=6.96×105. 读作“6.96乘10的5次方(幂)” 概念引入 像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1,且a小于10,n是正整数),使用的是科学记数法. 思考:对于小于-10的数能否用类似的科学记数法表示?该怎么表示? -567 000 000=-5.67×100 000 000=-5.67×108. 例1(教材P55例5)用科学记数法表示下列各数: 1 000 000,300 000 000,8 000 000 000, 10 100 000. 解: 1 000 000=1×106,300 000 000=3×108, 8 000 000 000=8×109,10 100 000= 1.01×107. 思考:在上面的式子中,等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?用科学记数法表示一个n位整数(n大于或等于2),其中10的指数是n-1. 归纳总结: 例如 【对应训练】 教材P56练习第1,3题.[教学提示] 提醒学生:(1)用科学记数法表示 数时,不改变数的大小和符号,只是改变数的书写形式而已. (2) 用科学记数法表示一个负数时,先写出它的相反数的形式,再添加负号就可以了. 教师可引导学生观察用科学记数法表示较大的数时,小数点的移动位数与 n的关系,然后总结出用科学记数法表示绝对值大于10的数的步骤. 酌情让学生自行 参照计算器说明书,学习怎么在计算器上用科学记数法 表示数,并用计算器验证自己的结果. 活动三:知识延伸,巩固升华 例2 下列用科学记数法表示的数,原来分别是什么数? (1)1×106; (2)5×104; (3)2.1×106; (4)5.32×107; (5)3.007×105. 分析:1×106―→指数是6―→原数位数是7位 1×106=1 000 000 解:(1)1×106=1 000 000; (2)5×104=50 000; (3)2.1×106=2 100 000; (4)5.32×107=53 200 000; (5)3.007×105=300 700. 归纳总结: (反过来,如果用科学记数法表示的数中10的指数是n,那么原数有(n+1)位整数位.) 【对应训练】,教材P56练习第2题.[教学提示] 引导学生总结出还原用科学记数法表示的数a×10n的方法:把a中的小数点向右移动n位(原数的整数位数为n+1),若a中的数字不够,应用0补位.) [设计意图] 使学生进一步掌握科学记数法,并会把用科学记数法 表示的数还原 【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 1.怎么用科学记数法表示一个绝对值大于10的数? 2.怎么还原用科学记数法表示的数? 【作业布置】 1.教材P57习题2.3第4,5,9,10题. 【教学后记】 2.3.3 近似数 【素养目标】 1.了解近似数,并会按要求取近似数. 2.用数学的思维理解近似数和精确度的意义,并能用数学的语言表达它们在实际问题中的作用,让学生体会学习数学的重要性. 【教学重点】了解近似数､精确度的意义,能根据具体要求取近似数. 【教学难点】了解近似数的意义,按实际需要取近似数. 【教学过程】 活动一:创设情境,导入新课[情境导入] 上面的数据都是准确的数吗? 今天我们将围绕这个话题展开学习.[教学提示] 让学生交流讨论,说明理由,言之有理即可. [设计意图] 用现实情境激发学生兴趣,引发学生思考,引出近似数的学习.活动二:问题引入,合作探究 探究点1 准确数与近似数 问题1 对于参加同一个会议的人数,有两则报道. 想一想,这两则报道中的数据有什么区别? 报道1:参加今天会议的有505人. 数字505确切地反映了实际人数,它是一个准确数. 报道2: 约有五百人 参加了今天的会议. 五百这个数只是接近实际人数,但与实际人数还有差别,它是一个近似数. 问题2(1)我们班有 名学生,其中:男生 名,女生 名. (2)《数学》教科书的长约为 cm. 想一想:在上面的数据中,哪些数是准确数?哪些数是近似数呢? (1)中的是准确数,(2)中的是近似数.问题3 什么样的数是近似数?你能举例说明吗? 有时我们得不到与实际完全相符的数,而是通过测量､估算得到的,这些数都是近似数. 例如:(1)宇宙的年龄约为138亿年; (2)长江长约6 300 km; (3)圆周率π约为3.14.[教学提示] 指定学生代表回答,并提醒学生:(1)语句中带有“约”“左右”等词语,里面出现的数据都是近似数. (2)诸如“温度”“身高”“体重”“长度”等这些词语用数据来描述时,这些数都是近似数,因为它们可以不断地细分,例如一个人的身高是1.6m, 1.62 m,1.623m等,只要测量尺度足够精细,这个数据可以不断细分,所以它们都是近似数. [设计意图] 以问题串的形式让学生理解准确数与近似数的概念以及它们之间的区别 问题4 判断下列各数,哪些是近似数,哪些是准确数. (1)某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万三千人参加;(近似数) (2)检查一双没洗过的手,发现约有各种细菌800 000万个;(近似数) (3)李明家里养了5只鸡.(准确数)[设计意图]探究点2 按精确度取近似数 概念引入: 精确度——近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示. 利用四舍五入法得到的近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 问题1(1)报道2中五百是精确到了什么位的近似数? 与准确数505的误差为5. 五百 精确到百位的近似数.(2)前面测量《数学》教科书的长是精确到了什么位的近似数? 问题2 按四舍五入法对圆周率π取近似数时,有π≈3(精确到个位), π≈3.1(精确到0.1,或叫作精确到十分位), π≈3.14(精确到0.01,或叫作精确到百分位), π≈3.142(精确到0.001,或叫作精确到千分位), π≈3.141 6(精确到0.000 1,或叫作精确到万分位), …… 例1 (教材P56例6) 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)0.015 8(精确到0.001); (2)304.35(精确到个位); (3)1.804(精确到0.1); (4)1.804(精确到百分位). 解:(1)0.015 8≈0.016;(2)304.35≈304;(3)1.804≈1.8;(4)1.804≈1.80.思考:这里的1.8和1.80的精确度相同吗?表示近似数时,能简单地把1.80后面的0去掉吗? 1.8与1.80的精确度不同.表示近似数时,不能简单地把1.80后面的0去掉. 【对应训练】 教材P56练习第4题.[教学提示] 指定学生代表回答问题,酌情回顾小学中用四舍五入法取近似数的知识,使学生明确精确度与近似数的关系. [教学提示] 指定学生代表回答例1和对应训练,提醒学生注意:精确位数的那个数字为0时,不能将这个0舍去. 延续上面的问题提问,让学生将知识串联起来,再借助例题与练习,逐步理解精确度与近似数的意义与联系,感受它们在实际生活中的作用,并能正确地根据精确度取近似数.活动三:知识延伸,巩固升华 例2 (1)近似数3 000精确到个位; (2)近似数3 000.0精确到十分位; (3)近似数0.057 2精确到万分位; (4)近似数20万精确到万位; (5)近似数4.50万精确到百位; (6)近似数3.027×105精确到百位. 【对应训练】 (1)近似数1.70精确到百分位; (2)近似数0.258精确到千分位; (3)近似数10亿精确到亿位; (4)近似数1.6万精确到千位; (5)近似数5.21×107精确到十万位.[教学提示] 提醒学生注意: (1)对于普通数,最右边的数字(包括0)在哪个数位上就是精确到了哪一位;(2)对于带有计数单位和用科学记数法表示的近似数,可以先还原这个数,确定最右边数字所在的数位,进而判断出精确度. [设计意图] 使学生了解根据近似数(含带计数单位的近似数与用科学记数法表示的近似数)判断精确度,进一步理解近似数与精确度的关系 【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 你会按要求取近似数吗? 【作业布置】 1.教材P57习题2.3第6题. 【教学后记】 1 学科网（北京）股份有限公司 $$