精品解析：山东省枣庄市第一中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

2024-2025学年度第一学期期中检测 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、3.1椭圆 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ） A. （4，0）或（10，0） B. （4，0）或（-10，0） C. （-4，0）或（10，0） D. （-4，0）或（11，0） 5. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示的直线的斜率一定存在 C. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 经过两点，的直线方程为 10. 下面四个结论正确的是（ ）， A. 空间向量，若，则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 任意向量满足 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 第ⅠⅠ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的离心率是__________. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_______． 14. 已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为__________，直线的方程为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 16. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. （1）求证； （2）求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作直线l，直线l与交于两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求l的方程； 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 19. 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中检测 高二（数学）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、3.1椭圆 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 3. 如图，空间四边形中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 4. 点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（ ） A. （4，0）或（10，0） B. （4，0）或（-10，0） C. （-4，0）或（10，0） D. （-4，0）或（11，0） 【答案】B 【解析】 【分析】先用两点距离公式求出，再求出直线的方程，再利用点线距离公式求出点到的距离，再用三角形的面积公式代入求解即可. 【详解】根据题意，设点的坐标为，则 ，故直线为：，即， 故到直线上的距离为：， 又因为， 所以由 得， 解得或，即为或. 故选：B. 5. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），有下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为不重合，对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面垂直等价于平面的法向量垂直，故②正确； 对③，若，故③错误； 对④，或，故④错误． 故选：B． 6. 直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C：的方程化为 ， 则圆心C的坐标为，半径为2. 当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为时，代入圆的方程得 ， 解得 ，此时，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ， 由，得圆心C到直线l的距离为 ， 故，解得，故此时直线的方程为 ，即， 综上可得，直线l的方程为 或， 故选：D. 7. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 8. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，求出点Q的轨迹方程，求出直线l过定点，设，结合直线与圆的位置关系得到，即可求出面积最大时，直线l的方程． 【详解】解：设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为， 圆心为，半径为． 又由，可得． 则由解得所以直线l过定点， 因为，所以点在圆C的内部． 作直线，垂足为D，设，因为， 所以，所以， 所以， 所以当，即时，． 此时，又， 所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆有关的轨迹问题，考查直线与圆的位置关系，直线系方程过定点，涉及三角形面积计算以及函数最值，考查学生计算能力，解题的关键是求出点Q的轨迹方程和直线过的定点，画出图形，结合图形求解，属于较难题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示的直线的斜率一定存在 C. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D. 经过两点，的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】举例说明可判断A选项错误；由直线方程求得直线的斜率判断B选项；由倾斜角的直线的斜率不存在判断C选项；由两点求斜率，再由点斜式写出直线方程判断D选项. 【详解】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如但不能用表示，故A选项错误； 对于B选项，方程表示的直线的斜率为－m，故B选项正确； 对于C选项，若，则直线斜率不存在，故C选项错误； 对于D选项，经过两点，的直线斜率，而，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D选项正确. 故选：BD. 10. 下面四个结论正确的是（ ）， A. 空间向量，若，则 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 任意向量满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的概念及其向量共面定理，基底，数量积等的概念，即可判断得出答案. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若对空间中任意一点O，有，则， 即得， 所以，，共面，则P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C：假设不是空间的一个基底，则共面， 设， 因为，所以有， 整理可得， 因为是空间的一个基底， 所以有，显然该方程组不成立，故假设错误． 所以，也是空间的一个基底，故C正确； 对于D：由于是一个实数，也是一个实数， 则由可得和共线，与已知的任意性不符，故D错误． 故选：ABC. 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：ABC 第ⅠⅠ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，求出，再利用离心率的定义即可求出结果. 【详解】由椭圆方程，知，， 所以，离心率， 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为，则点到平面的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果. 【详解】由题知，又平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 14. 已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为__________，直线的方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可知，则，当与直线垂直时最小，结合点斜式方程可求解直线PM方程，进而求出点P的坐标；利用勾股定理可得，以为圆心，为半径作圆，将两圆方程相减即可求出直线AB方程. 【详解】的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图， 由题意可知，则， 所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 所以直线的方程为，即. 联立，解得， 所以点的坐标为，. 在Rt中，，同理. 以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦， 的方程为，即， 两圆方程相减得，即直线的方程为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的难点是能够明确AB即为以为圆心，为半径的与的公共弦，由此可求得直线AB方程. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程； （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 因为，的中点为，且直线的斜率， 则线段的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程，解得， 即圆心，， 所以，圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线被曲线截得弦长为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式可得，解得. 16. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，. （1）求证； （2）求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：如图，连接DE， 因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点， 所以， 故， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直； （2）用表达与，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG和CE所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得：均为等边三角形且边长为1， 所以， ，， 所以 ， 设异面直线AG和CE所成角为， 则. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作直线l，直线l与交于两点，的周长为． （1）求的方程； （2）若的面积为，求l的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． 【小问2详解】 易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以． 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． 18. 在四棱锥中，，，平面平面，，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 过作于， 因为，所以与相交， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，与相交，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，则与相交，利用面面垂直的性质得出平面，则，结合可证得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可； （3）分别求出平面和平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，， 所以，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 因为，，，平面 所以平面，所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 . 【小问3详解】 因为， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 19. 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、. ①求证：为定值； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2） ①当的斜率为0时，显然，. 当的斜率不为0时，设， 由得， 设，，故有，， 所以. 因为， 所以.综上所述，恒有为定值. ② 【解析】 【分析】（1）由长轴长和.求出得椭圆方程； （2）①当的斜率为0时，直接求得，当的斜率不为0时，设，，设，代入椭圆方程，应用韦达定理得，计算可得；②由求得面积表达式，变形后由基本不等式得最值． 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以，所以，，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略 ②， 即， 当且仅当，即时取等号（此时适合）， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $