精品解析：山西省太原市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

2024～2025学年第一学期高三年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 5. 已知奇函数在上是减函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个顶点在半径为2的球的球面上，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 10. 已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 11. 已知直三棱柱中，，，与平面ABC和平面所成角均为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB与平面所成角为 B. 直线与平面所成角为 C. 点C到直线的距离为 D. 点C到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，且，，则__________. 13. 已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 14. 如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求； （2）若是奇函数，当时，求的值域. 16. 已知单调递增的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数，，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若，，，求b，c的值； （2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围. 18. 如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求实数的值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期高三年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—10：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算得解. 【详解】由，解得或， 或， 所以. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. “”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】或， ， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 已知，，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为， 所以， 解得：， 故选：A 5. 已知奇函数在上是减函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数、单调性的概念概念逐项判断即可. 【详解】对于A:由，可知在上不是减函数，错误； 对于B：当，，又在上都是减函数，故在上是减函数，正确； 对于C：由，可知在上不是减函数，错误； 对于D：当，， 又在上都是减函数，所以在上是增函数，故错误. 故选：B 6. 已知是等比数列，且，，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式可算得公比，进而可得与，即可判断各选项. 【详解】由已知是等比数列，，设公比为， 所以， 所以， 解得， 所以，， 所以，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误； 故选：C. 7. 已知的三个顶点在半径为2的球的球面上，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出外接圆半径，通过球半径和外接圆半径结合勾股定理得出点到平面的距离，然后再利用体积公式即可求解. 【详解】如图所示 ，，， 则， 所以，，易知直角三角形，, 所以的外接圆的圆心为的中点，半径， 连接,因为点为球心，所以平面， 即的长为点到平面的距离， 在中，， ， . 所以三棱锥的体积为. 故选：A 8. 已知函数（）在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，求得函数的单调区间以及极值点，结合题意建立不等式，可得答案. 【详解】函数，令， 则其减区间为，增区间为，， 由函数在上单调，则，解得， ①当函数在上单调递减时，则，解得， 由，则，； ②当函数在上单调递增时，则，解得， 由，则不符合题意； 易知当，即时，函数取得极值， 可得，解得，由，则，， 综上所述，. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ） A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. AB的中线长为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据大边对大角可知角为钝角，可得A错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC正确，结合余弦定理判断D错误. 【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误. 故选：BC 10. 已知定义域为的函数满足对于任意x，，都有，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题目中所给等式，代入不同的值，整理即可；对于B，利用举反例的方法，由已知点的对称点，说明其与函数图象的关系即可；对于C，任意取轴对称的两个点，整理函数成立的等式，合理赋值整理即可；对于D，由等式研究函数的周期性，利用分类讨论，分别计算即可. 【详解】对于A，令，可得， 由，则，解得， 令，可得，故A正确； 对于B，由题意可知在函数的图象上，而点关于的对称点为， 易知不在函数的图象上，故B错误； 对于C，设点在函数的图象上，点关于直线的对称点为， 当点在函数的图象上时，函数的图象一定关于直线对称， 此时由，可得， 令，可得，则，故C正确； 对于D，令，可得，则， 当时，令，可得， 则，所以； 当时，令，可得， 则，， 所以， 综上所述，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知直三棱柱中，，，与平面ABC和平面所成角均为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB与平面所成角为 B. 直线与平面所成角为 C. 点C到直线的距离为 D. 点C到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面夹角可得，.对于A：利用等体积法求点B到平面的距离，即可得线面夹角；对于B：分析可知直线与平面所成角为，即可得结果；对于C：利用等面积法求点到线的距离；对于D：利用等体积法求点C到平面的距离. 【详解】因为平面，则与平面ABC所成的角为， 且，则， 因为平面，平面，则， 且，，平面，可得平面， 又因为∥，则平面， 可知与平面所成角均为，则， 可得，. 对于选项A：设点B到平面的距离为， 因为，即，解得， 设直线AB与平面所成角为， 则，所以直线AB与平面所成角不为，故A错误； 对于选项B：因为平面，平面，则， 且，，平面，可得平面， 可知直线与平面所成角为， 则，所以直线与平面所成角为，故B正确； 对于选项C：在中，， 设点C到直线的距离为， 由的面积可得：，解得， 所以点C到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：设点C到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以点C到平面的距离为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：对于点到面的距离，常常利用等体积法分析求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，且，，则__________. 【答案】145 【解析】 【分析】由等差数列性质及前项和公式即可求解. 【详解】由，及，， 可得：，， 所以即， 所以， 所以， 故答案为：145 13. 已知函数（，）的图象经过点，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立方程，结合对数运算可得参数的值，根据对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 由函数在上单调递减， 则，可得，解得， 故答案为：. 14. 如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，根据直角三角形性质表示各边长，即可得，再根据三角函数性质可得最值. 【详解】 如图所示， 过点作于点，交于点， 则. 设，，则， 又， 所以，， 由矩形可知， 在中，， 所以， 则. 又，则， 则当，即时，最大为， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）求； （2）若是奇函数，当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据交集运算得解； （2）根据奇函数求出的值，判断的单调性，利用单调性求出函数值域. 【小问1详解】 由题意得，∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得的定义域为，且是奇函数， ∴，∴，经检验合题意， ∴， 因为，在上单调递增， 所以在上单调递增，，， ∴当时，的值域为. 16. 已知单调递增的等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； 【小问2详解】 由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 17. 已知函数，，设锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）若，，，求b，c的值； （2）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再结合正、余弦定理即可求解； （2）确定，求出，得到，进而可求解. 【小问1详解】 由题意得， ∴， ∵，∴，∴， ∵，由正弦定理可得，即， ∵，由余弦定理得， ∴，； 【小问2详解】 由题意得，∴， ∵，∴，∴， ∴， 而，故，∴，∴， ∴的取值范围为. 18. 如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证，进而可证，，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； （3）假设存在点，设（），由线面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴是正三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在平面内， ∴平面； 【小问2详解】 由（1）得，，，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ∵， ∴， 显然是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， ∴. 取，则，， ∴， ∴， ∴由题可知二面角为钝角，故二面角的大小为； 【小问3详解】 假设存在点，设（），则， ∴， ∵直线与平面所成角的正弦值为， ∴， ∴或（舍去）， ∴. 19. 已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求实数的值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线方程，求得与坐标轴的交点，整理数列递推公式，结合等差数列的定义，可得答案； （2）根据指数幂运算的运算律公式，结合（1）的结论以及等比数列，可得答案， （3）根据不等式构造函数，利用导数研究函数的最值，可得答案. 【小问1详解】 证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，则，即（）， 所以数列是以为首项、为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得（）， 所以， 所以数列是以为首项、为公比的等比数列， 其前4项的和为， 所以实数； 【小问3详解】 原不等式等价于在上恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上递减，所以， 令，则；令，则， 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $