精品解析：陕西省十七校联考2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2025届高三第一学期期中考试检测卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法及共轭复数即可求解. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选:A. 2. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集的定义计算可得. 【详解】因为集合，集合，集合， 所以，， ，， 故正确的只有D. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：B. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得. 【详解】因为，所以，即，又，即， 又，所以，所以； 因为，所以，所以，所以 所以. 故选：A. 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】运用数量积定义计算即可. 【详解】如图所示， 连接，，由对称性可知，， 取的中点，则，， 又因为正六边形的边长为1，所以， 所以， 故选：B． 6. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后函数解析式，再由图象的对称中心，可得，从而得出结论． 【详解】由已知得，所以， 解得，又，当时，． 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的对称性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量而言，属于中档题． 8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果. 【详解】因为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， ， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解. 【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误； 对于选项C：因为展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为，故C正确； 对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误； 故选：AC. 10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误： 对于D， ，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得， 令，则. 解可得，，所以在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增，故选项A正确； 对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误； 对于选项C，设切点的坐标为， 根据导数的几何意义可知，切线的斜率， 所以过的切线方程为. 又切线经过原点，所以有， 整理为. 令，有， 当时，，有；当时，，有. 所以恒成立，函数单调递增. 又由，， 根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点. 故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确； 对于D选项，若，有， 由函数单调递增， 有，. 令，有． 令，有 （当且仅当时取等号）， 可得恒成立，所以函数单调递增. 又由， 所以时，，，所以在上单调递减； 时，，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，故成立，选项D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 【答案】30 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得. 【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和， 于是，解得， 所以底层所开灯的数量为30盏. 故答案为：30 13. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程. 【详解】根据题意，作图如下： 依题意，为的角平分线，且， 设，由角平分线定理可得：，则； 在中，由余弦定理； 在中，由余弦定理可得，， 即，解得. 故，， 所以的渐近线方程是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法： ①直接求出，从而得解； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解； ③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示， 故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用特殊角的余弦值及角的范围可得； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即， 所以； 【小问2详解】 在中，由，，及得， ，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由条件推导平面，得到即可证得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，所以， 故可取， 设直线与平面所成角的大小为， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考试科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试． （1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差； （2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生） 参考数据：， 【答案】（1）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ， （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，分步计算即可； （2）增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，利用用对数运算求解不等式. 【小问1详解】 1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为，根据题意可知， X的取值分别为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ，； 【小问2详解】 增加k（k为正整数）天学习后， 每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为， 若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有， 有，有，有， 又由 ． 可得， 故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：的定义域为，， 令，可得， 原题意等价于有两个不同的正实数根， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知，所以的取值范围； （ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，， 不妨设，可知， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以为的极小值点，为的极大值点， 对于的极值点，则， 可得， 设，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在上单调递减， 则，可知，则， 又因为在区间上单调递增，则， 所以的极大值的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法 （1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号； （2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数； （3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解； （4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一学期期中考试检测卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 所有项系数之和为 C. 常数项为60 D. 第3项的二项式系数最大 10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极值点 C. 过原点仅有一条直线与曲线相切 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 13. 已知，若，则的最小值为______. 14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. （1）求集合； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 在中，A、B、C分别为边a、b、c所对的角，且满足． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考试科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试． （1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差； （2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生） 参考数据：， 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $