精品解析：江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（ ） A. 1010 B. 2024 C. 1012 D. 2020 8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，点，点，则下列正确的有（ ） A. B. 直线的倾斜角为 C. D. 点到直线的距离为 10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若数列的前项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 13. 函数的最大值为______________. 14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 已知圆，点. （1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度； （2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； （3）点为圆上一点，求线段长度的最大值. 17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 18. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 19. 已知数列满足. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列； （3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】，斜率为1，倾斜角为. 故选：B 2. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，故，故， 故选：D 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据曲线为圆可得，再结合在圆外得，则答案可得. 【详解】化简可得圆的标准方程为：， 所以，即， 又因为在圆外，故， 解得，综上可得， 故选：A. 4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【详解】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，由垂径定理得⊥，从而得到，写出直线方程. 【详解】的圆心为， 为过点的弦，当弦被点平分， 由垂径定理得⊥， 其中，故， 所以直线的方程为，即. 故选：B 7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（ ） A. 1010 B. 2024 C. 1012 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆C与圆有交点即可，从而可以求得的范围. 【详解】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上， 只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可. 圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2， 所以圆心距为，因为两圆有交点， 所以有， 即：，又因为，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，点，点，则下列正确的有（ ） A. B. 直线的倾斜角为 C. D. 点到直线的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两点距离公式即可判断A；由两点之间的斜率公式即可判断B；由两直线垂直时的斜率关系即可判断C；由点到直线的距离公式即可判断D. 【详解】由题意得， ，故A错误； 因为，所以直线AB的倾斜角为，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 直线AC的方程为：，即， 所以B点到直线AC的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 圆与圆的公切线段长为1 D. 线段的中垂线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：AC. 11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 若数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，构造数列求解通项公式，进而可得；对B，由A知，再求和即可；对C，根据对数的运算结合等差数列求和公式求解即可；对D，根据裂项相消求和判断即可. 【详解】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列， 故，即，则，故A正确； 对B，，故数列的前项和为，故B错误； 对C，，则前项和为 ，故C正确； 对D，， 则， 又易得随的增大而增大，故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 13. 函数的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可求得圆心坐标，再求得切线长以及四边形面积表达式可得结果. 【详解】联立可解得，即； 设圆心，圆的半径为， 可得，解得或， 当时，可得，， 可得， 因此四边形的面积为； 当时，可得，， 可得； 所以四边形的面积为. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆心位置以及切线方程求得圆的标准方程，再求出切线长可得四边形面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解； （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以，， 所以； 因为，所以． 【小问2详解】 结合（1）可得： ． 16. 已知圆，点. （1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度； （2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度； （3）点为圆上一点，求线段长度的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，得到； （2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由弦长公式求出答案； （3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案． 【小问1详解】 圆心，半径为，即， 又， 故； 【小问2详解】 ，故直线， 记圆心到直线的距离为， ，故； 【小问3详解】 的最大值为点到圆心的距离加上半径，故． 17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程. （1）过点且与直线平行； （2）过点且到原点的距离等于2； （3）直线关于直线对称的直线. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得； （2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可； （3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得. 【小问1详解】 联立方程，解得，． 设与直线平行的直线为， 由题意得：，， 故满足要求的直线方程为：． 【小问2详解】 ①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； ②当所求直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 原点到该直线的距离为， 解得， 直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或． 【小问3详解】 在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则 ，解得，， 又，则直线的方程即所求直线方程，为， 化简得，. 故所求的直线方程为：． 18. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1） 由圆，得，，， 所以的范围为； ，由，得， 所以圆过定点. 以弦为直径的圆过原点，则，， （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标. （2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点，，则，， 即， 由，消去整理得：， ，，， 于是，解得，满足， 所以的值为． 19. 已知数列满足. （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列； （3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【小问1详解】 ， ，，，， ，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有， 如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $