精品解析：山东省淄博第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

淄博四中高2024级高一上学期期中考试 数学·试卷 命题人：赵刚、李俊龙、王乐银 校对人：宋丽敏、王玉秀 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共19题，4页，满分150分，考试用时120分钟.考试结束后只将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，务必将本人班级、姓名、考号、考场、座号用正楷字体填写在答题卡相应位置. 2.答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案涂黑，修改时，要用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效. 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，笔迹清晰.务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每个给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 6. 若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 若函数为偶函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程有唯一的根，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ） A. 若为“函数”，则 B. 若为“函数”，则一定是增函数 C. 函数在上是“函数” D. 函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数） 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 13. 函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是____________. 14. 已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足． （1）若命题“”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 马斯克的星链计划，隶属于他的SpaceX公司.他要用这几万颗卫星，为地球上每一个角落提供互联网上网服务.国内某企业也计划加大对空间卫星网络研发的投入，发展空间互联网.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，调整后技术人员的年人均投入调整为万元，研发人员的年人均投入增加 （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）现在要求调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，求m的最大值和此时技术人员的人数. 17. 已知函数是奇函数. （1）求a的值并用定义法证明函数的单调性； （2）若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数，，其中，．当时，的最大值与最小值之和为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，记函数，求当时的最小值； 19. 对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则函数是函数在区间上的弱渐近函数． （1）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围； （2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博四中高2024级高一上学期期中考试 数学·试卷 命题人：赵刚、李俊龙、王乐银 校对人：宋丽敏、王玉秀 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共19题，4页，满分150分，考试用时120分钟.考试结束后只将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，务必将本人班级、姓名、考号、考场、座号用正楷字体填写在答题卡相应位置. 2.答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案涂黑，修改时，要用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上的答案无效. 3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，作图时，可用2B铅笔，要求字体工整，笔迹清晰.务必在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷及草稿纸上的答案无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每个给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为,根据交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，图中的阴影部分表示的集合为. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】命题“，”是全称命题，该命题的否定为：. 故选：C 3. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】的解集为 且方程的两根为：和 ，解得： 即，解得： 的解集为 故选: 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案. 【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 因为，所以； 所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C； 当时, ,排除选项B． 故选：D． 5. 已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 6. 若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 7. 若函数为偶函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性，将所求不等式化为；再由函数单调性，以及，即可求出结果. 【详解】∵为偶函数，∴， ∴可转化为． 而在上是减函数，且， 故当时，； 当时，． 故的解集为． 故选：D. 8. 已知方程有唯一的根，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数关于对称，从而得到即可. 【详解】设，则. 即，故关于对称. 又有唯一的根，则，故，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A,由,显然,两边除以可得.故A正确; 对B,当时显然不成立.故B错误; 对C,当故C错误; 对D,因为,同时乘以有,同时乘以有,故.故D正确. 故选：AD. 10. 设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】变换，展开利用均值不等式计算A正确，利用均值不等式计算得到B正确，举反例得到CD错误，得到答案. 【详解】对选项A：， 当且仅当时等号成立，正确； 对选项B：， 当且仅当时等号成立，正确； 对选项C：取，，错误； 对选项D：取，， ，错误； 故选：AB 11. 把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ） A. 若为“函数”，则 B. 若为“函数”，则一定是增函数 C. 函数在上是“函数” D. 函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数） 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确. 【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确； 对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误； 对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误； 对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确. 故选：BC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性直接计算得到答案. 【详解】是定义在上的奇函数，. 故答案为：. 13. 函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性列不等式组求解. 【详解】当时， ，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到， 则在上单调递减， 由题意得，解得，则的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】由x﹣3≤f（x）≤x等价为﹣3≤f（x）﹣x≤0 设g（x）＝f（x）﹣x， 又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x）， 则有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣f（x）+x＝﹣[f（x）﹣x]＝﹣g（x）， 即函数g（x）为R上的奇函数， 则有g（0）＝0； 又由对任意0≤x1＜x2时，有1， 则1， ∵1， ∴1＜0， 即g（x）在[0，+∞）上为减函数， ∵g（x）是奇函数， ∴g（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数， ∵f（﹣2）＝1，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3； g（2）＝﹣3，g（0）＝f（0）﹣0＝0， 则﹣3≤f（x）﹣x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0）， ∵g（x）是减函数， ∴0≤x≤2， 即不等式x﹣3≤f（x）≤x的解集为[0，2]； 故答案为[0，2]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足． （1）若命题“”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据集合的包含关系求解； (2)将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解. 【小问1详解】 因为命题“”是真命题，所以， 所以解得，即实数m的取值范围是. 【小问2详解】 命题p是命题q的必要不充分条件,所以是的真子集， 若即，此时， 满足是的真子集， 若即， 因为是的真子集，所以解得， 经检验时，满足是的真子集， 综上，实数m的取值范围是. 16. 马斯克的星链计划，隶属于他的SpaceX公司.他要用这几万颗卫星，为地球上每一个角落提供互联网上网服务.国内某企业也计划加大对空间卫星网络研发的投入，发展空间互联网.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，调整后技术人员的年人均投入调整为万元，研发人员的年人均投入增加 （1）要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ （2）现在要求调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，求m的最大值和此时技术人员的人数. 【答案】（1）75人； （2）m的最大值为7，50人. 【解析】 【分析】（1）解不等式即得解； （2）化简得，再利用基本不等式得解. 【小问1详解】 解：依题意可得调整后研发人员有人，年人均投入为万元， 则，解得. 答：调整后的技术人员最多有75人. 【小问2详解】 解：由题得， 得，整理得， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以. 答：的最大值为7，此时技术人员有50人数。 17. 已知函数是奇函数. （1）求a的值并用定义法证明函数的单调性； （2）若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 函数，定义域是R， 依题意有，得，即 ， 此时 满足题意. ， 由此可判断出是R上的递增函数. 以下用定义证明：，且，则， ， 即，故是R上的递增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数，，求a的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是奇函数且在R上的单调递增，不等式，可得，得，即， 对任意的，恒成立，即在上恒成立， 时，，，，当且仅当，即时等号成立， ∴，实数m的取值范围为 . 18. 已知函数，，其中，．当时，的最大值与最小值之和为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，记函数，求当时的最小值； 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（I）根据指数函数的单调性，最值在区间端点取得，根据最大值和最小值的和列方程，解方程求得的值.（II）化简，利用换元法转化为二次函数的形式.根据对称轴进行分类讨论，厚此求得最小值的表达式. 【详解】（Ⅰ）在上为单调函数， 的最大值与最小值之和为， . （Ⅱ）即 令，∵时，∴， ，对称轴为 当时，； 当时，； 当时，. 综上所述， 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查分类讨论二次函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 19. 对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则函数是函数在区间上的弱渐近函数． （1）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围； （2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数． 【答案】（1） （2）， 由时，由，即， 可得， 由在递增，可得在递增， 即有， 则， 即为在区间上恒成立， 故函数是函数在区间上的弱渐近函数． 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围； （2）由弱渐近函数的定义，只要证得在区间上恒成立，结合函数的单调性即可得证． 【详解】（1）函数是函数在区间上的弱渐近函数， 可得在上恒成立，即在上恒成立， 可得，即； （2）略 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $