精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

2024-2025学年第一学期高二质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一册第一章到第二章占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 8 D. 5. 在四棱锥中，为的中点，若，则( ). A. B. C. D. 6. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量以为基底时坐标为，则以为基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 10. 已知终边经过点，则（ ） A. B. 可能等于 C. D. 可能等于 11. 在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积的最大值为3 C. 边上的高的最大值为 D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为________. 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______. 14. 已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线l过点. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l与圆C相切，求l的方程. 16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求点N到平面AMF的距离. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. （1）证明：平面PAB （2）证明：. （3）试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点HE，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二质量监测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册占30%，选择性必修第一册第一章到第二章占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集进行运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为复数， 所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列式求解即可. 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 故选：B. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 5. 在四棱锥中，为的中点，若，则( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算得解. 【详解】由题意知为的中点，所以， 又因为，所以， 由此可知：. 故选：B. 6. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解. 【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为． 设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为． 故选：B. 7. 已知空间向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：D. 8. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，结合点到直接的距离公式运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可知：，则， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，，则（ ） A. B. 直线AB的一个方向向量为 C. 四点共面 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离. 【详解】，A正确； ，B错误； 由题意得，则，所以四点共面，C正确； ，，，则点到直线的距离为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知的终边经过点，则（ ） A. B. 可能等于 C. D. 可能等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义即可判断A；结合两角和差公式即可判断C；结合象限角的符号判断BD. 【详解】因为的终边经过点，且， 所以，，故A，C正确. 因为点在第四象限，所以不可能等于，可能等于，B错误，D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，的顶点，，且，记的顶点的轨迹为，则下列说法正确的是（ ） A. 轨迹的方程为 B. 面积的最大值为3 C. 边上的高的最大值为 D. 若为直角三角形，则直线被轨迹截得的弦长的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】因为．所以．由直接法求轨迹方程即可判断A；当的坐标为时，面积的最大即可判断B；当与圆相切时，到的距离最大，作于点，所以为最大值即可判断C；当时，，此时直线被圆截得的弦长为；当时，不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长求解即可判断D. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 设，则，整理得， 因为顶点不能与，重合， 所以顶点的轨迹方程为，且，故A错误． 当的坐标为时，，所以B正确． 当与圆相切时，到的距离最大， 如图1，作于点，因为，所以， 所以边上的高的最大值为，故C错误． 如图2，当时，，此时直线被圆截得的弦长为； 当时，由得， 不妨设，显然当在处时，直线被圆截得的弦长更长， 此时直线的方程为，圆心到直线的距离， 所以弦长为．故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据圆的方程可知圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【详解】因为圆，即， 可知圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 所以截得的弦长为. 故答案为：8. 13. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数为定义在上的奇函数，可得且满足，进而根据的函数解析式求解的值即可. 【详解】由于是定义在上的奇函数，因此可得：； 又，所以， 因此可得：. 故答案为： 14. 已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为________. 【答案】144 【解析】 【分析】分析可知，结合圆柱的结合性质分析求解即可. 【详解】因为， 又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点， 则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立， 且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立， 可得，所以最大值144. 故答案为：144. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线l过点. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l与圆C相切，求l的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 分析】（1）按直线截距相等且不等零和截距均等于零两种情况分类讨论求解直线方程即可； （2）由于点在圆上，因此根据圆心与的连线与切线垂直，可以求出切线斜率，进而求解切线方程. 【小问1详解】 若直线的截距相等且不为零，则假设直线方程为. 由于直线过点，代入可得：，解得：，即得直线； 若直线的截距相等且等于零，则假设直线方程为， 由于直线过点，代入可得：，解得：，即得直线. 【小问2详解】 已知圆的圆心为，由于点在圆上，所以直线垂直于切线， 易知直线的倾斜角为，故切线的斜率为，故切线方程为 16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. （1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； （2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【答案】（1），2.4h （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m，再利用中位数的计算公式直接计算； （2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得. 因为，所以中位数在内， 设中位数为x，则，得， 即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h. 【小问2详解】 由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.25，0.05， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人. 记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个， 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个， 所以这2人来自不同分组的概率为. 17. 如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分别是EG，BC的中点. （1）证明：平面ABCD. （2）若，求点N到平面AMF的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 因为，，都垂直于平面，则. 取的中点，连接，， 则，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 可得， 且平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接. 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则， 取，得，，可得. 故点到平面的距离. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面ABCD，E为AD的中点. （1）证明：平面PAB. （2）证明：. （3）试问在线段PE上是否存在点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在；答案见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）作交于，利用几何关系在中，由余弦定理求出，再由勾股定理证明，然后由面面垂直的性质定理证明即可； （3）建立如图所示坐标系，求出平面法向量和，代入空间线面角公式求解即可； 【小问1详解】 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面PAB. 【小问2详解】 作交于， 因为，所以，又，所以， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，即，所以， 又E为AD的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，所以， 又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面， 所以平面， 平面，所以. 【小问3详解】 设存在， 作交与， 由（2）可得两两垂直，所以以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 设直线CM与平面PBC所成角的为， 则， 解得，所以在线段PE上存在点，此时. 19. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点 【解析】 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 小问1详解】 因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$