精品解析：甘肃省武威第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

武威一中2023年秋季学期期中考试 高一年级 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 0，2，3均可 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知或，求出再检验即可． 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 2. 已知全集，集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】不等式等价于，解得， 所以， 又，所以. 故选：D 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，而， 所以. 故选：B 4. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式求值. 【详解】，. 所以. 故选：A 5. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到命题“，使得成立”是真命题，结合在恒成立，即可求解. 【详解】因为命题“，使得成立”是假命题， 可得命题“，使得成立”是真命题，即在恒成立， 因为，即，所以，即实数的取值范围. 故选：C. 6. 已知函数是一次函数，且，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【详解】设， 则， 整理得， 所以，解， 所以，所以. 故选：A 7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据偶函数定义域的特点求的值，再根据函数的解析式比较函数值的大小. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 所以，. 所以，，. 所以. 故选：C 8. 若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得． 【详解】当时，，时，，时，，， 又是奇函数，所以时，，时，，且， 不等式或或，所以或， 综上． 故选：D． 二、多选题（共4小题，每小题选对得5分，错选或多选得0分，少选或漏选得2分） 9. 下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断A、B，根据指数函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：因为在上单调递增，又，所以，故A错误； 对于B：在上单调递减，又，所以，故B错误； 对于C：因为，又在上单调递增， 且，所以，即，故C错误； 对于D：，，所以，故D正确； 故选：ABC 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. 任意非零实数a，b，都有 C. ，使得 D. 函数的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，作差法判断即可；对于B，令，即可判断；对于C，当即可判断；对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】对于A，，所以，都有成立为真命题. 对于B，当时，则，故不成立，为假命题. 对于C，显然当时，成立，故为真命题. 对于D，，当且仅当时，等号成立.由于，无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题. 故选：AC. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令，求出的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D.. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 函数，令，则， 所以，所以函数的值域为，故C错误； 对于D，若函数的定义域为，可得，则函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. 12. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ） A. B. 在单调递增 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设得且关于中心对称，求得，进而求参数a判断区间单调性，再由证得是的一个周期，根据周期性求. 【详解】∵是奇函数，则， ∴，故C正确； 又，故， 所以，即是的一个周期，故A正确； 由关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致， 由，则时，，此时函数单调递减，即B错误； 由上知：，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】解出集合，根据集合交并补即可得到答案. 【详解】，解得或，则或， ， 则或， 则图中阴影部分所表示的集合是. 故答案为：. 14. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案. 【详解】令，解得，故函数定义域为， 其中， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的单调递减区间为. 故答案为： 15. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求集合，由题意可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系运算求解. 【详解】由题意可得，， 若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 16. 已知，，，为四个互不相等的实数.若A，B，C，D中C最大，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由最大，利用作差法可求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，由，可得， 由，可得， 由，可得或， 综上所述，实数的取值范围是； 故答案为： 四、解答题 17. 计算下列各式(式中字母都是正数)： （1） （2） （3） 【答案】（1）0.09 （2） （3）2 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 易知， 所以 18. 已知函数. （1）证明：函数在上是减函数；并求出函数在的值域； （2）记函数，判断函数的的奇偶性，并加以证明. 【答案】（1）证明：设，则， 由，，，故， 即，函数在上单调递减. ，，函数单调递减，故函数的值域为. （2）奇函数，证明：，， 函数定义域为，函数为奇函数. 【解析】 【分析】（1）设，计算，判断为负得到证明，结合单调性可得值域； （2），根据奇偶性的定义结合定义域得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设关于x的函数，其中a， b都是实数. （1）若的解集为，求出a、b的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为;时，解集为. 【解析】 【分析】（1）判断开口方向结合韦达定理进行求解； （2）因式分解求出两根，结合开口方向对两根大小进行判断即可. 【小问1详解】 的解集为， 则的开口向上，是对应方程的两根， 则，即； 【小问2详解】 若，则， ， 当时，，则的解集为 当时，若，即时，的解集为； 当时，，的解集为； 综上：当时，解集为； 时，解集为 时，解集为. 20. 某商家准备促销某商品，根据市场调查，当该商品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为．假设不计其他成本，即销售每件商品的利润售价供货价格． （1）当每件商品的售价定为元时，求该商家所获得的总利润； （2）该商品的售价定为多少元时，单件商品的利润最大? 【答案】（1）总利润为万元 （2）110元 【解析】 【分析】（1）由已知确定销量与单件商品的利润，即可求得总利润； （2）根据已知条件可得，再利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 当每件商品的售价定为元时，销售量为万件， 该商家所获得的总利润为万元 【小问2详解】 该商品的售价定为元，由得． 设单件商品的利润为元， 则， 当且仅当时，等号成立 所以该商品的售价定为元时，单件商品的利润最大，最大值为元． 21. 已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. （1）求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算出的值，然后再代入检验是否满足条件，由此确定出的值； （2）根据奇偶性将不等式变形为，再由函数单调性将函数值关系转变为自变量的关系，采用分离参数法求解出的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数且定义域为，所以，所以， 当时，， 满足条件为奇函数，故. 【小问2详解】 为奇函数， ， 又因为函数在上为减函数， 所以对恒成立， 则对恒成立， 令，其图象对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增，故， 故要使对恒成立，则，即. 【点睛】思路点睛：根据函数的奇偶性和单调性求解参数范围的思路： （1）根据函数奇偶性将关于函数值的不等式转变为（或）的形式； （2）根据函数单调性将关于函数值的不等关系转变为关于自变量的大小关系； （3）采用分类讨论法或参变分离法求解出参数范围. 22. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威一中2023年秋季学期期中考试 高一年级 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A. 2 B. 3 C. 0或3 D. 0，2，3均可 2. 已知全集，集合，，那么（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. -2 5. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是一次函数，且，则（ ） A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 7. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题选对得5分，错选或多选得0分，少选或漏选得2分） 9. 下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. 任意非零实数a，b，都有 C. ，使得 D. 函数的最小值为2 11. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 12. 函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ） A. B. 在单调递增 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 13. 已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是__________. 14. 函数的单调递减区间为__________. 15. 已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______． 16. 已知，，，为四个互不相等的实数.若A，B，C，D中C最大，则实数a的取值范围为______. 四、解答题 17. 计算下列各式(式中字母都是正数)： （1） （2） （3） 18. 已知函数. （1）证明：函数在上是减函数；并求出函数在的值域； （2）记函数，判断函数的的奇偶性，并加以证明. 19. 设关于x的函数，其中a， b都是实数. （1）若的解集为，求出a、b的值； （2）若，求不等式的解集. 20. 某商家准备促销某商品，根据市场调查，当该商品的售价定为元时，销售量可达到万件．已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比，比例系数为．假设不计其他成本，即销售每件商品的利润售价供货价格． （1）当每件商品的售价定为元时，求该商家所获得的总利润； （2）该商品的售价定为多少元时，单件商品的利润最大? 21. 已知定义域为的函数是奇函数且为减函数. （1）求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $