精品解析： 山东省烟台龙口市（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中只有B选项中的式子是分式， 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是掌握因式分解的定义； 根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式”判断即可． 【详解】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、不是因式分解，故本选项错误； C、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D． 3. 化简的结果是（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除，按照同底数幂相除底数不变，指数相减的法则，即可解答，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 4. 一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（ ） A. 对应线段平行； B. 对应线段相等； C. 对应角相等； D. 不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键． 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案． 【详解】A．平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项说法错误，符合题意； B．无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C．无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D．无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确 C. 甲、乙的结果都正确 D. 甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解，进行判断即可． 【详解】解：； ； 故甲、乙的结果都正确； 故选C． 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）． A. 2 B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 7. 在庆“七一”演讲比赛中，七位评委给某选手打出7个原始分．如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组分数相比较，一定不会发生改变的是（ ） A. 方差 B. 极差 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 【详解】解：7个原始分和5个有效分这两组分数相比较，一定不会发生改变的是中位数， 故选C． 8. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ） A. n的值是4 B. 样本平均数是4 C. 样本众数是3 D. 样本中位数是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，平均数，样本容量，解题的关键是根据方差计算公式得出数据．根据方差的计算公式得到各个数值进行判断即可． 【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为， 因此样本容量为，样本众数为， 中位数是， 平均数为， 故选B． 9. 已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，把式子变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点…按此做法进行下去，则点A8的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目规律，依次求出、、、的坐标即可； 本题主要考查了坐标与图形变化，平移，解题的关键是学会探究规律． 【详解】由图像可知，， 将点向左平移6个单位、再向上平移6个单位，可得 ， 将点向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得 ， 将点向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得 ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使分式有意义，则x应满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】根据题意 得 解得 故答案为：． 12. 王老师统计了某一小组8个人的数学成绩，成绩如下（单位：分）：85，86，85，77，95，97，86，86，这组数据的众数是____________． 【答案】86 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解； 此题考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题关键． 【详解】依题意得：86出现了3次，次数最多， 故这组数据的众数是86； 故答案为：86． 13. 在某次公益活动中，小亮对本年级同学的捐款情况进行了调查统计，发现捐款数只有10元、20元、50元和100元四种情况，并初步绘制成不完整的条形图（如图）．其中捐100元的人数占本年级捐款总人数的，那么本次捐款的中位数是_________元． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求法．根据捐100元的人数占本年级捐款总人数的，求得总人数和捐款20元的人数，再根据中位数的求法解答，即可． 【详解】解：捐款的总人数为人， 把捐款数按从小到大的顺序排列，第30个和第31个数都是20， ∴中位数为元． 故答案为：20 14. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质。根据旋转，得到，利用等边对等角，进行计算即可。掌握旋转的性质，是解题的关键。 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ∴． 故答案为：． 15. 若关于x的分式方程无解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键． 解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，，求解即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故答案为： 16. 若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键； 等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：等式整理得： 可得 则 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解答此题的关键是利用因式分解的步骤进行解答； （1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）首先利用整式的乘法进行计算，再利用完全平方公式进行分解 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 = 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3． 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，再将除法化为乘法同时给各分子分母因式分解后约分，最后将代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值．掌握分式混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键． 19. 解方程：. 【答案】x＝1. 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是2(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程，解整式方程后进行验根即可. 【详解】方程两边同时乘以2(x+1)，得 2x+2﹣(x﹣3)＝6x， 解得，x＝1， 检验：当x＝1时，2(x+1)≠0， 所以x=1是原分式方程的解. 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 20. 如图中任一点经过平移后对应点为.将作同样的平移得到,已知，，, （1）在图中画出,； （2）直接写出的坐标分别为 （3）,的面积为____________. 【答案】 （1）即为所求： （2）A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）； （3）8. 【解析】 【分析】（1）先根据点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3），得到平移的方向与距离，再进行画图； （2）根据平移的方向与距离，写出A1，B1，C1的坐标； （3）根据割补法可以求△A1B1C1的面积. 【详解】解：（1）∵点P（m，n）经平移后对应点为P1（m+4，n-3）， ∴△ABC向右平移4个单位，向下平移3个单位可以得到△A1B1C1， （2）∵A（1，4），B（-3，2），C（-1，-1）， ∴A1，B1，C1的坐标分别为A1（5，1），B1（1，-1），C1（3，-4）； （3）△A1B1C1的面积为： . 【点睛】本题主要考查了运用平移变换作图，确定平移后图形的基本要素有平移方向和平移距离.作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形. 21. 从甲、乙两种饮料中各抽取10盒250毫升的果汁饮料，检查其中的维生素C的含量，所得数据如下（单位：毫克）： 甲：120、123、119、121、122、124、119、122、121、119 乙：121、119、124、119、123、124、123、122、123、122 通过计算说明哪种饮料维生素C的含量高？哪种饮料维生素C的含量比较稳定？ 【答案】乙种饮料维生素C的平均含量高，甲种饮料较稳定． 【解析】 【分析】本题考查方差和平均数的意义．其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 要说明哪种饮料维生素C的含量高求出它们各自的平均数即可，要知道哪种饮料维生素C的含量比较稳定求出它们各自的方差即可． 【详解】解：∵毫克； 毫克， 所以乙种饮料维生素C的平均含量高． 又； ； ∴， 所以甲种饮料较稳定． 22. 某超市规定：凡一次购买大米以上可以按原价打折出售，购买（包括）以下只能按原价出售．小明家到超市买大米，原计划买的大米，只能按原价付款，需要600元；若多买，则按打折价格付款，恰巧需要也是600元．若按原价购买与打折价购买的款相同，那么原计划小明家购买多少大米？ 【答案】小明家原来准备买大米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系 是解决问题的关键， 设小明家原来准备买大米，根据原价购买与打折价购买的款相同，相对应的等量关系为：原价千克数打折千克数，列出算式，求解即可． 【详解】解：设小明家原来准备买大米，则原价为元，折扣价为元． 根据据题意得 解得， 经检验是方程的解，并符合题意， 答：小明家原来准备买大米． 23. 阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． （1）因式分解：； （2）说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）； （2） 将“”看成整体， 令， 原式 ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）先用完全平方公式，得到，将看成整体，再利用平方差公式因式分解即可； （2）将看成整体，再利用完全平方式因式分解即可； 本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是运用整体思想和完全平方公式、平方差公式因式分解的能力． 【小问1详解】 解：∵， 将看成整体， 令， 原式， 再将“A”还原， 原式 【小问2详解】 略 24. 如图，等腰直角三角形中，，，点是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，． （1）如图，线段与之间的关系是 ；并证明结论成立． （2）如图，是的中点，连结交于，若，时，求的长． 【答案】（1） 且． 证明：如下图所示， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ，； （2）． 【解析】 【分析】根据旋转可知，，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证，且； 延长到，使，连接并延长交于点，构造，根据全等三角形的性质可证，，，从而可证，利用勾股定理可求，所以可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长到，使，连接并延长交于点， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， 在中根据勾股定理得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解决本题的关键是根据旋转的性质和全等三角形的性质找到相等的边和角，构造等角三角形利用勾股定理求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中阶段性测试 初三数学试题 （120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. a B. C. D. 4. 一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（ ） A. 对应线段平行； B. 对应线段相等； C. 对应角相等； D. 不改变图形的形状和大小， 5. 下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A. 只有甲的结果正确 B. 只有乙的结果正确 C. 甲、乙的结果都正确 D. 甲、乙的结果都不正确 6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）． A. 2 B. 1 C. 3 D. 7. 在庆“七一”演讲比赛中，七位评委给某选手打出7个原始分．如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组分数相比较，一定不会发生改变的是（ ） A. 方差 B. 极差 C. 中位数 D. 平均数 8. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ） A. n的值是4 B. 样本平均数是4 C. 样本众数是3 D. 样本中位数是3 9. 已知，，为三边，且满足，则它的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点…按此做法进行下去，则点A8的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使分式有意义，则x应满足的条件是___________． 12. 王老师统计了某一小组8个人的数学成绩，成绩如下（单位：分）：85，86，85，77，95，97，86，86，这组数据的众数是____________． 13. 在某次公益活动中，小亮对本年级同学的捐款情况进行了调查统计，发现捐款数只有10元、20元、50元和100元四种情况，并初步绘制成不完整的条形图（如图）．其中捐100元的人数占本年级捐款总人数的，那么本次捐款的中位数是_________元． 14. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________． 15. 若关于x的分式方程无解，则________． 16. 若，则的值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：. 20. 如图中任一点经过平移后对应点为.将作同样的平移得到,已知，，, （1）在图中画出,； （2）直接写出的坐标分别为 （3）,的面积为____________. 21. 从甲、乙两种饮料中各抽取10盒250毫升的果汁饮料，检查其中的维生素C的含量，所得数据如下（单位：毫克）： 甲：120、123、119、121、122、124、119、122、121、119 乙：121、119、124、119、123、124、123、122、123、122 通过计算说明哪种饮料维生素C的含量高？哪种饮料维生素C的含量比较稳定？ 22. 某超市规定：凡一次购买大米以上可以按原价打折出售，购买（包括）以下只能按原价出售．小明家到超市买大米，原计划买的大米，只能按原价付款，需要600元；若多买，则按打折价格付款，恰巧需要也是600元．若按原价购买与打折价购买的款相同，那么原计划小明家购买多少大米？ 23. 阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． （1）因式分解：； （2）说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 24. 如图，等腰直角三角形中，，，点是边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，． （1）如图，线段与之间的关系是 ；并证明结论成立． （2）如图，是的中点，连结交于，若，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $