2.2 切线长定理教学设计 2024-2025学年浙教版数学九年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 九年级 学期 春季 课题 2.2切线长定理 教学目标 1. 经历切线长定理的探索过程。 2. 掌握切线长定理。 3. 会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题。 教学重难点 教学重点： 本节教学的重点是切线长定理及其应用。 教学难点： 本节例题综合应用知识的程度较高，与切线长定理有关的计算和证明是难点。 教学过程 教师活动 学生活动 环节一：章节起始，启发探索 教师活动1： 回顾一条直线与圆的位置关系：相离、相切、相交；及切线的性质与判定，经历点与圆的位置关系，探讨“点在圆外可作圆的几条切线”这一问题。 学生活动1： 学生观察思考并回答这个问题。 【设计意图】通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。 环节二：观察发现，形成概念 教师活动2： 通过三角板的实物演示发现过圆外一点可作圆的两条切线。 思考：观察你所画的图形，你有什么发现吗？ 定义：从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这点到切点间的线段的长叫做切线长。 注意：切线是直线，不可以度量； 切线长是切线上的切点与切点外另一点之间的线段长，可以度量。 学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导，得出结论，并能区分切线长与切线两个概念。 【设计意图】从圆的轴对称性角度出发得出过圆外一点可作圆的两条切线；从构成要素出发可得出切线长的定义及为后续例题的证明提供解决思路。 环节三：验证定理，归纳小结 教师活动3： 通过测量或折叠进行比较，推测两条切线长相等。 已知： P为⊙O外一点，PA，PB 分别与⊙O相切于点A，B.求证：PA=PB. 证明：如图，连结AO，BO，PO． ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴AO⊥PA，BO⊥PB． 又∵AO＝BO，PO＝PO， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP． ∴PA＝PB． 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。 几何语言：∵PA、PB与⊙O分别相切于点A，B，∴PA = PB 问题：你还能得出什么新的结论？ 图形关系： 全等三角形：△AOP≌△BOP …… 等腰三角形：△OAB、△PAB …… 数量关系: 等线段：OA=OB，AC=BC …… 等角：∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO， ∠PAB=∠PBA，∠OAB=∠OBA …… 位置关系： AB⊥OP，OA⊥PA，BO⊥PB …… 归纳小结： 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形：（1）连接圆心和切点，得到直角；（2）连接两切点，构建等腰三角形；（3）连接圆心和圆外一点，得到角平分线。 学生活动3： 学生通过猜想验证切线长定理，并深入研究相关结论，引导学生发现问题，归纳小结，为后续解题提供知识经验。 【设计意图】引导学生区发现问题，解决问题，总结经验，体会这不仅是知识的积累，也是数学方法的小结，更是高层次的自我认识。 环节四：例题精析，定理应用 教师活动4： 例1 如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B. 已知∠ACB=80°，OC=100cm. 求点C到⊙O的切线长(结果精确到1cm). 解： 如图，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙O相切于点A，B， ∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等). 又∵OA = OB，OC=OC，∴△OAC ≌ △OBC. ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=×80°= 40°. 在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°， ∴=cos 40°，∴AC=OC×cos 40°= 100×cos 40°≈78(cm). 答：点C到⊙O的切线长约为78cm. 例2 如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 解：如图，连结AB，OA，OB，OP . ∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP. 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB，∴OP平分∠APB，∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°=24×=(cm). 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°， ∴= ≈29(cm). 答：两个切点间的距离为24cm，的长约为29cm. 学生活动4： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结。 【设计意图】例题的目的是巩固切线长的概念，让学生熟悉相关结果，经历与本题求解有关的图形关系，并渗透添加辅助线的常用方法。 环节五：关联衍生，拓展提升 教师活动5： 1. 如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点. 以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E. （1）若AB=5，AC=4，求BD的长和⊙O的半径. （2）求证：OB∥DE. 解：（1）在Rt△ABC中，BD=BC==3. 方法一： 方法二：△ADO∽△ACB 方法三：tan∠OAD=tan∠BAC （2）方法一：证明：连接OD. ∵AB切⊙O点D，∴OD⊥AB， ∴∠ODB=∠C=90°. 在Rt△OBC和Rt△OBD中， OC＝OD ，OB＝OB ∴Rt△OBC≌Rt△OBD， ∴∠BOC=∠BOD. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠COD=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠DEO， ∴DE∥OC． 方法二：证明：连接OD，CD. ∵AB切⊙O点D，BC切⊙O点C， ∴BC=BD， ∵OC=OD，OB=OB， ∴Rt△OBC≌Rt△OBD，∴CD⊥OB. ∵CE为⊙O的直径，∴CD⊥DE， ∴OB∥DE． 2. 如图，P 为⊙O 外一点，PA，PB分别切⊙O 于点 A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为______. 解∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B，CD切☉O 于点E， 又∵PA、PB、CD分别是⊙O的切线， ∴PA=PB，CA＝CE，DE＝DB， △PCD的周长等于2PA=10. 若记PO=d，OA=r，则，即△PCD的周长为定值。 学生活动5： 学生合作交流，回顾已学知识，结合已有的解题经验，从不同角度去思考问题，拓展思维深度和宽度，提升学生综合性解决问题的能力。 【设计意图】学以致用，从做题中加强对知识的理解和运用能力，一题多解，结合其他知识，综合性考查学生的推理能力和计算能力。 环节六：课堂总结，体悟新知 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$