第五单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

第五单元圆(讲义) 2024-2025学年六年级数学上册人教版 Ⅰ知识点梳理 知识点一：认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：圆的中心位置叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d＝2r或r ＝ 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。（经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线） 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是： 长方形 只有3条对称轴的图形是： 等边三角形 只有4条对称轴的图形是： 正方形; 有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 知识点二：圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π（pai） 表示。 （1）圆周率π是一个无限不循环的小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 （2）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。 （3）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 3、圆的周长公式： C= πd d = C ÷π 或C=2π r r = C ÷ 2π 4、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 如图： 5、区分周长的一半和半圆的周长： （1） 周长的一半：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即 π r （2） 半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：πr＋2r 即 5.14 r 知识点三：圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形 叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。 3、圆面积公式的推导： 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 × 宽 所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 S圆 = πr × r 圆的面积公式： S圆 = πr2 r2 = S ÷ π 4、环形的面积： 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。（R＝r＋环的宽度．） S环 = πR²－πｒ²　 或 环形的面积公式： S环 = π（R²－ｒ²） 5、一个圆，半径扩大到原来的n倍，直径和周长也扩大到原来的n倍。 而面积扩大到原来的n倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。 6、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方比。 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9 7、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大。 8、确定起跑线： （1）每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。 （2）每条跑道直道的长度都相等，因跑道有宽度，所以各圆周长不相等、 （因此起跑线不同） （3）每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度 （4）当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。 9、常用数据 3π = 9.42 5π = 15.7 6π = 18.84 7π = 21.98 9π = 28.26 16π = 50.24 4π = 12.56 8π = 25.12 25π = 78.5 5=25 6=36 8=64 10=100 15=225 11=121 16=256 13=16Ⅱ精典例题 例题1 没有理解半径和直径的概念 【例题1】判断：半径是射线，直径是直线。（ ） 【错误答案】× 【错因】没有理解半径和直径的概念。 【答案】√ 【解析】因为半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。直径是通过圆心，两端都在圆上的线段。因此，半径和直径都是线段。 例题2 在比较圆与半圆的周长时出错。 【例题2】判断：半圆的周长比圆的周长小。（ ） 【错误答案】√ 【错因】给出的条件不够，没有限定圆的直径。 【答案】× 【解析】本题错在没有限定圆的直径。直径相等的半圆和圆相比，半圆的周长比圆的周长小。但有些半圆的直径远远大于圆的直径，尽管它的周长只有一半，半圆的周长也大于圆的周长。 例题3 圆的面积公式理解错误。 【例题3】一个圆形纽扣的半径是3cm，它的面积是多少平方厘米？ 【错误答案】3.14×3×2=3.14×6=18.84（平方厘米） 答：它的面积是18.84平方厘米。 【错因】本错把r2理解成r×2。 【答案】3.14×32=3.14×9=28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 【解析】此题错在把32当成3×2计算了。而32=3×3=9。 例题4 忽略了判断扇形与圆心角大小关系的前提条件。 【例题4】判断：圆心角越大，扇形越大。（ ） 【错误答案】√ 【错因】这种说法不对。它忽略了判断扇形与圆心角大小关系的前提条件在同一个圆中，圆心角越大，扇形才越大。 【答案】× 【解析】在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角越大。 Ⅲ知识点演练场 一、填空题。(每空2分，共24分) 1.下图中，阴影部分的面积是整个圆面积的 ，阴影部分的圆心角是( )°。 2.如图是轴对称图形，它有( )条对称轴，已知图中大圆的直径是16cm，是小圆直径的2倍，每个小圆的面积是( )cm²。 3.一枚1元硬币和一枚大衣纽扣的直径之比是5：4，那么1元硬币和这枚大衣纽扣的周长之比是( ),面积之比是( )。 4.把圆分成若干等份，照图中的样子拼成一个近似的长方形，已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，这个圆的周长是( )厘米。 5.张爷爷打算种一些蔬菜，用篱笆靠墙围成一个半圆形的菜地，篱笆长12.56米，围成的菜地的面积是( )平方米。 6.一张长方形铁皮，长是12 dm，宽是7 dm，如果要在这张长方形铁皮上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )dm。 7.把一个上表面半径为30厘米的蛋糕切成大小相同的几份，已经吃掉了4份(如图)，剩下的蛋糕上表面的面积为( )平方厘米，周长为( )厘米。 8.广州圆大厦位于广东省广州市荔湾区白鹅潭经济圈最南端，是一栋高138米、外圆直径146.6米、内圆直径47米的33层的近似圆形建筑(如图)。外圆的周长比内圆的周长多( )米，计算这个圆形建筑正面的面积应列式为( )。(所有结果用含π的式子表示) 二、选择题。(每题2分，共16分) 1.玩丢手绢时小朋友们一般会围成圆形，这是因为( )。 A.同圆中半径都相等 B.半径决定圆的大小 C.圆心决定圆的位置 D.圆的面积比较大 2.下面图形中，对称轴条数最多的是( )。 3.彤彤的自行车前轮半径是0.3m，她骑车从家到超市前轮转动了100圈，从家到超市的距离为( )m。 A.188.4 B.94.2 C.28.26 D.113.04 4.学校要为一个面积为50m²的圆形花坛安装自动旋转喷灌装置，以下几种射程的自动旋转喷灌装置中，选射程为( )的比较合适。(该装置安装于圆心处) A. 1m B.2m C.3m D.4m 5.如图，逸飞和小橙分别从A、B两点处出发，沿半圆分别走到 C、D点处，两人走的路程相差( )m。 A.2π B.5.5π C.π D.4π 6.如图，两个图形中，涂色部分的( )。 A.周长相等，面积相等 B.周长相等，面积不相等 C.周长不相等，面积相等 D.周长不相等，面积不相等 7.如图，在圆中画一个最大的正方形，圆的直径是10cm，涂色部分的面积是( )。 A.50cm² C.28.5cm² 8.超市进行投飞镖抽奖的活动，投中最中间的圆是一等奖，投中最中间的圆外面的第一个圆环是二等奖，投中最外面的圆环是三等奖，投中正方形和最外面的圆之间的部分是四等奖，如图所示。已知最小圆的半径为2分米，圆环的环宽都是1分米，获得( )等奖的可能性更大一些。 A.一 B.二 C.三 D.四 三、计算图形中涂色部分的周长和面积。(12分) Ⅳ知识点加油站 四、操作题。(16分) 1.用圆规画一个直径为4cm的圆，标出圆心和半径，再在圆中画一个圆心角是45°的扇形。 2.用圆规和三角尺画美丽的图案。要求：在下面右边的方框内设计2个图案，使得这2个图案的周长与下面左边图中阴影部分的周长相同。 五、解决问题。(32分) 1.如图，工人师傅用铁丝将3根同样粗的钢管捆在一起(如图)，铁丝绕了2圈，已知钢管的外直径是30厘米，如果铁丝的接头处长度忽略不计，至少需要多长的铁丝? (5分) 2.巴黎凯旋门是现今世界上最大的一座圆拱门，如图所示，它的中心拱门高36.6米，宽14.6米。中心拱门(从前面看)可近似看作由一个半圆和一个长方形组成的封闭图形，它的周长是多少米? (6分) 3.有一个直径为10米的圆形旋转木马场地，游乐场管理员准备在它周围增加一条2米宽的环形通道(如图)。这条环形通道的占地面积是多少平方米? (6分)岁 4.如图，将一块正方形纸板剪去4个大小一样的圆，每个圆的周长均是9.42 cm，这块纸板的剩余面积是多少? (7分) 5.街心公园运来了一批用于装饰的中空石柱，石柱的半径是0.5m，内壁厚度是0.2m。(8分) (1)如图，一根石柱的横截面面积是多少平方米? (2)工人师傅要把其中一根石柱滚动到墙角堆放(如图所示)，这根石柱要滚动几圈? 附加题(10分) 李洋利用木棍和彩纸做了一把折扇(彩纸只贴一面)，如下图所示。这把折扇打开时的最大角度是 ，做这把折扇大约需要多少平方厘米的彩纸? (得数保留整数) Ⅴ参考答案 一、填空题。(每空2分，共24分) 1.60 2.1 50.24 3.5:4 25:16 4.12.56 5.25.12 6.21.98 7.1884 185.6 【解析】根据题图可知,把蛋糕切成了大小相同的12份，已经吃掉了4份，还 剩下蛋糕的((12-4)÷12=2/3;根据圆的面积公式S=πr²求出原来蛋糕上表面的面积，然后乘即可求出剩下的蛋糕上表面的面积。根据圆的周长公式S=2πr求出原来蛋糕上表面的周长，然后乘求出剩下蛋糕上表面圆弧的长度，再加上2个半径长度即可求出剩下的蛋糕上表面的周长。 8.99.6π [(146.6÷2)²-(47÷2)²]π 二、选择题。 (每题2分，共16分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A D C C C C 8. C 【解析】最中间圆的面积：3.14×2²=12.56(平方分米) 最中间的圆外面的第一个圆环的面积：2+1=3(分米) 3.14×(3²-2²)= 15.7(平方分米) 最外面的圆环的面积：3+1=4(分米) 3.14×(4²-3²)=21.98(平方分米) 正方形和最外面的圆之间的部分的面积： (4×2)²-3.14×4²=13.76((平方分米) 21.98>15.7>13.76>12.56,所以获得三等奖的可能性更大一些。 三、计算图形中涂色部分的周长和面积。(12分) 1.周长:3.14×4×2÷2=12.56( cm) 面积：3.14×4²÷2-4×4=9.12(cm²) 2.周长:3.14×(4+3)÷2+3.14×4÷2+3.14×3÷2=21.98( cm) 面积：3.14×[(4+3)÷2]²÷2-3.14×(4÷2)²÷2+3.14×(3÷2)²÷2=16.485(cm²) 四、操作题。 (16分) 1.画图略。 2.(画法不唯一) 五、解决问题。 (32分) 1.(3.14×30+2×30×2)×2=428.4(厘米)…… 4分 答：至少需要428.4厘米长的铁丝。 ⋯ 1分 2.36.6-14.6÷2=29.3(米)… 1分 14.6×3.14÷2=22.922(米) …2分 22.922+29.3×2+14.6=96.122(米) ⋯ 2分 答:它的周长是96.122米。… 1分 3.10÷2=5(米) … 1分 5+2=7(米) … 1分 3.14×(7²-5²)=75.36(平方米) … 3分 答：这条环形通道的占地面积是 75. 36平方米。… 1分 4.9.42÷3.14=3( cm) … 2分 3÷2=1.5( cm) … 1分 (3×2)²-3.14×1.5²×4=7.74(cm²)… 3分 答：这块纸板的剩余面积是7.74cm²。… 1分 5.(1)[0.5²-(0.5-0.2)²]×3.14=0.5024(m²)… 3 分 答：一根石柱的横截面面积是0.5024 m²。… 1分 (2)(9.92-0.5)÷(0.5×2×3.14)=3(圈)… 3分 答：这根石柱要滚动3 圈。 …1分 附加题(10分) [3.14×20²-3.14×(20-8)²]×(cm²) 答：做这把折扇大约需要 268 cm²的彩纸。 【解析】可先求出外圆半径是20 cm，内圆半径是(20-8) cm的圆环的面积，再用圆环的面积乘即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$