精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二期中考试 数学试卷 命题人：大连市第十二中学 孙翠玲 校对人：大连市第十二中学 赵江萍 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求 【详解】，，故直线的倾斜角. 故选：B 2. 如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理求解即可. 【详解】因为在平行六面体中，是的中点， 所以. 故选：A. 3. 若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 4. 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意做出光线传播路径，求关于轴的对称点，点关于轴的对称点，进而得所在直线的方程即为直线方程，再根据两点式求方程即可. 【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径， 则点关于轴的对称点， 点关于轴的对称点， 则所在直线的方程即为直线方程， 由两点是方程得直线方程为：，整理得： 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求关于轴的对称点与关于轴的对称点所在直线的方程，考查运算求解能力，是中档题. 5. 已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用A，B两点在直线上，也在椭圆上可得关于的方程，从而可求的值. 【详解】因为A，B两点在直线上，故可设， 故， 因为，故即， 因为A，B两点在椭圆上，故即， 故，等式两边同时减去1，整理得到， 解得或. 而，故，故, 故选：A. 6. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图①，因为， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面， 所以平面平面，故C正确; 对于D，如图②过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面， 平面平面， 所以平面， 显然平面，所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：D. 7. 已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程可得过定点，再由平面向量的线性运算可得，结合坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，则圆心，， 设，且直线过定点， 所以，， ， 所以 . 故选：A 8. 已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的焦点为、，点在椭圆上，则（ ） A. 焦点、坐标为， B. 的最大值为7，最小值为1 C. D. 为直角三角形的顶点有4个 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆的方程可得焦点坐标判断A；根据椭圆的性质判断 B；根据椭圆的定义判断C；根据为直角三角形确定M个数判断D. 【详解】由椭圆，可知，且焦点在轴上， 则，焦点坐标为 ，，故A错误； 由椭圆的性质知，的最大值为，最小值为，故B正确； 由椭圆的定义知，，故C正确； 因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，当为直角顶点时， 为直角三角形有4个，当或垂直轴时，为 直角三角形有4个，故为直角三角形的顶点共有8个，故D错误. 故选：BC 10. 已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 圆上存在两点和，使得 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D. 【详解】A选项：圆：的标准方程为， 圆心为,半径为，因为直线：与圆交于，两点， 所以圆到直线的距离为，即，解得， 所以的取值范围是，故A正确； B选项：圆：的标准方程为， 圆心，半径，根据两圆的方程有直线方程为， 圆到直线AB的距离为，所以， 圆上任意两点，，，故B错误； C选项：圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确； D选项：因为，所以为等边三角形， 圆到直线的距离为，所以， 故或，故D错误. 故选：AC 11. 已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值范围为 B. 当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形 D. 已知为的中点，当的和最小时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱,,,,,的中点，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则点、、设点， 平面，则为平面的一个法向量，且，， ， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确； 对于B选项，当与重合时，连接， 在正方体中，平面，平面，， ∵四边形是正方形，则，，平面， 平面， 平面，，同理可证， ，平面，平面， 易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为. 分别取棱,,,,,的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误； 对于C选项，设平面交棱于点，点，， 平面，平面，，即，得，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，， 而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，， ， 所以，四边形为等腰梯形，C选项正确； 对于D选项，将矩形与矩形沿摊平为一个平面，如下图所示： 若最短，则三点共线， ，，又， ，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解. 【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴由，解得：或， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 14. 下列命题 ①若两直线与平行，则实数的值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是______（请填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据直线平行的条件判断①，根据转移法求轨迹方程判断②，转化为两圆相交可求半径范围判断判断③，转化为三角形面积后再转化为求的最值即可利用圆心到直线的距离得解判断④. 【详解】当两直线与平行，则， 解得或，经检验，或时，两直线不重合， 故实数的值为1或，故①错误； 设，则，代入圆的方程可得，故②正确； 圆上恰有两点到点的距离为1， 问题转化为以为圆心，半径为1的圆与圆相交即可， 所以， 解得，故③正确； 因为, 所以当最小时，四边形面积有最小值，由圆性质知，的最小值即为 圆心到直线的距离，所以四边形面积的最小值为，故④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 分别求适合下列条件的曲线方程 （1）已知圆经过三点，，，求圆的方程； （2）经过点，两点的椭圆的标准方程； （3）已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）设椭圆方程为代入点求解即可； （3）由题意求出即可得出标准方程. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由圆经过三点，，， 得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 【小问3详解】 由得，又，故， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）作于点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 小问1详解】 证明：作于点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，， 即，取，解得； 所以，平面， 平面； 【小问2详解】 解：设与所成的角为， ，， ， 与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 解：设点到平面的距离为， 则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得， 所以点到平面的距离为． 17. 若椭圆和椭圆满足，则这两个椭圆相似，称为其相似比. （1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程； （2）设过原点的一条射线分别与（1）中两个椭圆交于两点（其中点在线段上），求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算相关系数即可求得； （2）当射线与轴重合时，计算得. 当射线不与轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.假定射线的方程为，解方程求得A,B的坐标，得到|OA|,|OB|的长度关于k的表达式，进而求得,分离常数求得取值范围. 【详解】（1）假定所求的椭圆方程为，则有，解得， 所以所求的椭圆方程为; (2)当射线与轴重合时，，此时. 当射线不与轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形. 假定射线的方程为，设，则有 由，解得， ∴.同理. 则. 综上. 【点睛】本题考查新定义问题，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的交点，取值范围问题，属基础题，较为简单，关键是注意对直线的斜率存在与否的讨论，不要遗漏. 18. 已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆标准方程. （2）已知，为圆上任意一点，问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程； （2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解； （3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题. 【小问1详解】 由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以， 故圆的标准方程为；. 【小问2详解】 假设存在定点B，设，如图， 设，则， 则， 当，即或（舍去）时，为定值，且定值为， 故存在定点B使得为定值， B的坐标为； 【小问3详解】 由（2）知，故，从而， 当且仅当P、B、三点共线时，最小， 且， 所以的最小值为. 19. 如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解法一，由平面ABCD，，可求得，证明，得证；解法二，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点为轴，建立空间直角坐标系，由结合已知条件求出点坐标，利用向量坐标运算证明，得证；解法三，在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F，通过证明平面，得证，在各直角三角形中，通过相似比和勾股定理，求出的值，由，得证； （2）过作于H，由等体积，求值即可； （3）解法一，以D为原点，的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系；解法二，利用（1）中解法二的空间直角坐标系；设，向量法求平面EBD与平面的夹角，由的值确定结论. 【小问1详解】 解法一：因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以，，所以，， 因为，所以， 又因为，. 所以，化简得. 所以， 所以. 解法二：在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 设，则， 所以，， 由得，所以， 又因为，所以，解得， 所以，，，， 所以， 所以. 解法三：在平面ABCD中，过B作DC的垂线，垂足为G，连结交于F. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 则，所以，所以，， 在中，，，，所以， 在中，，，所以， 在中，，，，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，由（1）知，所以， 过作于H，则. 因为直棱柱中平面平面ABCD，平面平面， 平面ABCD，所以平面， 所以. 【小问3详解】 解法一：假设存在点E满足条件， 因为⊥平面ABCD，， 所以以D原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，， ， 设，则， 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，得，所以. 设平面的一个法向量， 由，得， 令，得，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得， 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 解法二：由（1）解法二得平面的一个法向量为， 假设存在E点满足条件，设，则 设平面EBD的一个法向量为， 由，得， 令，则，所以. 所以， 因为平面EBD与平面的夹角为， 即，解得. 又因为，所以舍去， 所以线段上不存在点E使得平面EBD与平面的夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高二期中考试 数学试卷 命题人：大连市第十二中学 孙翠玲 校对人：大连市第十二中学 赵江萍 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，是中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射线恰好过点，则所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与直线交于A，B两点，点满足，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 6. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 7. 已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知右焦点为F的椭圆E：上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的焦点为、，点在椭圆上，则（ ） A. 焦点、坐标为， B. 的最大值为7，最小值为1 C. D. 为直角三角形的顶点有4个 10. 已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 圆上存在两点和，使得 C. 圆上的点到直线的最大距离为 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为2，如图，为棱上的动点，平面，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值范围为 B. 当点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C. 当点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得的截面图形是等腰梯形 D. 已知为的中点，当的和最小时，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 13. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______. 14. 下列命题 ①若两直线与平行，则实数值为1 ②圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 ③若圆上恰有两点到点距离为1，则的取值范围是 ④已知动点在直线上，圆，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为4 正确的是______（请填序号） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 分别求适合下列条件的曲线方程 （1）已知圆经过三点，，，求圆的方程； （2）经过点，两点的椭圆的标准方程； （3）已知椭圆的离心率为，短轴长为，求其标准方程； 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面四边形为菱形且，，为的中点，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 若椭圆和椭圆满足，则这两个椭圆相似，称为其相似比. （1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程； （2）设过原点的一条射线分别与（1）中两个椭圆交于两点（其中点在线段上），求的取值范围. 18. 已知半径为2的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. （1）求圆标准方程. （2）已知，为圆上任意一点，问在轴上否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求出定点坐标及定值；若不存在，请说明理由. （3）在（2）的条件下，若点，试求的最小值. 19. 如图，在平行六面体中，平面ABCD，，， （1）求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）线段上是否存在点E，使得平面EBD与平面的夹角为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$