精品解析：福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高玉华 审核人：黄文根 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算求值即可. 【详解】因为. 故选：B 2. 椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即得. 【详解】由，则，所以， 根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为. 故选：C. 3. “”是“直线与圆：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相切关系可得或，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 若直线与圆相切，则，解得或， 且是的真子集， 所以“”是“直线与圆：相切”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面， 所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确. B选项，若，可能是非零向量，是零向量， 此时不存在，使，所以B选项错误. C选项，对于，有，所以四点共面， 所以C选项正确. D选项，若是空间的一个基底，， 假设，， 则共面，与已知矛盾，所以不共面， 所以是基底，所以D选项正确. 故选：B 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平方即可求解. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【详解】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故选：C 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率. 【详解】由椭圆定义得：，又因为， 所以解得：， 再由于，，结合勾股定理可得： ，解得，所以椭圆的离心率为， 故选：C. 8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2， 则，，，设， ，， 则直线DE与直线AF所成角的余弦值， 而，故，， 故选： C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离、判断线面垂直以及点到面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则， 且E，F，G分别为棱，，的中点，可知， 可得， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点F到直线的距离为，故B正确； 对于选项C：因为，可得， 且，平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：因为平面的法向量可以为， 点到平面的距离为，故D错误； 故选：BC. 11. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在P使得 B. 椭圆C的弦MN被点平分，则 C. ，则的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出的范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D. 【详解】对于A.由余弦定理知 ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时为钝角最大， 所以存在P使得，所以A正确； 对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，， 不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在. 设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确； 对于C.，， 因为，所以， 因为，解得. 因为，所以，所以C正确； 对于D.，设，则，整理得， 可得直线PA，PB的斜率分别为， 所以，所以D错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与直线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 故答案为：. 13. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】法一：直接设出坐标为，利用在椭圆上以及得到关于的方程组，从而解出，进而求出的面积. 法二：利用，推导出与两焦点构成的三角形为直角三角形，再求出该直角三角形面积，从而利用几何关系得出的面积. 【详解】法一：设椭圆上，则，又，联立解得，， 则． 法二：设椭圆的另一焦点，，则焦点为直角三角形， 设，，则，，解得， 所以. 则． 故答案为： 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. （1）求边所在的直线方程； （2）求顶点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程. （2）求出直线的交点坐标即可. 【小问1详解】 由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为， 又直线过，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点， 由，解得， 所以点. 16. 已知空间三点，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值； （2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积. 【小问1详解】 由，，， 则，，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由已知得， 解得，，， 所以圆的方程为，即； 【小问2详解】 ① 若直线有斜率，可设的方程为，即， 由已知，则圆心到直线的距离 解得， 此时，直线的方程为，即； ② 若直线没有斜率，则的方程为， 将其代入，可得或， 即得，，满足条件， 综上所述，直线的方程为或． 18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 【答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0. 【解析】 【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程； （2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程. 【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）， 因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0）， 由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2， 所以， 所以椭圆C的方程为 +y2=1， （2）设， 由题可设直线AB的方程为x=my+1. 联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0， 则有， 所以 又由S=，即 解得m2=1，即m=±1. 故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0 19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． （2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积； （ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值． （2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）若，折叠前直线的方程为， 联立，解得或，可得，， 圆：，与轴交于两点，则， 折叠后三棱锥的体积为． （ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，， ，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以． 易知为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由题可知为锐角， 所以 故二面角的余弦值为． 【小问2详解】 设折叠前，，圆心到直线的距离， 则， 直线与圆方程联立得， 即，． 设，在新图形中的对应点分别为， ，， ． 若折叠后的长度与折叠前的长度之比为， 则，解得， 故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为． 【点睛】关键点点睛：（2）由几何法求出折叠前的长度，直曲联立，消元后得韦达定理，利用弦长公式求得折叠后的长度，令它们之比为时，求得，可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高玉华 审核人：黄文根 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 12 3. “”是“直线与圆：相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件 4. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 5. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） A. B. 点A关于平面对称的点的坐标为 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 点F到直线的距离为1 C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在P使得 B. 椭圆C的弦MN被点平分，则 C. ，则的面积为9 D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______． 13. 已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. （1）求边所在的直线方程； （2）求顶点的坐标. 16. 已知空间三点，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的面积. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程． 18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）若． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求二面角的余弦值． （2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $