6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时题目 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 第 1课时 一、内容和内容 解析 内容 平面向量数乘运算的坐标表示 内容解析 本节课选自《普通高中数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示. 二、学情分析 引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示. 三、目标和目标 解析 目标 (1)学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. (2)经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神. (3)理解用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向量共线求点的坐标. 目标解析 达成目标的标志是： (1)通过本节的学习，知道向量数乘运算的坐标形式，会通过已知向量及实数，求得向量数乘运算的坐标. (2)能理解两个向量平行的充要条件坐标形式的含义. (3)会用这个结论判断两个向量是否平行. 教学重点 推导平面向量数乘运算的坐标表示. 根据向量的坐标，判断两向量是否共线. 教学难点 向量共线的坐标表示的推导（消去λ） 四、教学方法分析 让学生类比平面向量加减法的坐标表示的推导，得出平面向量数乘运算的坐标表示；通过问题引导，解决向量共线的坐标表示的推导时如何消去λ. 5、 教学过程 设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务 解决 设计意图 核心任务一 环节一 创设情境 明确问题 问题1：已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，求a+b，a-b 问题2：已知a =（x，y），你能得出λa的坐标吗？ 解决问题1： 学生独立思考后回答出 a+b=（x1+x2，y1+y2） a-b=（x1-x2，y1-y2） 通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 环节二 抽象概念 形成定义 平面向量数乘运算的坐标表示 问题2：已知a =（x，y），你能得出λa的坐标吗？ 教师引导学生模仿向量加减法的坐标表的示推导方法. 由a =（x，y）先得到a = xi+yj再利用数对向量的分配律进行运算 例6. 已知a =（2，1），b＝(-3，4)，求3a+ 4 b的坐标. 解决问题2： 学生在教师的引导下思考并计算 由a =（x，y）得a = xi+yj 则λa =λ( xi+yj) =λxi+λyj 即λa =(λx，λy) 学生独立完成 解： 3a+ 4 b ＝3（2，1）+4(-3，4) =（6,3）+（-12,16） =（-6,9） 类比向量的加减法的坐标表示的推导过程，得出向量的数乘运算的坐标表示，并通过例6让学生进一步识记向量的数乘运算的坐标表示. 小结：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 即a =（x，y）则λa=（λx，λy） 核心任务二 环节三 利用新知 得出结论 向量共线的充要条件的坐标表示 问题3： a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标来表示两个向量共线的条件？ 追问1：两个向量共线的条件是什么？(向量a与b，b≠0共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得a＝λb) 追问2：如何用坐标表示两个向量共线？ 追问3：如何消去λ，消去λ时能不能两式相除? （教师要引导学生得出不能得结论和理由，y1， y2有可能为0，b≠0只能说明中x2，y2至少有一个不为0） 结论：向量a与b，b≠0共线的充要条件是x1 y2-x2 y1＝0 学生讨论： 两个向量共线的条件是什么？ 讨论结果： 1.图形上： 2.代数形式上：向量共线定理a＝λb （b≠0） 学生尝试完成 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 其中b≠0，用坐标表示 a＝λb 可得(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 即 x1＝λx2， y1＝λy2 代入消元后可得 x1 y2-x2 y1＝0 通过自主思考、互相交流的形式，使学生理解用坐标表示平面向量共线的条件，能利用向 量共线求点的坐标，提高学生解决问题、归纳规律的能力 环节四 学以致用 例7 已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y 例8 已知判断A，B，C三点之间的关系。 引导学生：猜想A，B，C三点共线时，构造共点向量，证明共线 例4.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ， （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。 学生独立完成，解得。 解： 又 所以 又直线AB，直线AC有公共点A，所以，A，B，C三点共线。 通过例题练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力。 课堂小结 1、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 即a =（x，y）则λa=（λx，λy） 2、a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0向量a，b共线的充要条件是x1 y2-x2 y1＝0 六、目标检测（作业设计） 1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a＋b＝(　　) A．(1,6) B．(5,4) C．(1，－6) D．(－6,5) 2．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则＝(　　) A．(－4,6) B．(2，－3) C．(2,3) D．(6,4) 3.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴 上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标. 课后完成： 例9设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ， （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。 七、板书设计 6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示 一.坐标运算 二.例题讲解 1.a=(x1 ,y1)b=(x2 ,y2)， 例4 a+b=？ a- b=？ 例5 2.已知， = ？ 八、反思 教学过程中，要在关键性问题上引导到位，设计有助于学生自主探究的问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$