精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年度高二年级（上）数学期中考试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 2. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 当直线斜率为-1时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 二、多选题 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ） A. 若，则的轨迹的长度等于2 B. 若，则的轨迹方程为 C. 若，则的轨迹与圆没有交点 D. 若，则的最大值为3 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 三、填空题 12. 若不等式的解集是，则的解集为_______． 13. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________. 四、解答题 15. 已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0. （1）当时，求圆心和半径； （2）若曲线C表示的圆与直线l：相交于M，N，且，求m的值． 16. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 17. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面BDEF； （2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设为大圆上任一点，连接，与小圆交于点．过点分别作轴、轴的垂线，两垂线交于点．设以为始边，为终边的角为，点的坐标是，那么点的横坐标为，点的纵坐标为．由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：．当半径绕点旋转一周时，就得到了椭圆的轨迹，因此我们把（为参数）叫做椭圆的参数方程． （1）已知椭圆上有不同的两点、，试写出椭圆的参数方程，并利用椭圆的参数方程求面积的最大值；（参考公式：若、，则．） （2）如图，已知在三棱锥中，，，，且，，试利用椭圆的参数方程求锐二面角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2024-2025学年度高二年级（上）数学期中考试卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的一般式方程，明确其斜率，令斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，解得. 故选：B. 2. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程. 【详解】由题意得，，解得，， 故， 故双曲线渐近线方程为. 故选：C 3. 已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程. 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 4. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示， 由图可知，的解集是， 故选：B． 5. 已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 6. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 7. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 8. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为4 B. 当直线斜率为-1时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，作出辅助线，由抛物线定义表达出，得到长度的最小值；B选项，法一，直线为，联立抛物线方程，表达出，，得到中点坐标；法二：点差法结合直线斜率求出答案；C选项，作出辅助线，由焦半径公式得到，结合梯形中位线得到，C正确；D选项，设直线为，与联立得，得到两根之和，两根之积，求出，得到结论. 【详解】A选项，，，准线方程为， 若直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，舍去， 设过点的直线方程为， 联立与得，， 易知，则， 则， 过点分别作垂直于直线于点， 由抛物线定义可知，， 故当时，即直线与轴垂直时，最短，最短长度为2，A错误； B选项，此时直线为， 法一．与联立得， ，故中点为， 法二．设AB中点坐标为，，两式相减有， 故，故，故中点为；B正确； C选项，设中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义知， ， 故以线段为直径的圆与直线相切，C正确； D选项，设直线为，与联立得， 易知，则， ， 故，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 二、多选题 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用作差法，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，由，，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因为，又， 当时，，当时，，当，，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，所以选项D正确. 故选：AD. 10. 在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ） A. 若，则的轨迹的长度等于2 B. 若，则的轨迹方程为 C. 若，则的轨迹与圆没有交点 D. 若，则的最大值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，确定M点轨迹，即可判断；对于B，结合双曲线定义进行判断；对于C，求出M点轨迹方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D，求出动点M的轨迹方程，进而求解数量积最值，即可判断. 【详解】选项A：因为，所以的轨迹为线段， 从而的轨迹的长度等于2，故A正确； 选项B：因为，由双曲线的定义知，的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由，得的轨迹方程为） 选项C：解法一：由，得， 化简得，，联立，得， 这与矛盾，所以方程组无解，故的轨迹与圆没有交点，故C正确； 解法二：若有交点，则， 又，矛盾， 所以的轨迹与圆没有交点，故C正确； 选项D： 解法一：由得，， 化简得， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 等于在轴上的投影的长度， 由图知其最大值为3，故D正确； 解法二：同法一得的轨迹是以为圆心，半径为的圆， ，由圆的方程知可取到最大值3，故D正确； 解法三：由得，， 当在的反向延长线上时取等号， ①； ②当在的反向延长线上，且时， 满足条件，此时， 所以的最大值为3，故D正确； 故选：ACD． 11. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.则下列说法正确的是（ ）（参考数据：） A. 若，则的方程为 B. 若上的点到两定点的距离之积为16，则点在上 C. 若，点在上，则 D. 当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设上的点为，整理可得的轨迹方程为.对于A：直接代入即可；对于B：可得，代入检验即可得；对于C：根据的轨迹方程为代入点整理可得，换元构建函数，可知为在内的零点，结合二次函数的性质分析判断；对于D：根据题意可得，，结合勾股定理分析求解. 【详解】设上的点为，可得， 整理可得，即的轨迹方程为. 对于选项A：若，即， 所以的轨迹方程为，故A正确； 对于选项B：因为若上的点到两定点的距离之积为16， 即，，可得， 对于点，显然，所以点不在上，故B错误； 对于选项C：若，则的轨迹方程为， 代入点可得，整理可得， 令，可得， 令，可知为在内的零点， 因为的图象开口向上，对称轴为，可知在内单调递增， 且， 可知在内存在唯一零点，且，即，故C正确； 对于选项D：若，则， 且点在第一象限内，则， 又因为的面积为， 可得，且，则， 可得， 则，即， ，即， 所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于选项C：根据题意分析可得，换元构建函数，将方程的根转化为函数零点，结合零点存在性定理分析判断. 三、填空题 12. 若不等式的解集是，则的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 13. 已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值. 【详解】设点，由可得，整理可得， 化为标准方程可得， 因为为的中点， 所以， ， 记圆心为，当点为线段与圆的交点时， 取最小值，此时，， 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0. （1）当时，求圆心和半径； （2）若曲线C表示的圆与直线l：相交于M，N，且，求m的值． 【答案】（1）圆心坐标为（1，2），半径为；（2）m=4. 【解析】 【详解】试题分析: （1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，即可求得圆心和半径； （2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值． 试题解析： （1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11， 圆心坐标为（1，2），半径为； （2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m， ∴圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离d=， 又圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半径r=，， ∴（）2+（）2=5﹣m，得m=4. 16. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】（1） （2） （3）4.0米 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【小问1详解】 如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； 【小问2详解】 ，焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； 【小问3详解】 设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 17. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． （1）求证：平面BDEF； （2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 且O为AC中点，，， 又，平面BDEF，∴平面BDEF． （2） 【解析】 【分析】（1）结合菱形性质，利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为， 则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 【点睛】 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设为大圆上任一点，连接，与小圆交于点．过点分别作轴、轴的垂线，两垂线交于点．设以为始边，为终边的角为，点的坐标是，那么点的横坐标为，点的纵坐标为．由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：．当半径绕点旋转一周时，就得到了椭圆的轨迹，因此我们把（为参数）叫做椭圆的参数方程． （1）已知椭圆上有不同的两点、，试写出椭圆的参数方程，并利用椭圆的参数方程求面积的最大值；（参考公式：若、，则．） （2）如图，已知在三棱锥中，，，，且，，试利用椭圆的参数方程求锐二面角余弦值的最小值． 【答案】（1）椭圆的参数方程为（为参数），面积的最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设即可得椭圆的参数方程，设，其中，再利用，即可求解； （2）作于，连接，根据条件，可得二面角的平面角为，再根据条件得的轨迹方程，结合点轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【小问1详解】 因为椭圆方程为，则椭圆的参数方程为（为参数）， 设，其中， 则， 因为，所以，所以，故面积的最大值为. 【小问2详解】 如图1，作于，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以，则为二面角的平面角， 因为，所以点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 以直线为轴，线段的中垂直线为轴，则椭圆方程为，图象如图2， 易知椭圆的参数方程为（为参数）， 由椭圆的对称性，可设，其中，则， 又因为，所以点的轨迹在以为焦点的双曲线的一支上，又， 以直线为轴，线段的中垂直线为轴，则双曲线方程为，点的轨迹如图3，且， 所以， 所以， 所以，令， 所以， 当且仅当时，等号成立 所以当且仅当时，， 故锐二面角余弦值的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第（2）问，利用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程，利用椭圆的参数方程设参即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $