精品解析：江苏省扬州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

扬州市第一中学2024-2025学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知是一次函数，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“，为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合有6个非空子集 B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. 已知，则的范围为 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____________. 13. ，若，则__________. 14. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且.求ab的最大值. 18. 某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是： ①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍； ②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出. （1）设定价为（）元，净收入为元，求关于的表达式； （2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？ 19. 已知函数是定义域上的奇函数，． （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若函数，若对，，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市第一中学2024-2025学年度第一学期 高一数学期中考试试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集概念求解． 【详解】 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可确定答案. 【详解】命题“，”为特称命题， 其否定为全称命题：，， 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算出所有函数值即可. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断所求式子范围，后平方求值即可. 【详解】易知，而 故 故选：D 5. 已知是一次函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解． 【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，. 故选：A． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及当时函数值的正负即可判断. 【详解】因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C； 又时，，排除选项D，故选项B正确. 故选：B. 7. “”是“，为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m的范围，然后可得. 【详解】由“，为真命题”得，解得， 因为必有，反之不成立， 所以“”是“，为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果． 【详解】函数, 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C； 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D. 故选：A． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 集合有6个非空子集 B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. 已知，则的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由集合非空子集的个数即可判断A；当时，即可判断B；由必要不充分的定义即可判断C，由不等式的性质即可判断D. 【详解】集合非空子集的个数为，故A错误； 当时，，符合题意，故B正确； 由条件可得，反之，不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 因为，则，所以，故D正确； 故选：BCD 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的“完美区间”，则 B. 函数存在“完美区间” C. 二次函数存在“2倍美好区间” D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增， 所以其值域为，又因为为的完美区间， 所以，解得或，因为，所以，A错误； 对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确； 对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， ，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确. 对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”， 若，由函数在内单调递减，则，解得； 若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式分母不为零,平方根被开方数不小于零,即可求得 【详解】要使函数有意义须, 所以函数的定义域为. 故答案为: 【点睛】本题考查函数的定义域,对于函数解析式成立的条件要熟练掌握,属于基础题. 13. ，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，为奇函数， 由，解得，所以. 所以. 故答案为：4. 14. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】由，故可得，则， 当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为； 根据题意可得，即，，解得. 故实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【小问1详解】 由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； 【小问2详解】 由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【小问1详解】 由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且.求ab的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）函数变化为，再利用基本不等式即可. （2）把化为，利用基本不等式即可； 【详解】（1）因为，所以， 则 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. （2）因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的最大值为. 18. 某影院共有1000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是： ①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍； ②影院放映一场电影的成本费为5750元，票房收入必须高于成本支出. （1）设定价为（）元，净收入为元，求关于的表达式； （2）每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？此时放映一场的净收入为多少元？ 【答案】（1）；（2）每张票价定为22元时净收入最多，最大值为8330元. 【解析】 【分析】（1）根据的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案． 【详解】（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入 必须高于成本支出， ，票价最低为6元， 票价不超过10元时： ，的整数）， 票价高于10元时： ， ， 解得：， ，的整数）； 所以 （2）对于，的整数）， 时：最大为4250元， 对于，的整数）； 当时，最大， 票价定为22元时：净收入最多为8330元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据的范围得到函数的解析式是解题的关键． 19. 已知函数是定义域上的奇函数，． （1）求的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若函数，若对，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数在上单调递增． 设，则， 因为，，，， 可得， 所以， 从而函数在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义结合列式运算可得解； （2）由函数单调性定义可证明； （3）由题意转化为，令，可令，利用二次函数讨论求最值可得解. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，可得， 所以，所以， 又，所以， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题得，， 对，，都有，只需要， 令，则在单调递增，所以，则， 对称轴，当时，由的单调性可得， ，得，故； 当时，， 得，故； 当时，， 得，故； 当时，， 得，故； 综上：实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $