专题08 三角函数的简单应用重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题08 三角函数的简单应用重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 三角函数在生活中的应用 题型二 三角函数在物理学中的应用 题型三 三角函数新定义 题型四 三角函数在圆周运动问题中的应用 题型五 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 知识点1 三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2) 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【经典例题一 】 【例1】（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 2．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 3．（24-25高二上·宁夏·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离为1分米，秒针均匀地绕点旋转，当时间秒时，点与钟面上12的点重合．将的长度用（分米）表示． (1)当秒时，求的值； (2)当时，将表示成的函数，求的解析式； (3)设，（，），求时的取值范围． 【经典例题二 】 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）简谐振动 简谐振动（，）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为 ，周期T＝ ，而表示单位时间内往复振动的次数，称为 ，称为 ，时的相位φ称为 ． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 【经典例题三 】 【例3】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【经典例题四 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例6】（2023春·广东韶关·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（    ）      A． B． C． D． 1.（2023·全国·高三专题练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 2.（2023秋·浙江·高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是 ． a．经过10分钟，点P上升了82.5米 b．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 c．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 d．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍 3.（2023秋·江西赣州·高二校考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为多少．    【经典例题五 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】 【例7】（2023·全国·高三专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（    ）    A． B．4m C． D． 1.（2023春·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 2.（2023·全国·高一假期作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在 ．（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 3.（2023春·贵州毕节·高一校考期中）某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有几个月？ 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（   ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 7．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 8．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 9．（23-24高一下·湖北·期中）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（    ）    A．经过12分钟，点首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 10．（23-24高二下·福建南平·期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（    ） A．当时，点A恰好位于轮子的最高点 B． C．当时，点A距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 11．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为 . 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 13．（23-24高一下·广东佛山·期中）“广佛之眼”摩天轮半径为，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心距地面的高度为，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 ． 14．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O所需要的时间为 s．    15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      16．（24-25高三上·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．    (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 18．（22-23高一下·陕西咸阳·期中）某用电器电流随时间变化的关系式为，如图是其部分图像． (1)求的解析式； (2)若该用电器核心部件有效工作的电流必须大于，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？（电流的正负表示电流的正反方向） 19．（21-22高一下·上海浦东新·期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数； (2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？ 20．（22-23高一下·北京西城·期中）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角函数的简单应用重难点题型专训（5大题型+20道拓展培优） 题型一 三角函数在生活中的应用 题型二 三角函数在物理学中的应用 题型三 三角函数新定义 题型四 三角函数在圆周运动问题中的应用 题型五 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 知识点1 三角函数的简单应用 (1)三角函数应用的步骤 (2) 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【经典例题一 】 【例1】（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故选：B 1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中（小于平角的那个），然后由勾股定理计算． 【详解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，因此，如图， 所以， 故选：A．    2．（2024·四川·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 【答案】 【分析】利用三角函数的应用建立距离水平地面的高度关于的关系式，再代入即可得解. 【详解】依题意，设距离水平地面的高度， 所以，，则， 所以， 则， 故答案为：. 3．（24-25高二上·宁夏·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离为1分米，秒针均匀地绕点旋转，当时间秒时，点与钟面上12的点重合．将的长度用（分米）表示． (1)当秒时，求的值； (2)当时，将表示成的函数，求的解析式； (3)设，（，），求时的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）确定，由余弦定理即可求解； （2）确定，再由余弦定理即可求解； （3）通过同角三角函数的平方关系、正弦二倍角公式、完全平方和及完全立方和公式化简求解即可. 【详解】（1）由题意作图如下， ，当时， ，在中，由余弦定理得， （2）由（1）图可知：， 当时，， 在中，由余弦定理得， . （3）由（2）， ，， 当时，， 当时， ， 因为，所以， 所以， 所以， 当时， ， 因为，所以， 所以， 所以. 【经典例题二 】 【例2】（24-25高一·上海·随堂练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案. 【详解】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 1．（23-24高一下·陕西渭南·期末）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据得到，再令求解. 【详解】解：由，得， 所以，，则， 令，得， 解得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为： ， 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）简谐振动 简谐振动（，）中，A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为 ，周期T＝ ，而表示单位时间内往复振动的次数，称为 ，称为 ，时的相位φ称为 ． 【答案】 振幅 频率 相位 初相 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·全国·课前预习）某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 【答案】，． 【分析】由振子振动的物理学原理判断位移关于时间的函数解析式为，根据表格数据作出散点图，依次确定的值即得函数解析式. 【详解】振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知， 其位移y随时间t的变化规律可以用函数来刻画． 根据已知数据作出散点图，如图所示． 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此； 振子振动的周期为，即，解得； 再由初始状态（）振子的位移为，可得，解得. 所以振子的位移关于时间的函数解析式为，． 【经典例题三 】 【例3】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 1．（22-23高二下·福建漳州·期末）对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】​​​​​​​利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意，得 . 故选:C. 2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】利用给定定义直接判断①，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素判断②，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可. 【详解】对于①，由知， ，故①正确. 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误. 对于③，当时， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然，可得恒成立， 即.， 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分讨论即可， （3）求解讨论得 【详解】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理. 【经典例题四 三角函数在圆周运动问题中的应用】 【例6】（2023春·广东韶关·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为4，筒车的轴心到水面的距离为2，筒车每分钟按逆时针转动3圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：）.若以筒车的轴心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy（如图2），则h与t的函数关系式为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D. 【分析】首先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，根据图形表示可. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 因为圆的半径为则点的纵坐标为， 又因为筒车的轴心到水面的距离为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：D. 1.（2023·全国·高三专题练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【答案】D. 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为： ， 由题意得：， ，则 ， 所以 ， 选项A，转到后，点距离地面的高度为： ，故A不正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍， 故B不正确； 选项C，因为 ， ， 所以 ， 即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确； 选项D，令， 则 ，由， 解得 ， 所以， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为， 故D正确； 故选：D. 2.（2023秋·浙江·高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮的转盘直径为110米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为80米，摩天轮匀速逆时针旋转，每30分钟转一圈．若摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下列说法中错误的是 ． a．经过10分钟，点P上升了82.5米 b．在第20分钟和第40分钟时点P距离地面的高度相同 c．摩天轮旋转一周的过程中，点P距离地面的高度不低于55米的时间大于20分钟 d．点P从第5分钟至第10分钟上升的高度是其从第10分钟到第15分钟上升的高度的2倍 【答案】c 【分析】由已知得出时间与高度的关系式：，利用该关系式代入求值即可. 【详解】解：由已知得点从最低处开始，转动时间与其距地面高度的关系可以用正弦型函数表示. ∵每30分钟转一圈，故周期； ∵摩天轮直径110米，故振幅，摩天轮中心距地面80米，则， 又可知代入可得：. 故： a项：经过10分钟，，故点P上升了82.5米，正确； B项：经过10分钟和40分钟，而40分钟比10分钟多一周期，∴都上升了82.5米，故高度相同，正确； b项：当旋转5分钟时，，此时与底面距离52.5米，从而高度低于55米的时间大于10分钟，即不低于55米的时间小于20分钟，故错误； d项：，显然正确． 故选：c 3.（2023秋·江西赣州·高二校考开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为多少．    【答案】 【分析】设点，利用点到水面的距离求出函数的解析式，计算时的值即可． 【详解】设，则点到水面的距离， 由题可知，与的夹角为， 在时间转过的角度为， 由图可知，点的纵坐标， 因此则点到水面的距离， 当时，，所以点到水面的距离为．. 【经典例题五 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】 【例7】（2023·全国·高三专题练习）如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（    ）    A． B．4m C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由题图可得，，则， 当时，取得最小值，即，解得， ∵函数的图象过点， ∴，又，则，所以，∴， ∴． 当时，，即估计当天的水深为． 故选：A. 1.（2023春·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【答案】B. 【分析】由三角函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B. 2.（2023·全国·高一假期作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在 ．（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 【答案】至 【分析】根据题意，求出函数的表达式为，即可得解. 【详解】由题意得，函数的周期为，振幅，所以， 又因为达到最大值， 所以由，可得， 所以，所以函数的表达式为， 令，解得，所以在可安全离港， 3.（2023春·贵州毕节·高一校考期中）某超市2022年从1月到12月冰激凌的销售数量与月份近似满足函数，该超市只有8月份冰激凌的销售数量达到最大值，最大值为8500，只有2月份冰激凌的销售数量达到最小值，最小值为500，则该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份共有几个月？ 【答案】5个月 【分析】通过最大值与最小值求出，利用最值横坐标之差求出，代入最值，根据，求出值，则得到，列出不等式，求出的范围即可. 【详解】由题意，得，， 由，得，所以. 因为， 所以，所以，所以， 又，所以当时，，故. 由，得， 则，所以， 当时，，又，所以，7，8，9，10， 即该超市冰激凌的销售数量不少于6500的月份数是5. 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据曲线方程上的点可得，将代入计算可得纵坐标. 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由锐角三角函数的定义可得，，再结合条件，即可求出结果. 【详解】由题可得，，所以， 又，得到， 又，所以，解得m， 故选：A. 3．（23-24高一下·江西新余·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的一个周期，再利用三角函数的性质解不等式即得. 【详解】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为. 故选：B 4．（2024·河南·模拟预测）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，分别令、和，求得相应的函数值，进而求得前3秒该质点走过的路程，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，周期为， 可得，所以， 因为在函数图象上，可得，即， 又因为，所以， 因为时，，所以，所以， 令，则， 故函数图像在轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为, 令，则；令，则； 令，则， 所以质点在的路程分别， 所以前3秒该质点走过的路程为. 故选：D 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系可得函数的周期为4，进而求得的值，令，解出不等式即可. 【详解】由题意得， 故函数的周期为， 则， 可得， 位移的大小即， 故令， 得， ， 或, 则， 或者， 故总时间为： ， 故选：C. 6.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型): 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（   ） A．体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的 B．第462天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期 C．智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点 D．不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点 【答案】ACD 【分析】观察给定的三条曲线，求出它们的最小正周期，再逐项分析判断即可. 【详解】对于A，观察图象知，智力曲线的最小正周期，情绪曲线的最小正周期， 体力曲线的最小正周期，因此体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的，A正确； 对于B，462除以33余数为0，462除以28余数为14，此时，情绪曲线处于周期处， 处于下降期，而智力曲线刚好处于周期的起点处，处于上升期，B错误； 对于C，智力曲线的对称中心的横坐标，情绪曲线的对称中心的横坐标， 体力曲线的对称中心的横坐标，取的公倍数即得3条曲线公共对称中心横坐标， 有无数个，即三条曲线存在无数个公共的对称中心，因此智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点，C正确； 对于D，智力曲线的对称轴方程，情绪曲线的对称轴方程， 体力曲线的对称轴方程，令， 由，得，而， 因此不存在自然数使得方程成立，即三条曲线不存在公共的对称轴， 因此不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：求解本问题，观察图象求出曲线的最小正周期是解决问题的关键. 7．（22-23高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　 　) A．点P第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为 【答案】ACD 【分析】由题意设出函数解析式，由最大值与最小值列式求得与的值，由周期求得，再由时，求解，得到函数解析式判断D；令求解判断A；取秒求得判断B；取秒求得判断C． 【详解】设点距离水面的高度为（米和（秒的函数解析式为，，， 由题意，，， ，解得， ， ，则． 当时，， ，则， 又，则． 综上，，故D正确； 令，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，，故C正确． 故选：ACD． 8．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 【答案】ABD 【分析】根据题意，确定函数解析式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒， 所以，因此A正确； B：因为当时，盛水筒位于点，所以， 所以有，因为，所以， 即， 所以，因此B正确； C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为， 所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误； D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中， 盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确. 故选：ABD 9．（23-24高一下·湖北·期中）如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（    ）    A．经过12分钟，点首次到达最低点 B．第16分钟和第32分钟点距离地面一样高 C．从第28分钟至第40分钟点距离地面的高度一直在降低 D．摩天轮在旋转一周的过程中，点有8分钟距离地面的高度不低于80米 【答案】ABD 【分析】由题意结合诱导公式可得，根据题意结合余弦函数性质逐项分析判断即可. 【详解】设为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟， 则. 对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 因为，则，令，解得， 所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确； 对于B选项，因为， 即，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确； 对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈， 所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟， 根据A选项可知，经过12分钟，点P首次到达最低点， 所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C选项错误； 对于D选项，由，则， 其中，即， 则或，解得或， 故摩天轮在旋转一周的过程中点P有分钟距离地面不低于80米， D选项正确. 故选：ABD. 10．（23-24高二下·福建南平·期末）A是轮子（半径为0.5m）外边沿上的一点，若轮子从图中位置（A恰为轮子和地面的切点）向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为x m（）时，点A距离地面的高度为，则（    ） A．当时，点A恰好位于轮子的最高点 B． C．当时，点A距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】设轮子滚动了后到达了点，过点作垂直地面，过点作，求得函数的解析式为，结合余弦型函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为， 如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得 过点作垂直地面，过点作， 则，即， 对于A中，当时，，所以A不正确； 对于B中，可得，所以B正确； 对于C中，当时，可得， 由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以C正确； 对于D中，由，可得， 可得，所以， 令且，且， 则，且， 当时，可得的最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 11．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为 . 【答案】 【分析】根据摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，求出，根据每10分钟转一圈，求出，最后根据点的起始位置在摩天轮的最低点，求出，再代入即可求解. 【详解】因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，， 而函数的周期为10，即，则， 又当时，，则，而，解得， 所以， 故答案为：. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 【答案】4 【分析】由表中的数据可得，可求出，由最大值和最小值可求出，从而可求出函数关系式，然后将代入可求得答案. 【详解】由题意得函数（其中）的周期为， 所以，得， 由表中数据可知最大值为7，最小值为3，则，解得， 所以， 所以该港口在11:00的水深为． 故答案为：4. 13．（23-24高一下·广东佛山·期中）“广佛之眼”摩天轮半径为，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心距地面的高度为，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 ． 【答案】85 【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解. 【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为， 设在时，距离地面的高度为，其中， 则，可得，则， 由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以， 即， 当时，可得，即，因为，解得，所以， 令，可得， 所以，游客进䑪时他距离地面的高度为， 故答案为：85． 14．（22-23高一下·全国·单元测试）如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为 ，第二次到达平衡位置O所需要的时间为 s．    【答案】 /0.5 【分析】由周期得出频率，进而得出第二次到达平衡位置O所需要的时间. 【详解】单摆摆动的频率 当时，，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为． 所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为 故答案为：；. 15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为 .      【答案】 【分析】根据题意求得，由区间的区间长度个周期，分区间在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得，所以， 又由，可得，解得 因为，所以，所以， 由区间的区间长度为，即区间长度为个周期， 当区间在同一个单调区间时，不妨设，可得 则， 因为，可得，当或时，取最小值； 当区间在不同一个单调区间时，不妨设，可得， 此时函数在上先增后减，此时， 不妨设，则 ， . 综上可得，最小值为. 故答案为：. 16．（24-25高三上·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．    (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 【答案】(1)，． (2)，；或 【分析】（1）据题意，设，由条件确定的值； （2）由题意，1号与9号座舱的角度差为，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，进而求出高度差，由余弦函数性质即可求. 【详解】（1）设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，． （2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为． 不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，， 则，， 所以高度， 由参考公式得，上式 从而高度差为，； 当，即，时，解得，， 又，所以或，此时高度差的最大值为． 17．（24-25高三上·北京·阶段练习）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 18．（22-23高一下·陕西咸阳·期中）某用电器电流随时间变化的关系式为，如图是其部分图像． (1)求的解析式； (2)若该用电器核心部件有效工作的电流必须大于，则在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是多少？（电流的正负表示电流的正反方向） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得函数的振幅与周期，即可得，再利用待定系数法求即可； （2）由题意令，，根据正弦函数的单调性解不等式，即可得解. 【详解】（1）∵周期， ∴， 又，∴， 将点代入上式，得，又， ∴，， ∴； （2）当时，此时， 令， 则或， 所以或， 解得或， 由， 得在1个周期内，该用电器核心部件的有效工作时间是． 19．（21-22高一下·上海浦东新·期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． (1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数； (2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？ 【答案】(1) (2)2秒 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后结合题意和物理意义及待定系数法确定参数值即可求得函数的解析式； （2）结合（1）中函数的解析式求解三角不等式即可确定有多长时间点距水面的高度不低于2米． 【详解】（1）解：设， 根据函数的物理意义可知： ， 由题意可知当时，， 则，所以， 则， 又因为函数的最小正周期为， 所以， 所以； （2）解：根据题意可知，， 即， 当水轮转动一圈时，，， 可得：， 所以此时， 解得， 又因为 （秒， 即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米． 20．（22-23高一下·北京西城·期中）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1)或，； (2)①，②答案见解析. 【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出； （2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由正弦函数的性质可得或，. （2）①若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为，即或 ，解得， 综上，时，； ②若，由①可知，. . 函数图象如图， 函数的周期为，对称轴方程为或， 当或时，有最大值，即最大值点为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$