精品解析：江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷

江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y2＝－12x的准线方程是 A. x＝－3 B. x＝3 C. y＝3 D. y＝－3 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 4. 方程的化简结果为（ ） A. B. C. D. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线过定点 D. 三条直线交于同一点 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 直线与曲线有3个公共点 C. 点的纵坐标的取值范围是 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________. 13. 已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______. 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 16. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 18. 若动点到点的距离比它到直线的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市通州区、如东县2地2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3.本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，. 故选：B 2. 抛物线y2＝－12x的准线方程是 A. x＝－3 B. x＝3 C. y＝3 D. y＝－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得其焦点在x轴负半轴上，且p=6，由准线方程计算可得答案． 【详解】根据题意，抛物线的标准方程为y2=﹣12x， 其焦点在x轴负半轴上，且p=6， 则其准线方程为x=3； 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及准线方程的求法，关键是掌握由抛物线的标准方程求准线方程的方法． 3. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 4. 方程的化简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【详解】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A 6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解. 【详解】由题可得，解得， 所以两直线分别为，， 所以这两条直线间的距离为. 故选：B. 7. 若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值， 即为定值，所以. 故选：C 8. 设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法、联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】双曲线对应，， 设，则， 两式相减并化简得， 由于，所以， 而B选项中，点，对应，所以B选项错误. C选项中，点，对应，所以C选项错误. A选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得，， 所以方程组无解，所以A选项错误. D选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得， ，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】关键点睛： 中点坐标与代数运算结合的应用：利用中点坐标公式结合代数运算进行求解，可以有效判断给定点是否为中点，正确设定中点的坐标并代入验证，是解题的关键. 消去法的运用：在代入方程并进行化简时，消去法是确保推导过程严谨的重要方法，通过逐步消去不相关的变量，最终确定符合条件的解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线过定点 D. 三条直线交于同一点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角，截距、定点、交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误. B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确. C选项，由得， 由，解得，所以定点为，C选项正确. D选项，由解得， ，所以三条直线过同一点，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 过点作圆的切线只有条，则 B. 若圆与圆有且只有条公切线，则 C. 当时，两圆的一条公切线方程为 D. 当时，两圆的公共弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上， 则有，因为，解得，A对； 对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交， 且， 由题意可得，即， 因为，解得，B错； 对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 故当时，两圆的一条公切线方程为，C对； 对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交， 将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为，D错. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 直线与曲线有3个公共点 C. 点的纵坐标的取值范围是 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对称性、直线与曲线的交点、判别式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，曲线， 点都满足方程， 所以曲线关于原点对称，A选项正确. 由消去并化简得， 解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项正确. 由整理得， 令，则有非负根， 而其对称轴， 所以，， 解得，所以C选项错误. 令，则，代入， 化简得， 由于的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 由解得（负根舍去）， 所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： 利用方程形式判断对称性：首先观察曲线方程的形式，结合对称性条件判断曲线是否对称，这是快速确定对称性的重要步骤. 结合交点方程进行分析：通过消去并化简方程，得出直线与曲线的交点个数，结合符号分析确保每一个解都被考虑. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题设可知，椭圆与双曲线的焦点都在轴上，则有且，解之即得所求 【详解】依题意，椭圆与双曲线的焦点都在轴上 则且 解之得，（舍） 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“曼哈顿距离”列方程，结合绝对值的知识求得点的轨迹所围成图形的面积.根据已知条件列不等式，求得的范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】设，则， 若，则；若，则； 若，则；若，则， 由此画出点的轨迹如下图所示（正方形）， 由图可知点的轨迹所围成图形的面积为. 椭圆，对应，， 要使椭圆上有且仅有8个点满足， 根据对称性，由方程组有两个解，且， 所以，整理得， ， 解得， 所以. 故答案为： 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）若为上一点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【小问1详解】 依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 16. 已知圆经过点，且与圆相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为. （1）若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； （2）若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程和双曲线的方程，利用根与系数关系求得线段的长. （2）根据对称性进行转化，设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，向量的坐标运算求得正确答案. 【小问1详解】 由消去并化简得， 设，则， 所以. 【小问2详解】 依题意，双曲线上存在两点，，满足， 设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知， 双曲线对应， 则，依题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 则， 即. 设，则①，②， 由得， 所以③， 由①③解得，代入②得： ，由于， 所以，整理得，解得. 【点睛】思路点睛： 联立方程求解交点：首先通过联立直线和双曲线方程，利用代数方法求解交点的位置，这一步是解答线段长度和直线斜率问题的基础. 结合对称性分析直线斜率：通过设定双曲线上存在的对称点，结合对称性推导出直线的斜率，从而确定直线方程的具体形式. 18. 若动点到点的距离比它到直线的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） 设，则，由于在轴的正半轴， 所以，则，， 设，的方程为， 由，消去得， ，由， ，解得，则， 所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）先求得点坐标，然后根据直线平行求得点坐标，再根据直线的方程求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：通过抛物线定义求轨迹：首先利用动点的轨迹符合抛物线的定义，结合焦点和准线，求解轨迹的方程,这是确保解题正确的基础. 利用直线相交条件确定定点：通过设定直线与轨迹有且仅有一个公共点的条件，结合消去法，确定直线过定点并求定点坐标. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为. ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，， 由，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）①设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ②先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $