精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试 数学试卷 命题人：大连市第二十三中学 马晓晶 校对人：大连市第二十三中学 刘金秋 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定形式，直接求解. 【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论， 所以命题，的否定是，. 故选：C. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】当时，；而当时，或， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，，又， 所以的大小关系是. 故选：B 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【详解】函数的定义域为， 则，则且， 则函数的定义域为. 故选：D. 5. 若正实数a， b满足则有（ ） A. 最小值，且最小值为 B. 最小值，且最小值为 C. 最大值，且最大值为 D. 最大值，且最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最值，进而可得出合适的选项. 【详解】已知，，且满足， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B 6. 根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（ ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可. 【详解】设，由表格中的数据得， ，， ，，， 所以， 又的图象是连续不断的， 所以在内有零点． 故选：. 7. 已知定义在上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则的取值范围是 C. 若，则 D. 函数有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，由条件得到是偶函数，在上单调递增，故； B选项，由单调性和奇偶性得到不等式，求出； C选项，由，单调性和奇偶性得到当时，，当时，，得到不等式解集； D选项，由单调性和奇偶性得到 【详解】A选项，由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A正确； B选项，若，则，得，故B错误； C选项，是偶函数，且，故， 在上单调递增，故在上单调递减， 故当时，，当时，， 若，则或， 所以或，故C正确； D选项，因为定义在上函数的图象是连续不断地， 在上单调递增，故在上单调递减， 所以，故D正确. 故选：B 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可. 【详解】易知对称轴为，故，易知，， 可得，而，故在上单调递增， 且， ，故， 故是的子集， 可得，解得，故B正确. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例即可说明A；由不等式的性质，即可说明B；利用作差法即可判断C；根据配方法即可判断D． 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，所以故B正确； 对于C：， 因为，所以，所以，即，故C正确； 对于D：等价于，成立，故D正确； 故选：BCD． 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的结论中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上是单调递增函数 D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由定义计算；B选项，取特殊值可判断，C选项，利用解析式判断单调性；D选项，结合函数新定义判断. 【详解】表示不超过的最大整数，则有，其中时， ，A选项正确； ，， ，不是奇函数，B选项错误； 时，，，则在上是单调递增函数，C选项正确； ，，，即的值域是，D选项正确. 故选：ACD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D. 函数，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用复合函数的单调性求的取值范围；B选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C选项，解含绝对值的方程；D选项，构造函数，利用为奇函数，且在上单调递增，解不等式. 【详解】对于A，函数在区间上是增函数， 由函数是R 上的减函数，有函数在上单调递减， 时符合题意，A选项错误； 对于B，， 时，，有，得， 所以函数在上的值域为，B选项正确； 对于C，若关于的方程的两根分别为，，且， 则有，，所以，C选项正确； 对于D，设，， ， ，即， 设， ， 由于，故，，故， 则，故为奇函数，且在上单调递增， 则， 即， 故，解得，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】函数为奇函数，有，代入解析式计算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 则. 故答案为： 13. 若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图象过点可得答案. 【详解】的图象过点， 图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点． 故答案为：． 14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可； （2）通过讨论和即可求解. 【小问1详解】 集合，， ； 【小问2详解】 ，， ①当时，，， ②当时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为； 16. 计算下列各式的值. （1） （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解； （2）由已知分别求得和的值，代入即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. （1）求，判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性； （3）解不等式. 【答案】（1），奇函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，即可由求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据奇偶性以及单调即可求解. 【小问1详解】 函数对任意的，都有， 令，得，， 奇函数，证明如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明：任取，则， 由于，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由可得， 由于在上单调递增， 所以，解得或， 所以不等式的解集是. 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数，的值. （2）试判断并证明函数的单调性； （3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，可得对任意的成立，可得实数，的值，代入验证后即可求解； （2）根据题意设任意的，，由单调函数定义即可判断； （3）利用换元法令，若不等式恒成立，再根据基本不等式性质即可求解. 【小问1详解】 因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以 【小问2详解】 任意的， 有， 所以，故函数是上的增函数； 小问3详解】 ， 因为恒成立， 等价于恒成立，令，， 则， 则，可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可； （2）根据，，分类讨论求解即可； （3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设. 该函数的图象经过点，解得，所以. 【小问2详解】 因为，其对称轴方程为， 当，即时，. 当，即时， 当，即时， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. 【小问3详解】 若对于任意，总存在，使得成立， 等价于 函数， 因为，所以，所以当时，取得最小值 当时，，所以，不成立 当时，，所以， 解得或，所以 当时，，所以，解得，所以 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试 数学试卷 命题人：大连市第二十三中学 马晓晶 校对人：大连市第二十三中学 刘金秋 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数a， b满足则有（ ） A. 最小值，且最小值为 B. 最小值，且最小值为 C. 最大值，且最大值 D. 最大值，且最大值为 6. 根据表格中数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（ ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A. B. C. D. 7. 已知定义在上函数的图象是连续不断地，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则的取值范围是 C. 若，则 D. 函数有最小值 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C 若，则 D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的结论中正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上是单调递增函数 D. 的值域是 11. 下列命题中正确是（ ） A. 已知函数，若函数在区间上是增函数，则取值范围是 B. 函数在上的值域为 C. 若关于的方程的两根分别为，，且，则有 D. 函数，则不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________. 13. 若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是________． 14. 定义若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 16. 计算下列各式的值. （1） （2）已知，求的值. 17. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立，且当时，. （1）求，判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性； （3）解不等式. 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求实数，的值. （2）试判断并证明函数的单调性； （3）已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值； （3）设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$