精品解析：新疆阿克苏地区柯坪县柯坪湖州国庆中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 5. 若是定义在上的奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题（每小题6分，共24分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 的一个必要条件是 11. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 写出一个定义域不为R的奇函数___________. 14. 幂函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________. 15. 设函数，则___________. 16. 某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为______________m时，过道占地面积最小，最小面积为______________m2. 四、解答题（本题共 6 小题，共 66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. （1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 19. 求下列函数的定义域或值域： （1）求的定义域； （2）的值域； 20. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求函数在区间上的值域. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 22. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据定义域得到，解得答案. 【详解】，定义域满足：，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的定义域，属于简单题. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可确定选项. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项即可. 【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数； B：定义域为，定义域为R，不为同一函数； C：与的对应法则不同，不为同一函数； D： 且 ，定义域都为，是同一函数. 故选：D 5. 若是定义在上的奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与单调性求解， 【详解】由是奇函数，在内是增函数，，故 当或时，， 当或时，， 的解集为或， 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【详解】由题意，，令，则， 所以函数解析式为， 所以，则． 故选：B. 7. 定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即不等式的解集是. 故选：D 8. 已知命题，命题，若命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为，结合基本不等式即可求得a的范围，命题q直接利用判别式即可求得a的范围，取交集即可得答案. 【详解】∵愿明天即命题为真命题， ， 又，当且仅当，即时，等号成立， ， ∵命题，为真命题， 或， ∵命题p，q都是真命题， 或． 故选：C 二、多选题（每小题6分，共24分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数相等的条件是定义域、解析式必须都相同，再来判断这两个要素即可得解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 10. 下列说法正确的是（ ）． A. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 的一个必要条件是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据并集的结果可得，即可知A正确；易知方程只有一根，可得或，B错误；根据一元二次方程根与系数之间的关系可判断C正确，易知可得的一个充分条件是，即D错误. 【详解】对于A，根据可知，即集合为集合的子集， 由中有2个元素，因此集合N的个数为个，即A正确； 对于B，若集合中只有一个元素，则方程只有一根， 若，方程为，满足题意； 若，则可得，解得，满足题意； 因此或，所以B错误； 对于C，由可得，即一元二次方程有两根，且两根之积为，所以两根为一正一负，即充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根则须满足，且两根积为，即，可得必要性成立，即C正确； 对于D，由可得，易知可推出，所以可得的一个充分条件是，即D错误. 故选：AC 11. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式的三个条件：“一正，二定，三相等”，来判断代数式是否一定成立. 【详解】由于，不满足恒为正数，A错误； ，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，C正确； ，故，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD 12. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 写出一个定义域不为R的奇函数___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，可举例函数，结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】令，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为定义域不为的奇函数. 故答案为：（答案不唯一） 14. 幂函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，列式求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，得. 故答案为： 15. 设函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 16. 某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为______________m时，过道占地面积最小，最小面积为______________m2. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，列出边与过道占地面积的函数关系式，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设矩形田地的边长为，过道占地面积为， 由题意可得， 当且仅当时，即时，最小，且， 所以矩形田地的边长为时，过道占地面积最小，最小面积为. 故答案为：； 四、解答题（本题共 6 小题，共 66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再利用补集与交集定义计算即可得； （2）由题意可得集合是集合的真子集，再分及讨论并计算即可得. 【小问1详解】 当时，，且， 故； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意； 当，即，即时， 只需或，即或， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 18. （1）比较与的大小； （2）已知实数满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用不等式的性质即可求解. 【详解】（1）； （2）令 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为. 19. 求下列函数的定义域或值域： （1）求的定义域； （2）的值域； 【答案】（1）且且； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意由求解； （2）令，由求解. 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得且且， 所以函数的定义域为且且. 【小问2详解】 由题意得， 所以， 所以函数的值域是. 20. 已知函数． （1）求函数的定义域，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1），是增函数，证明如下： ∵，∴，∴， ∴函数的定义域为. ∵，∴函数在上是增函数. 证明如下：任取，，且， 则， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴在上是增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据分母不为零可以求出函数的定义域，对函数解析式变形可判断函数的单调性，利用定义法对函数的单调性进行证明. （2）根据函数的单调性，结合解析式就可以求出函数的值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵函数在上是增函数， ∴在上单调递增， ∴函数， ∵当时， ∴函数的值域为. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 22. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. 【小问2详解】 由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $