精品解析：福建省福州外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

福州外国语学校2024—2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 命题人：陈锦煌 审题人：陈沂 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分，时间：120分钟） 班级__________座号__________姓名__________ 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名. 考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，若，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 直线：与直线：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆：的离心率为，则（ ） A. B. 或 C. 8或2 D. 8 5. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________． 13. 若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于两点，以为直径的圆经过点，若，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算歩骤. 15. 的三个顶点分别是. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 17. 已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. （1）求的轨迹方程； （2）若恰为弦的中点，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，， ，平面平面. （1）证明：平面； （2）若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且．过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为． （1）求C的标准方程； （2）过坐标原点O作一条与垂直的直线，交C于P，Q两点，求的取值范围； （3）记点A关于x轴的对称点为M（异于B点），试问直线BM是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州外国语学校2024—2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 命题人：陈锦煌 审题人：陈沂 （全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分，时间：120分钟） 班级__________座号__________姓名__________ 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名. 考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效. 3.考试结束，考生必须将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，若，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出m的值. 【详解】由题意得，即， 解得：，故m的值为4. 故选：D 2. 直线：与直线：互相垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 4. 已知椭圆：的离心率为，则（ ） A. B. 或 C. 8或2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分焦点在轴和轴上两种情况，由离心率得到方程，求出或. 【详解】椭圆：的离心率为， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得. 故选：C. 5. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的基本性质求出的值求出双曲线方程. 【详解】由题意可知①， 渐近线方程：，交点坐标为， ∴，∴②， 由①②解得，， ∴双曲线：. 故选：C. 6. 如图所示，已知在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，再由向量数量积的运算性质即可得解. 【详解】∵，，∴， ∵，∴． ∵，∴ ． ∴． 故选：A． 7. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得， 则圆心，半径， 设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形， 其中，则， 则，所以的最大值为. 故选：D. 8. 设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性知在轴上，设，则由得，求出，利用到直线的距离大于，即可得出结论． 【详解】由题意，，，， 由双曲线的对称性知在轴上，设， 则由，得， ， 到直线的距离为， ，进而 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案； 对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案； 对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案； 对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误； 对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确； 对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为6 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，故A正确； 对B，的周长为，故B正确； 对C，， ，当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：ABD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解. 【详解】， , ， ， 设点A到直线的距离为，则 . 故答案为：. 13. 若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 故答案为：①② 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于两点，以为直径的圆经过点，若，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】不妨设，，则，根据椭圆的定义，结合勾股定理解得，进而利用余弦定理可得，求解离心率即可． 【详解】不妨设，，则，， 由椭圆性质可知，，， 以为直径的圆过点，则在中，，故为直角三角形， 根据勾股定理可知，， 即解得， 故，，，， 由余弦定理可得 化简可得，即，解得， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算歩骤. 15. 的三个顶点分别是. （1）求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； （2）求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】（1）的方程为，的方程为． （2） 【解析】 【分析】（1）设线段的中点为，求得直线的方程为，由，得到直线的斜率为2，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设圆的方程为，根据，，三点都在圆上，列出方程组，求得，，的值，即可得到圆的方程； 【小问1详解】 设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为， 即直线的方程为， 又因为直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率为2， 所以上的高所在直线的方程为， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设圆的方程为（其中， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为， 即； 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：若为中点，连接，又为棱的中点，， 所以，且，即是平行四边形， 所以，面，面，则面. （2）. 【解析】 【分析】（1）若为中点，连接，易证是平行四边形，有，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，构建如图所示空间直角坐标系， 由，，，则，显然面的一个法向量为， 所以，若面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面和夹角的余弦值为. 17. 已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. （1）求的轨迹方程； （2）若恰为弦的中点，求直线的方程. 【答案】（1），（）． （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率公式可得，化简即可得出答案． （2）根据点差法即可作差化简，求解斜率，由点斜式求解直线方程即可得出答案． 【小问1详解】 设， 由题意知，，， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为，（）． 【小问2详解】 设,，,， ,且， 所以， 所以，故 所以， 所以直线的方程为，即． 18. 如图，在四棱锥中，， ，平面平面. （1）证明：平面； （2）若点是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）若点是线段的中点，是直线上的一点，是直线上的一点，是否存在点使得？请说明理由. 【答案】（1） 如图，取的中点，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，平面，， 所以平面. （2）1； （3） 不存在点使得，理由如下： ∵点是线段的中点，∴， 则，，， 设与都都重直的向量为， 则， ∴，令，得， 设直线与直线的距离为， 则， 所以不存在点使得. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解； （2）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为的中点，，所以， 过点作∥交于点E， 由平面，平面，可得， 以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，， 设，∵点是线段上一点， ∴，， 则, ∴, 则, 由（1）知平面的法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或， ∵，所以. 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且．过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为． （1）求C的标准方程； （2）过坐标原点O作一条与垂直的直线，交C于P，Q两点，求的取值范围； （3）记点A关于x轴的对称点为M（异于B点），试问直线BM是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果； （2）根据题意设直线的方程，与椭圆联立，结合韦达定理求，即可得，换元结合二次函数运算求解，注意讨论直线l是否与x轴重合； （3）根据题意求直线BM的方程，结合韦达定理化简整理即可得结果，注意讨论直线l是否与x轴重合. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故椭圆C的标准方程. 【小问2详解】 由（1）可知：，则有： 当直线l不与x轴重合时，设，则， 联立直线l与椭圆C的方程，消去x得， 则， 故， 联立直线与椭圆C的方程，消去y得， 设，则， 故， 可得， 令，则， 故， ∵的对称轴为，则在上单调递减，且， ∴，故； 当直线l与x轴重合时，则，故； 综上所述：的取值范围为. 【小问3详解】 过定点，理由如下： 当直线l不与x轴重合时，设，则， 由（2）可得：， 则直线的斜率， 故直线的方程，即， 对， 可得直线的方程过定点； 当直线l与x轴重合时，则直线即为x轴也过； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛： （1）解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． （2）动直线l过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $