精品解析：陕西省西安市蓝田县2024-2025学年上学期九年级数学期中质量检测试卷

九年级期中学情监测（促学卷） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键，根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，而且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，根据成比例线段的定义可得，据此即可求得答案． 【详解】∵线段，，，是成比例线段，其中，，， ∴． ∴． 故选：B 3. 已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是m，n， ∴， 故选：A． 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，首先设点的坐标为，则有，，根据相似三角形对应边成比例列出关于的分式方程，解方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解， 点的坐标为， 故选：C． 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．首先根据点在数轴上的位置得到的取值范围，得到一元二次方程中，从而可以判定一元二次方程没有实数根． 【详解】解：如图所示， 从数轴上可以看出， 一元二次方程中， ， ， ， ， ， ， 方程没有实数根． 故选：D． 7. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 8. 如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 方程的根是________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据因式分解求解即可． 【详解】解：因式分解得， ∴，， 解得，， 故答案为：，． 10. 在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用化学变化的卡片数除以卡片总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有3张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，且化学变化（火柴燃烧）的卡片有1张， ∴从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是， 故答案为：． 11. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 12. 对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，直接开平方法解一元二次方程．理解题意，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，则，利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 故答案为：或． 13. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，准确应用矩形的性质是解题的关键． 在直线外做直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为，然后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在直线外作直线，且两直线间的距离为，延长至P，使得，则关于直线对称，连接，交直线于点，此时，根据两点之间线段最短可知的最小值为， ， ， 到的距离是：， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为:． 三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 15. 如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再说明是平行四边形，可得，进而得出答案． 【详解】略 17. 已知直角三角形的两条直角边长是关于x的方程的两个实数根，若斜边长为5，求k的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．根据直角三角形的两条直角边长是关于x的方程的两个实数根，得出，，根据勾股定理，求出k的值即可． 【详解】解：解方程， 得，， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 的值为3． 18. 如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 【答案】 证明：为等边三角形， ，， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定和等边三角形的性质，先证明，然后由为等边三角形可证明，从而可证明． 【详解】略 19. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为， 根据题意得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该单位纸的用纸量月平均降低率为． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得，证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】略 21. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘） （1）转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ； （2）请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）不公平， 列表如下： 2 3 4 1 （1，） （1，2） （1，3） （1，4） （，） （，2） （，3） （，4） 3 （3，） （3，2） （3，3） （3，4） 由表可知：共有12种等可能的结果； 其中甲获胜（记为事件A）的结果共7种，分别为：        （1，2），（1，3），（1，4），（，），（3，2），（3，3），（3，4）, ∴． 其中乙获胜（记为事件B）的结果共5种，分别为：        （1，），（，2），（，3），（，4），（3，） ∴； ∵， ∴不公平． 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性等知识点，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算概率即可； （2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵盘被分成面积相等的3个扇形， ∴小明转动一次A盘，转出的数字是负数的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 2 3 4 1 （1，） （1，2） （1，3） （1，4） （，） （，2） （，3） （，4） 3 （3，） （3，2） （3，3） （3，4） 由表可知：共有12种等可能的结果； 其中甲获胜（记为事件A）的结果共7种，分别为： （1，2），（1，3），（1，4），（，），（3，2），（3，3），（3，4）, ∴． 其中乙获胜（记为事件B）的结果共5种，分别为： （1，），（，2），（，3），（，4），（3，） ∴； ∵， ∴不公平． 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， 是的中线， ． 23. 小文准备完成题目“解方程：”时，发现一次项系数“”印刷不清楚． （1）她把“”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案中有一个根是．”通过计算说明原题中“”是几，并求出另一个根． 【答案】（1）， （2）原题中是，另一个根是4 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解等知识．熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）设一次项系数“”为，将代入，可求，即，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得，，； 【小问2详解】 解：设一次项系数“”为， 将代入得，， 解得， ∴， ， 解得，，， 原题中“”是，另一个根是4． 24. 如图，在正方形中，P是对角线上一点，过点P分别作于点，于点N，E是上一点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ∴，平分， ，， ∴，， 四边形是正方形； （2）3 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，平分，由，，可得，，进而结论得证； （2）由题意可求，则，由勾股定理得，，然后求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ∴正方形的面积为3． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，角平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 25. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 【答案】（1）， （2）装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，正方形书法作品的边长为：，再计算其面积即可； （2）根据题意，可知装裱长方形书法作品所用彩纸的面积装裱后长方形书法作品的面积未装裱长方形书法作品的面积，求得，再根据装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：， 正方形书法作品的边长为：，面积为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：， 装裱后长方形书法作品的面积为：， 装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：， 装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积， 即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积， 答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． （1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质是解题的关键； （1）分别令和，然后代入进行求解即可； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论． 【小问1详解】 解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴； 故答案为，； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 若以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则分以下两种情况讨论： ①当为菱形的边时，则，且， 点是第一象限内的点， 点在点A右侧， 点的坐标为； ②当为菱形的对角线时，则，，且点在轴的负半轴上， 设点的坐标为，则，解得， 点的坐标为， ，即， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中学情监测（促学卷） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A. 6 B. 4 C. 8 D. 10 3. 已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 5. 如图，在平面直角坐标系中，，且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 实数在数轴上的位置如图所示，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 方程的根是________ 10. 在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是___________． 11. 如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为____________． 12. 对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为___________． 13. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外部作，且，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（共13小题，计81分解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F.如果，，求的长． 16. 如图，在矩形中，，且交的延长线于点．求证：． 17. 已知直角三角形的两条直角边长是关于x的方程的两个实数根，若斜边长为5，求k的值． 18. 如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 19. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 21. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘） （1）转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ； （2）请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 22. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 小文准备完成题目“解方程：”时，发现一次项系数“”印刷不清楚． （1）她把“”猜成4，请你解方程； （2）她妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案中有一个根是．”通过计算说明原题中“”是几，并求出另一个根． 24. 如图，在正方形中，P是对角线上一点，过点P分别作于点，于点N，E是上一点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 25. 强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房．其中一幅长方形书法作品长80cm，宽20cm，正方形书法作品边长为40cm，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸（如图1，图2），设彩纸的宽为．（粘贴连接处忽略不计） （1）装裱后长方形书法作品的长为______cm；正方形书法作品的面积为______．（用含x的代数式表示） （2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． （1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $