5.1 方程5.1.2方程的解及一元一次方程（课件）-2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

温故而知新 知识点 方程 1 1. 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系， 列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 2. 方程的两要素 一是等式，即用等号连接的式子； 二是含有未知数，但是未知数的个数不限. 温故而知新 知识点 列方程 2 1. 列方程的一般步骤 温故而知新 2. 确定实际问题中相等关系的方法 (1)根据周长、面积、体积公式列方程； (2)根据题目中的不变量确定相等关系； (3)根据关键词确定相等关系. 如和差关系通常用“一共有……”“比……多(少) ”表示，倍数关系通常用“是……的几倍”表示 第五章 一元二次方程 第五章 一元二次方程 5.1 方程 5.1.2方程的解及一元一次方程 新人教版·七年级上册数学 Part 01 学习目标 学习目标 1.通过观察、归纳一元一次方程的概念，理解一元一次方程的定义，会判断一个方程是不是一元一次方程. 2.通过方程的解的定义，理解什么是方程的解，会估算简单的一元一次方程的解，并会检验一个数值是不是方程的解. 重点：初步认识一元一次方程的特征，形成一元一次方程的概念. 难点：理解方程的解的概念. Part 01 新知讲解 新知讲解 已知甲粮仓有粮食 729 t，乙粮仓有粮食 384 t.为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓粮食储量的 2 倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓？ 解：设需要从乙粮仓运送 x t 粮食到甲粮仓. 根据题意，列得方程 729 + x ＝ 2(384－x). 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值. 那么，怎样求出符合方程的未知数的值呢？ 新知讲解 估算方程 1700 +150x = 2450 中未知数 x 的值是多少？ x 1 2 3 4 5 … 1700+150x … 1850 2000 2150 2300 2450 当 x = 5 时，方程 1700 + 150x = 2450 等号左右两边相等. x = 5 叫作方程 1700 + 150x = 2450 的解. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 新知讲解 1.2x + 1 = 0.8x + 3 当 x = 5 时，左边 = 1.2×5 + 1 = 7， 右边 = 0.8×5 + 3 = 7， 这时，方程左边的值 = 右边的值 总结 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. x = 5 就是方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 的解. 新知讲解 1.2x + 1 = 0.8x + 3 3x = 4(x - 5) 0.52x - (1 - 0.52)x = 80 它们有什么共同特征？ 如果方程中只含有___个未知数(元)，且含有未知数的式子都是______，未知数的次数都是___，这样的方程叫作一元一次方程. 一 1 整式 新知讲解 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解(solution). 例如，x=5 就是方程 1.2x+1=0.8x+3 的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 那方程的解和解方程有什么区别和联系呢？ 新知讲解 方程的解 解方程 区别 联系 是一个具体的数. 求方程的解的过程. 方程的解是通过解方程求得的. 方程的解与解方程的区别与联系 新知讲解 思考：x = 60 是方程 x2 = 4 000 的解吗？x = 80 呢？ 右边 = 4 000， 方程左、右两边的值不相等， 解：当 x = 60 时，左边 = ×602 = 2250， 所以 x = 60 不是方程 x2 = 4 000 的解. 当 x = 80 时，左边 = ×802 = 4 000， 右边 = 4 000， 方程左、右两边的值相等， 所以 x = 80 是方程 x2 = 4 000 的解. 新知讲解 检验一个数是不是方程的解的方法 把这个数代入方程的左、右两边 左边=右边 左边右边 是方程的解 不是方程的解 总结 知识点 解方程与方程的解 3 1. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 2. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 总结 特别提醒 方程的解可能不止一个，也可能无解. 如x=1 和x=2 都是方程x2－3x＋2=0 的解，而方程|x|=－2 无解. 牛刀小试 3-1.下列方程中解为x=2 的是( ) A.2x=6 B.－x=1 C.2＋x=0 D.2x－1=3 3-2. [新视角 结论开放题]写出一个解为y=3 的方程： ____________________ . D 2y＋3＝9(答案不唯一) 牛刀小试 已知关于x 的方程2x＋a=9 的解是x=2，求a 的值. 解题秘方：将x =2 代入方程，可得到关于a 的等式，即可求解. 解：将x =2 代入2 x＋a=9，得2×2＋a=9，即4 ＋a=9. 所以a=9 －4 =5 . 新知讲解 思考 观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它们有什么共同特征？ 它们的共同特征： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数都是1； (3)是方程； (4)等式两边都是整式. 新知讲解 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. 注意 一元一次方程成立的条件： ①等式两边都是整式；②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 新知讲解 知识点 一元一次方程 4 1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. ① ② ③ 2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b=0 的形式. 其中x 是未知数，a，b 是已知数，且a ≠ 0 . 我们把ax＋b= 0 叫作一元一次方程的标准形式. 新知讲解 特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，其中特征①③是把方程化简后进行判断，特征②是通过化简前的方程进行判断，即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤： 牛刀小试 下列各式中，哪些是一元一次方程？ (1)x＋y=1－2y； (2)7x＋5=7(x－2)； (3)5x2－x－2=0；(4)=5； (5)x=； (6)2x2＋5=2(x2－x). 例 5 牛刀小试 思路引导： 牛刀小试 知4－练 解：列表分析如下： 由表知，(5)(6)是一元一次方程. 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 一元一次方程具备的条件 等号两边都是整式 √ √ √ × √ √ 化为最简后只有一个未知数 × × √ √ √ √ 未知数的次数都是1 √ × × √ √ √ 是否为一元一次方程 否 否 否 否 是 是 新知讲解 识别一元一次方程的一般步骤： 观察方程是否是整式方程 不是一元一次方程 方程是否只含有一个未知数 不是一元一次方程 方程中未知数的次数是否都是1 不是一元一次方程 是一元一次方程 是 是 是 否 否 否 新知讲解 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程，现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶(1192-1279)于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数x”。后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. 新知讲解 若(m＋2)x|m|－1=4 是关于x 的一元一次方程，求m 的值. 例 6 解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为1，系数不为0，据此求待定字母的值. 解：根据题意，可得| m |－1 =1 ，且m＋2 ≠ 0 . 由| m |－ 1 =1，得| m |= 2，即m=±2 . 由m＋2 ≠ 0，得m ≠ －2，所以m=2 . 新知讲解 6-1. 若(k2－1)x2－ (k－1)x＋8 ＝ 0 是关于x 的一元一次方程，求k的值． 解：根据题意，得k2－1＝0且k－1≠0， 解得k＝－1. Part 03 当堂训练 当堂训练 1．根据下面所给条件，能列出方程的是( ) A．一个数的 是6 B．a与1的差的 C．甲数的2倍与乙数的 D．a与b的和的60% A 2．关于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，则a的值为( ) A．－2 B．3 C．4 D．5 D 当堂训练 3．为了参加社区“畅响G20”文艺演出，某校组建了46人的合唱队和30人的舞蹈队，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队人数的3倍，设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队，可得正确的方程是( ) A．3(46－x)＝30＋x B．46＋x＝3(30－x) C．46－3x＝30＋x D．46－x＝3(30－x) B 当堂训练 4．先列方程，再估算出方程的解． 甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还余2元，问两种钢笔各买了多少支？ 解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔______________支，依题意列方程______________________________． 这里x＞0，列表计算： x(支) 1 2 3 4 5 6 7 8 3x＋5(10－x) (元) 48 46 44 42 40 38 36 34 从表中看出_________是原方程的解． (10－x) 3x＋5(10－x)＝40－2 x＝6 当堂训练 5.根据下列问题，设未知数，列出方程： (1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25米，求这个足球场的宽； (2)《数学学习方法报》每份0.6元，《数学周报》每份0.5元，小明用10元钱买了两种报纸共18份，他买的两种报纸各多少份？ 解：(1)设这个足球场的宽为x米，依题意，得 2x＋2(x＋25)＝310 (2)设《数学学习方法报》买了x份，则《数学周报》买了(18－x)份， 则有0.6x＋0.5(18－x)＝10. 当堂训练 6.（南通·月考）已知：方程 (m - 3)x|m|-2 + 3 = m - 6 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值. 解：由题意，得 |m| - 2 = 1， 且 m - 3 ≠ 0. 解得 m = -3， 所以 m 的值为 -3. Part 04 课堂小结 课堂小结 一元一次方程 方程的解 方程 解方程 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程，叫作解方程. 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程. 课堂小结 使方程中等号左右两边_____的未知数的___，这个值就是方程的解 如果只含有_____个未知数(元)，且含有未知数的式子都是______，未知数的次数都是___，这样的方程叫作一元一次方程 相等 一个 方程的解 1 整式 值 一元一次方程 求方程的解的过程，叫作________ 解方程 总结 知识点 解方程与方程的解 3 1. 方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解. 2. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程. 3. 方程的解与解方程的区别与联系 方程的解 解方程 区别 是一个(或几个)具体的数 是一个过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 总结 特别提醒 方程的解可能不止一个，也可能无解. 如x=1 和x=2 都是方程x2－3x＋2=0 的解，而方程|x|=－2 无解. 新知讲解 知识点 一元一次方程 4 1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. ① ② ③ 2. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b=0 的形式. 其中x 是未知数，a，b 是已知数，且a ≠ 0 . 我们把ax＋b= 0 叫作一元一次方程的标准形式. 新知讲解 特别提醒 1. ①②③是一元一次方程的三个基本特征，其中特征①③是把方程化简后进行判断，特征②是通过化简前的方程进行判断，即必须满足分母中不能含有字母. 2. 判断一元一次方程的步骤： 课堂小结 1.解决数学实际问题的方式: (1)算式方法. (2)用含有未知数的等式表示问题中的相等关系. 2.方程:含有未知数的等式叫作方程. 3.用方程的方法解决实际问题是更方便的数学工具. 4.方程的解、解方程的概念. 5.一元一次方程的概念. 课后作业 1、完成本节课课本相关习题. 2、完成练习册的相关题目. 3、温习巩固本节课学习的知识并掌握. 4、预习下节课的内容. 九号小铺 本课件出于： $$