第四章《数列》4.1～§4.2专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二上学期选择性必修第二册第四章《数列》 4.1～§4.2专练 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.数列－1，，－，，…的一个通项公式是(　　) an＝(－1)n an＝(－1)n an＝(－1)n an＝(－1)n 2.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　) 10 12 3.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝8π，则cos(a3＋a7)的值为(　　) － － 4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) 1 －1 2 5.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　) 22 21 20 19 6.已知数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n，且对∀n∈N*，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an，则数列{an}的前50项的和为(　　) 97 98 99 100 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列.若81是该数列中的一项，则公差可能为(　　) 2 3 4 5 8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，下列四个命题正确的是(　　) d<0 S11>0 S12<0 数列{Sn}中的最大项为S11 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.已知Sn＝n2－3，则an＝________. 10.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N*)，则＋＝________. 11.已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7＞S6，S7＞S8，若数列{bn}中bn＝|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是________(填序号). ①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；③当n≥8时，an＜0；④一定有T3＝T11. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)求下列数列{an}的通项公式： (1){an}的各项均为正数，且满足an＋1＝an＋2＋1，a1＝2. (2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝. 13.(15分)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 14.(15分)已知数列的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝(－1)nan，求数列的前n项和Tn. 答案 1.D　[将首项－1改写为－后，观察发现分式前的符号规律为(－1)n，分母3，5，7，9，…的规律为2n＋1，分子3，8，15，24，…的规律为(n＋1)2－1＝n(n＋2).] 2.B　[由题意得S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋×1＝4a1＋6. 因为S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，所以a1＝，所以a10＝a1＋9×1＝.] 3.D　[∵数列{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝8π，∴a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，∴a3＋a7＝2a5＝，∴cos(a3＋a7)＝cos ＝－cos ＝－.] 4.A　[＝＝＝×＝1.] 5.C　[对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值.因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n， 当Sn取得最大值时，满足得n＝20.即满足对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.] 6.C　[由数列{an}满足当1≤n≤3时，an＝n，可得a1＝1，a2＝2，a3＝3.又对∀n∈N*，有an＋3＋an＋1＝an＋2＋an，即an＋3＝an＋2－an＋1＋an，可得a4＝3－2＋1＝2，a5＝2－3＋2＝1，a6＝2，a7＝3，a8＝2，a9＝1，a10＝2，…，则数列{an}是周期为4的数列，且以1，2，3，2反复出现，所以数列{an}的前50项的和为(1＋2＋3＋2)×12＋1＋2＝99.] 7.ACD　[因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d.因为81是该数列中的一项，所以81＝1＋(n－1)d，所以n＝＋1. 因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项知d可能是2，4，5，不可能是3.故选ACD.] 8.AB　[∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；数列{Sn}中最大项为S6，D不正确.]9.　[n＝1时，a1＝S1＝12－3＝－2， n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，a1不适合上式， ∴an＝] 10.　[设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N*时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝， 所以＋＝＋＝.] 11.③　[由S7＞S6知a7＞0，由S7＞S8知a8＜0，故d＜0，所以{an}中a1最大，且当n≥8时，an＜0，所以②错误，③正确；数列{bn}的单调性是先减后增的，所以①错误；由于bn＞0，所以T3≠T11，所以④错误.] 12.解　(1)由an＋1＝an＋2＋1得an＋1＝(＋1)2，∵{an}的各项均为正数， ∴＝＋1，即－＝1，∴{}为等差数列.∴＝＋(n－1)·1， ∴an＝(n＋－1)2. (2)由已知得＝＋，故为等差数列，∴＝1＋(n－1)·＝，∴an＝. 13.(1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积，所以n≥2时，Sn＝，代入＋＝2，可得＋＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2).又＋＝＝2，所以b1＝，故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. (2)解　由(1)可知bn＝＋(n－1)＝，则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 故an＝ 14.解　(1)因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，又因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，又因为a1＝1符合n≥2的情况，所以an＝4n－3. (2)因为bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，当n为偶数时，Tn＝(－1)＋5＋(－9)＋13＋…＋[－(4n－7)]＋(4n－3)，所以Tn＝[(－1)＋5]＋[(－9)＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4·＝2n；当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2(n－1)＋[－(4n－3)]＝1－2n， 综上可知，Tn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$