第四章《数列》4.1～§4.3专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二上学期选择性必修第二册第四章《数列》 4.1～§4.3专练 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.已知数列2，，，，4，…，则2是该数列的(　　) 第7项 第8项 第9项 第10项 2.在等差数列{an}中，a1＋3a7＋a13＝120，则3a9－a13的值为(　　) 6 12 24 48 3.若数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝(　　) 4.已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　) 1 026 1 025 1 024 1 023 5.我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为官府陆续派遣1 880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？(　　) 6天　495人 7天　602人 8天　716人 9天　795人 6.在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝9，a1a2…a8＝81，则＋＋…＋的值为(　　) 3 6 9 27 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有(　　) 当n＝15时，Sn取最大值 当n＝30时，Sn＝0 当d>0时，a10＋a22>0 当d<0时，|a10|>|a22| 8.等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4a1，a2是a1＋1与a3的等差中项，数列{bn}满足bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) 数列{an}的通项公式为an＝3n－1 Sn＝3n－1 数列{bn}的通项公式为bn＝ Tn的取值范围是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 10.数列{an}满足an＝，n∈N*，其前n项和为Sn，若Sn＜M恒成立，则M的最小值为________. 11.已知各项均为正数的等比数列{an}，若a6＋a7＋a8＝6，则a＋a＋a的取值范围为________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*. (1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列； (2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn. 13.(15分)某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加. (1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)； (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元. 14.(15分)在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若λan＋≥λ对任意的n≥2，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 答案 1.C　[观察得到该数列的通项公式为，2＝，28＝1＋3n，解得n＝9， 故2为该数列的第9项.] 2.D　[由a1＋3a7＋a13＝5a7＝120得a7＝24.3a9－a13＝a9＋(a5＋a13)－a13＝a9＋a5＝2a7＝48.] 3.B　[a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①则a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，n≥2，②①－②得3n－1an＝－，n≥2，故an＝，n≥2，当n＝1时，a1＝符合上式，故an＝.] 4.C　[由＝1＋，得Tn＝＋＋…＋＝n＋＝n＋1－，∴T10＝11－.∵m＞T10＋1 013＝1 024－恒成立，m∈Z， ∴m≥1 024，故选C.] 5.B　[记第n天派出an人，则数列{an}是以65为首项，7为公差的等差数列， 故an＝65＋7(n－1)＝7n＋58，故an＋an＋1＋an＋2＝3[7(n＋1)＋58]＝300， 解得n＝5，故目前一共派出了7天，共派出了7×65＋×7＝602(人).] 6.A　[＋＋…＋＝＋＋＋.因为a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5，原式＝＝.又因为a1a2a3…a8＝81，即(a4a5)4＝81， 所以a4a5＝3，所以＝＝3，所以＋＋…＋＝3.] 7.BC　[因为S10＝S20，所以10a1＋d＝20a1＋d，解得a1＝－d. 对于A，因为无法确定a1和d的正负性，所以无法确定Sn是否有最大值，故A错误；对于B，S30＝30a1＋d＝30×＋15×29d＝0，故B正确； 对于C，a10＋a22＝2a16＝2(a1＋15d)＝2＝d>0，故C正确； 对于D，a10＝a1＋9d＝－d＋9d＝－d，a22＝a1＋21d＝－d＋21d＝d，因为d<0，所以|a10|＝－d，|a22|＝－d，|a10|<|a22|，故D错误.] 8.BCD　[设等比数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a1q＝4a1，可得q＝3，因为a2是a1＋1与a3的等差中项，所以2a2＝a1＋1＋a3，即6a1＝a1＋1，解得a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2×3n－1，故A错误；易得Sn＝＝3n－1，故B正确； bn＝＝×＝×， Tn＝[＋＋＋…＋]＝－＜，因为bn＞0，所以数列{Tn}为单调递增数列，则Tn≥T1＝b1＝，故≤Tn＜，故C，D均正确.故选BCD.] 9.70　[∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，且S10＝10，S20＝30，∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10(S30－30)，解得S30＝70.] 10.　[an＝＝，可得其前n项和Sn＝(－＋－＋…＋－)＝，由＞0，可得Sn＜，由Sn＜M恒成立，可得M≥，即M的最小值为.] 11.[12，36)　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则a6＝，a8＝a7q，∵a6＋a7＋a8＝6，∴＋a7＋a7q＝6，∴a7＝，∴a＋a＋a＝＋a＋aq2＝a＝·.令t＝q＋(t≥2)，则a＋a＋a＝·(t2－1)，令f(t)＝·(t2－1)＝36(t≥2)，易知f(t)单调递增，∴f(t)的值域为[12，36).] 12.(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1. ∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解　由(1)知，bn＝n，＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边同时乘以2得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)×2n＋1. 13.解　(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，a2＝a1＝a1， a3＝a2＝a2，…，an＋1＝an＝an ，∴＝，即数列{an}是公比为的等比数列，∴Sn＝＝＝1 600，即前n年旅游业总收入为1 600万元. (2) 由(1)知Sn＝1 600，令Sn>8 000，即1 600>8 000，∴>6，即lg>lg 6，∴n>≈8.02，∴大约从第9年开始，旅游业总收入超过8 000万元. 14.(1)证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，得－＝3(n≥2)，又＝1， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝. (3)解　因为λan＋≥λ对任意的n≥2，n∈N*恒成立，即＋3n－2≥λ对任意的n≥2，n∈N*恒成立，所以只需λ≤对任意的n≥2，n∈N*恒成立即可.令f(n)＝(n≥2，n∈N*)，则只需满足λ≤f(n)min即可.因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＝3－，所以当n≥2时，f(n＋1)－f(n)＞0，即f(2)＜f(3)＜f(4)＜…，所以f(n)min＝f(2).又f(2)＝，所以λ≤. 所以实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$