4.3等比数列专项训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二上学期选择性必修第二册第四章 4.3《等比数列》专练 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 2.在等比数列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，则＝(　　) 8 6 4 2 3.在各项均为正数的等比数列{an}中，a6与a12的等比中项为3，则log3a7＋log3a11＝(　　) 1 2 3 4 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝2，S30＝14，则S40＝(　　) 20 30 40 50 5.中国古代某数学著作中，有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了(　　) 60里 48里 36里 24里 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则正整数k＝(　　) 3 4 5 6 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是(　　) 0＜q＜1 a7＝1 K9＞K5 K6与K7均为Kn的最大值 8.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1，n∈N*，则(　　) 是等比数列 an＝ {an}是递增数列 ＋＋…＋＜ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝，a5＋a6＝12，则S4＝________. 10.已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原三个数的和为________. 11.已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝________，B的取值范围为________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 13.(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S－S＝8n，n∈N*. (1)求Sn； (2)在数列{an}的每相邻两项ak，ak＋1之间依次插入a1，a2，…，ak得到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…，求{bn}的前100项和. 14.(15分)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式； (2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.求证：须在第9年初对M更新. 答案 1.B　[若{an}是公比为2的等比数列，则一定有an＝2an－1，n＝2，3，4，…； 若an＝2an－1，n＝2，3，4，…，则{an}不一定为等比数列，例如当an＝0时，满足an＝2an－1，n＝2，3，4，…，但该数列不是等比数列.] 2.A　[设等比数列{an}的公比为q.由题意知a2a3＝aq3＝8，∵a1＝1，∴q＝2， ∴＝＝q3＝8.] 3.B　[易知a6·a12＝9，∴log3a7＋log3a11＝log3(a7·a11)＝log3(a6·a12)＝log39＝2.] 4.B　[设等比数列{an}的公比为q，由题易知q≠1，则由得1＋q10＋q20＝7， 即q20＋q10－6＝0，解得q10＝2或q10＝－3(舍)，将q10＝2代入①，得＝－2， 所以S40＝＝(－2)×(1－16)＝30.] 5.B　[依题意，每天步行的路程是等比数列，且q＝，n＝6，S6＝378，故＝378，解得a1＝192，故a3＝a1q2＝192×＝48(里).] 6.D　[由Sn＝2an－，①可得a1＝，且当n≥2时，Sn－1＝2an－1－，② ①－②得an＝2an－2an－1，所以an＝2an－1(n≥2).故数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－2，故ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝215－25，解得k＝6.] 7.ABD　[对于A，B，由K5＜K6 可得a6＝＞1，因为K6＝K7，所以a7＝＝1，则q＝∈(0，1)，故A，B正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)，可得＝＝aq26＝(a7)4q2＝q2＜1，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.] 8.ACD　[由题意得an＋1＋＝3，a1＋＝，故数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；an＋＝×3n－1，则an＝，B不正确； an＋1－an＝－＝3n＞0，则an＋1＞an，所以{an}是递增数列，C正确； ＝，当n≥2时，3n－1＞3n－3n－1＝2×3n－1，则＝＜(n≥2)，当n＝1时，＝1＜，当n≥2时，＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝ ＝＜，即∀n∈N*，＋＋…＋＜，D正确.] 9.　[设等比数列{an}的公比为q，由题意得解得 ∴S4＝＝.]10.28　[依题意设原三个数依次为，a，aq. ∵·a·aq＝512，∴a＝8.又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴原三个数为4，8，16或16，8，4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原三个数的和等于28.] 11.1　(－3，＋∞)　[因为Sn＝＝－qn(q≠1)，而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn，又因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B＞0恒成立， 所以B＞－(2n＋1)恒成立，所以B＞－3，即B的取值范围为(－3，＋∞).] 12.解　(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2.又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列.所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2n＋1－2. 13.解　(1)∵S－S＝8n，当n≥2时，S＝(S－S)＋…＋(S－S)＋S＝8(n－1)＋…＋8×1＋1＝8[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝8×＋1＝(2n－1)2， ∵an＞0，∴Sn＞0，故Sn＝2n－1.当n＝1时，S1＝a1＝1适合上式，∴Sn＝2n－1，n∈N*. (2)法一　∵Sn＝2n－1，n∈N*，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－3)＝2，∴an＝∴数列{bn}：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，…， 设1＋2＋…＋n＝≤100，则n2＋n－200≤0，∵n∈N*，∴n≤13. ∴{bn}的前100项是由14个1与86个2组成.∴T100＝14×1＋86×2＝186. 法二　∵设1＋2＋…＋n＝≤100，则n2＋n－200≤0，∵n∈N*，∴n≤13.根据数列{bn}的定义，知T100＝a1＋(a1＋a2)＋(a1＋a2＋a3)＋…＋(a1＋a2＋…＋a13)＋(a1＋a2＋…＋a9)＝S1＋S2＋…＋S13＋S9＝(1＋3＋5＋…＋25)＋17＝＋17＝186. 14.(1)解　当1≤n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列， an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是首项为a6，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×.因此，第n年初M的价值an的表达式为an＝ (2)证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得： 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×，An＝. 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又A8＝＝82 ＞80， A9＝＝76 ＜80，所以须在第9年初对M进行更新. 学科网（北京）股份有限公司 $$