2025年中考数学复习讲义几何模型专题五：勾股定理中的模型

编号: 7 学生姓名: 年 级: 九年级 辅导科目:数学 课题 勾股定理专题 教学内容 【模型预览】 模型1:“勾股树” 模型2:赵爽弦图 模型3:蚂蚁爬行 模型4:矩形的翻折 模型1:“勾股树” 【模型展现】 原理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2 作图 作正方形 作半圆 作等腰直角三角形 作等边三角形 图示 结论 S1+S2=S3 结论分析 结论:S1+S2=S3 以作等边三角形为例. 证明:如图,过点D作DM⊥AC于点M, ∵ ACD是等边三角形,∴, 在Rt ADM中,DM=AM tan∠DAC=AM tan60 , ∴S1 b2, 同理可得,S2a2,S3c2,∴S1+S2b2a2(a2+b2), ∵在Rt ABC中满足a2+b2=c2,∴S2+S2(a2+b2)/4c.∴S1+S2=S3. 注:其余图示的证明,均可根据面积公式及勾股定理转化得到. 【模型解题三步法】 例 如图,分别以Rt ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形,若图中阴影部分的面积为100,则AF的长为( ) A.10 C.20 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在直角三角形:Rt ABC S ACD+S BCE=S ABF 是否以直角三角形三边向外作形状 相同的图形:作等腰直角三角形 2S ABF=100 【题以类解】 1.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若b,c的面积分别为8和5,则a的面积为( ) A.2 C.3 D.4 2.(模型构造)如图,以AC为直径画半圆,在半圆上取一点B,连接AB,BC,分别以AB,BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积与 ABC的面积关系为( ) A.S阴影>S ABC B.S阴影=S ABC C.S阴影<S ABC D.2S阴影=S ABC 3. 数学课上王老师和学生一起探究勾股定理和面积的拓展问题时,分别以直角三角形ABC的三条边为边向外作等边三角形,如图① ,图中的S1, S2,S3满足的数量关系是;如图② ,将 ABF沿着AB翻折得到 ABF′,若S4= 8,S5=4,S6=6,则 ABC的面积是 . 4. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,探究以四边形四条边向外作形状相同的图形的面积关系. [问题提出] 如图① ,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA= 90 ,分别以它的四条边为斜边,向外作等腰直角三角形,若S2+S3=14,S1=2,求S4的值; [拓展延伸] 如图② ,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+ ∠BCD=90 ,BC=2AD,分别以AB,AD,CD为边向四边形外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,求证:S1+S3=S2. 模型2:赵爽弦图 “赵爽弦图”模型为中考的考查模型,总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 以赵爽弦 图为背景 进行相关 计算 赵爽弦图(8次)、赵爽弦图变形(5次)、赵爽弦图上引其他线段(2次),图形如下: 1.在选择或填空题以赵爽弦图为背景求线段长、求线段长度比值、求面积、求正切值; 2.在几何探究题中涉及赵爽弦图的证明 赵爽弦图中含4个全等的直角三角形,并且有一大一小两个正方形,根据全等三角形及正方形性质解题即可 【模型展现】 图示 已知 已知大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成 结论 1.S正方形ABCD=S正方形EFCH+4S ABE 2.正方形EFGH的边长为围成小正方形的直角三角形的两直角边之差,即EF=BE-BF 【模型解题三步法】 例 中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一,三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”(如图),证明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图”中,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间小正方形EFGH组成,连接AG.若AB =10,EF=2,则sin∠GAF的值为( ) 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在大正方形:正方形ABCD 大正方形内部是否存在4个全等的直角 三角形和一个小正方形: AF=BF+EF Rt ABF、Rt BCG、Rt CDH、 Rt DAE和正方形EFGH 【题以类解】 1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的伟大成就.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25,小正方形的面积为9,设直角三角形较长直角边长为x,较短直角边长为y,下列四个说法:① x2+y2= 25,② x-y=3,③ 2xy+9=25,④ x+y=7.其中正确的是( ) A.② ③ ④ B.① ② ③ C.① ② ④ D.① ② ③ ④ 2.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形IJKL的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3= 24,则正方形EFGH的边长为_. 3.勾股定理被称为几何学的基石,相传在西周由商高发现,又称商高定理,三国数学家赵爽利用弦图(它是由四个全等的直角三角形围成的),证明了商高结论的正确性.若AB=15,BC=12,将四个直角三角形中的短直角边分别向外延长一倍,得到图② 所示的“数学风车”,则这个风车的面积(即图② 阴影部分)是_. 4.[材料阅读]赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图① 所示,四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形,中间空的是一个小正方形.证明方法如下: 设直角三角形的三边中较短的直角边长为a,另一直角边长为b,斜边长为c,朱实面积=2ab,黄实面积=(b-a)2=b2-2ab+a2,朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方形面积=c2. [实际应用] 若较短的直角边的长为6,另一条直角边长为8,求小正方形与大正方形的面积比; [拓展延伸] 类比“赵爽弦图”,可构造如图② 所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在 ABC中,若,,求AB的长. 模型3:蚂蚁爬行 “蚂蚁爬行(最短路径问题)”为中考的考查模型,总结如下: 考法 图形背景 考查题型 解题原理 以蚂蚁爬 行为背景 进行相关 计算 圆锥、圆锥与圆柱结合(1次)、圆柱(1次),图形如下: 在解答题探究蚂蚁爬行的最短路径,以圆锥、圆锥+圆柱组合体、圆柱为背景探究最短路径 将立体图形展开,找到立体图形上两点在展开图的位置,根据勾股定理进行计算 【模型展现】 基础模型 图示 已知 在一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体中,一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行,求蚂蚁从点P到点Q的最短路径 展开图 最短路径 PQ== PQ== PQ== 结论 在长方体中,蚂蚁爬行的最短路径为PQ= 模型拓展 类型 正方体 异侧半圆柱 图示 已知 在棱长为a的正方体中,一只蚂蚁沿着正方体的表面爬行,求蚂蚁从点A到点B的最短路径 在底面半径为r,高为h的圆柱中,求蚂蚁从点P沿圆柱表面螺旋爬行到点Q的最短路径 展开图 结论 在正方体中,蚂蚁爬行的最短路径为AB== 蚂蚁在圆柱异侧爬行的最短路径为PQ= 【模型解题三步法】 例1 如图,一只蚂蚁在长为3,宽为2,高为4的长方体台面上寻找食物,蚂蚁从A点出发,蜂蜜在点B处,则蚂蚁寻找食物爬行的最短路径长为_. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在立体图形:长方体 立体图形上是否存在两点:点A和点B 两点之间,线段最短 是否求两点间的最短路径:AB的最短路径 例2 如图,圆柱形容器高为0.9m,底面周长为1.6m,在容器内壁距底部0.2m的点Q处有一块食物,此时在与食物相对的内壁点P处有一只蚂蚁,PB′=0.1m,蚂蚁沿圆柱体侧面爬到点Q处吃食物,则蚂蚁爬行的最短距离为_m. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在立体图形:_ 立体图形上是否存在两点: _和_ 两点之间,线段最短 是否求两点间的最短路径: _的最短距离 【题以类解】 1.如图,长方体盒子的长、宽、高分别为2,2,4,若一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的表面爬行一周到达点B处,则蚂蚁爬行的最短路径长为_. 2.如图,在棱长为2的正方体中,蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发爬到顶点C′处,若蚂蚁选择的路径是最短的,则最短路径长为_. 3.如图,已知圆锥的母线长为6,底面圆的半径为3,在圆锥的底面边缘上点A处有一只蚂蚁,想吃到与点A相对的母线的中点B处的食物,这只蚂蚁从点A出发,沿着曲面爬到点B,则最短路线长是_. 4.如图,是一个四级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为5,1.5和1.5,A和B是这个台阶的两个相对的端点,B点上有一只蚂蚁,想到A点去觅食,则蚂蚁从B点出发,沿着台阶面爬到A点,最短路径长为_. 5.(模型叠加)如图,有一个高为8cm,底面周长为6cm的圆柱形容器,在外壁距下沿3cm的点A处有一只蚂蚁,与蚂蚁相对的内壁距上沿4cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径长为_. 模型4:矩形的翻折 “矩形的翻折”为中考的高频考查模型,总结如下: 考法 折叠方式 考查题型 解题原理 考法1 矩形翻折全等解题 折痕为对边(7次)、折痕为邻边(2次)、折痕过顶点(9次)、折痕为对角线(1次),图形如下: 1.在选择或填空题考查求线段长、求角度、求面积; 2.在解答题考查折叠的几何探究 根据折叠构成的全等三角形结合勾股定理进行相关计算 考法2 矩形翻折相似解题 折痕为对边(6次)、折痕为邻边(2次)、折痕过顶点(10次)、折痕为对角线(1次),图形如下: 根据折叠构成的相似三角形结合勾股定理进行相关计算 考法3 矩形翻折勾股定理解题 折痕为对边(14次)、折痕为邻边(3次)、折痕过顶点(12次)、折痕为对角线(2次)、图形如下: 1.在选择或填空题考查线段相关的计算; 2.在解答题考查: (1)以折叠为背景考查简单几何证明与计算; (2)与坐标系结合求点坐标 根据折叠的性质结合勾股定理进行相关计算 【模型展现】 基础模型1:矩形翻折成的全等 图示 已知 在矩形ABCD中,折痕为对角线AC,点B的对应点为B′ 在矩形ABCD中,折痕为EF,点A的对应点为 A′,点B的对应点为B′,点B′恰好落在边AD上 结论 AB′E≌ CDE 连接BE, ABE≌ A′B′E 基础模型2:矩形翻折成的相似 图示 已知 在矩形ABCD中,折痕为 CP,点 B 的对应点为E,点 E 落在边AD上 在矩形ABCD中,折痕为 CP,点 B 的对应点为E,点E落在对角线AC上 在矩形ABCD中,折痕为EF,点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点B′落在边CD上 结论 1. PAE∽ EDC; 2.(AB-PA)2+CE2=CP2 1. PAE∽ ACD; 2. PAE∽ CAB; 1.过点E作EG⊥BC于点G,连接BB′,则 EFG∽ BB′C; 2. A′EP∽ DB′P∽ CFB′; 3.若点B′和点D重合,则四边形BEB′F为菱形 结论分析 图① 结论: AB′E≌ CDE 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠ABC=∠ADC=90 , 由折叠性质知,AB=AB′,∠ABC=∠AB′C,∴AB′=CD,∠AB′E=∠CDE, 又∵∠B′EA=∠DEC,∴ AB′E≌ CDE(AAS). 图② 结论:连接BE, ABE≌ A′B′E 自主证明: 图③ 结论:1. PAE∽ EDC;2.(AB-PA)2+CE2=CP2 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠PAE=∠EDC=∠PBC=90 ,∴∠APE+∠AEP=90 , 由折叠性质可知,∠PEC=∠PBC=90 ,∴∠AEP+∠DEC=90 ,∴∠APE=∠DEC, ∴ PAE∽ EDC(结论1). 由折叠的性质知,PB=PE,∠PEC=∠PBC=90 ,∴在Rt PEC中,PE2+CE2=CP2, ∴PB2+CE2=CP2,即(AB-PA)2+CE2=CP2(结论2). 图④ 结论:1. PAE∽ ACD;2. PAE∽ CAB 自主证明: 图⑤ 结论:1.过点E作EG⊥BC于点G,连接BB′,则 EFG∽ BB′C; 证明:由折叠的性质知,BB′⊥EFF1,∴∠B′BC+∠EFB=90 ,∵EG⊥BC,∴∠EGF=90 , ∴∠FEG+∠EFB=90 ,∴∠B′BC=∠FEG,∵∠BCB′=90 ,∴ EFG∽ BB′C; 图⑤ 结论:2. A′EP∽ DB′P∽ CFB′; 证明:由折叠的性质知,∠A′=∠A=90 ,∵四边形ABCD为矩形,∴∠PDB′=∠B′CF=90 , ∵∠A′PE=∠DPB′,∴ A′EP∽ DB′P.由折叠的性质知,∠A′B′F=∠ABC=90 , ∴∠FB′C+∠PB′D=90 ,∵∠DPB′+∠PB′D=90 ,∴∠FB′C=∠DPB′, ∴ DB′P∽ CFB′,∴ A′EP∽ DB′P∽ CFB′; 图⑤ 结论:3.若点B′和点D重合,则四边形BEB′F是菱形 证明:如图,由折叠的性质知AB=A′B′,AE=A′E,∠BAE=∠B′A′E=90 , ∴ ABE≌ A′B′E,A′E∥B′F, ∵AB′∥BC,∴四边形BEB′F是平行四边形, ∵BE=B′E,∴四边形BEB′F是菱形. 【模型解题三步法】 例1 如图,在矩形ABCD中,点E是边AD上一点,将 ABE沿BE折叠得到 A′BE,点A′恰好 落在对角线BD上.若AB=6,AE=3,则 A′ED的面积为 . 例2 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,点E,F分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D落在AB边上的点P处,点C落在点C′处,且BF=6,则线段AE的长为 . 【题以类解】 1.(模型迁移)如图,将矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中,边BC在x轴上且过原点,连接OD,将纸片沿OD折叠,使点C恰好落在边AB上的C′处,若AB=10,BC=6,则点C′的坐标为_. 2.小颖将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,折完后,发现形成的四边形AECF是菱形.若AB=6,则AD的长为 . 3.如图,在矩形ABCD中,将矩形沿对角线BD折叠,点A的对应点为点A′,A′D交BC于点E,若AB=12,AD=18,则sin∠A′BE的值为_. 4. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,P为DC边上的动点(点P不与点D,C重合),将纸片沿AP折叠. (1)当四边形ADPD′是正方形时,CD′的长为_; (2)当CD′的长最小时,PC的长为. 5.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将 AEF沿EF所在直线翻折,得到 A′EF,连接A′C,A′D,则当 A′DF是直角三角形时,FD的长为_. 6.如图,在矩形ABCD中,点E在CD边上,将 BCE沿BE折叠,使点C落在对角线BD上的点F处,连接AF.若点A,E,F在同一条直线上,给出以下结论: ① ∠ABE=∠AEB;② S BEF=S ADF; ③ ADE≌ BFA;④ BE=DE. 其中正确结论的序号是_.(把所有正确结论的序号都选上) 7.如图① ,折叠矩形纸片ABCD,具体操作:① 点E为AD边上一点(不与点A,D重合),把 ABE沿BE所在的直线折叠,A点的对称点为F点;② 过点E对折∠DEF,折痕EG所在的直线交DC于点G,D点的对称点为H 点.若AB=3,BC=5. (1)点E在移动的过程中,求DG的最大值; (2)如图② ,若点C恰在直线EF上,连接DH,求线段DH的长. 【综合练习5】 基础过关 1.如图,以Rt ABC的各边为边向外作等边 ABD, ACE和 BCF, BCF内含等边 BGI和等边 CHJ,两三角形的大小分别与 ABD和 ACE相同.若已知四边形KIFJ的面积,下列面积一定能求出来的是( ) A.S BCF+S ABC B.S BCF C.S HGK D.S ABC 2.如图,ABCD是矩形地面,AB=10m,AD=5m,中间竖有一堵砖墙,高MN=1m,一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走的路程为( ) A.10m B.11m C.12m D.13m 3.如图为一圆柱形油罐,已知油罐底面周长是8m,高AB是6m,一只蚂蚁从点A处开始绕油罐一周向上爬行,正好到达A点的正上方B处,则蚂蚁爬行的最短路径为_m. 4.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,构造了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.若∠ADE=∠AED, ADE的面积为3,则 BCE的周长为_. 5.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在矩形的边AB,AD上,将矩形沿CE,CF折叠,点B落在点H处,点D落在点G处,点C,H,G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则tan∠GCF的值是_. 能力提升 6.“勾股图”有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图① ),欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究,建立如图②模型,在 ABC中,∠ACB=90 ,分别以 ABC的三条边为边向外作正方形.连接EB,CM,DG,CM分别与AB,EB交于点P, Q.若∠AMP=30 ,则的值为( ) 7.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别为边AB, CD上的点,将四边形EBCF沿EF折叠得到四边形EB′C′F,使得点B′恰好落在边AD上,连接CC′.若CC′,AB′ =2,且,则DF的长为 . 20 1 学科网(北京)股份有限公司 $$