精品解析：福建省厦门市槟榔中学2024—2025学年上学期期中考九年级数学试卷

槟榔中学2024~2025学年上学期期中考九年级数学科试卷 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分． 每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图所示是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选B． 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆内时，点到圆心的距离与半径的大小关系是解题关键． 【详解】解：∵的半径为3，点P在内， ∴， ∵选项中只有， ∴的长可能是2， 故选：D． 3. 如图，在中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，， ∴， ∴旋转方向为顺时针，旋转角为． 故选：A． 4. 有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的是直径， 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键． 5. 2023年中国汽车出口量首次达到全球第一，如图是2021年和2023年新能源汽车占中国出口汽车总量比值的扇形统计图，设2021年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年新能源汽车在总出口汽车的占比=2021年新能源汽车在总出口汽车的占比年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 6. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 7. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：C． 8. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点在上 B. 是上的外接圆 C. 是的弦 D. 是的内心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握外接圆的性质是解题的关键．先根据作图得出、、在以为圆心，为半径的圆上，内心是三角形的角平分线的交点，从而判断求解． 【详解】解：连接，，，如图， 由题意得：垂直平分，垂直平分， ， 、、在以为圆心，为半径的圆上， 点在上，，，为的弦，是的外接圆； 故选：D． 9. 野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 野兔经过约，跳跃竖直高度为 B. 野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C. 野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D. 野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据野兔经过离地面的高度（单位：）的函数图象变化情况逐项进行判断． 【详解】解：根据时，与，可知：野兔经过约，跳跃竖直高度达到，然后继续上升，达到最高点后，开始下降，在跳起后的约第，跳跃竖直高度为，并继续下降， 两次时间差为， 故选项ABC错误，D正确． 故选D． 10. 如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 取的中点，可得，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点E作于F， 在中，，， ∴， ∴， 由旋转知，，， ∴，即有： ∴， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点， ∴当（点和点重合）时，最小，即点与点重合，最小，最小值为， 在中，， ∴，， 故线段长度的最小值是， 故选：C． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝___． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 12. 将二次函数化成的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：y=x2-2x-1=x2-2x+1-2=（x-1）2-2． 故答案是：y=（x-1）2-2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 13. 如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ． 【答案】∠ABC 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆， ∴， ∵E为CD延长线上一点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 15. 有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“关系方程”是解题的关键．根据题中“关系方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“关系方程”的特征可知：形如和这样的一元二次方程互为“关系方程”，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 16. 已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，以及解一元一次不等式，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析不同的可能性，先根据，的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据，结合二次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题． 【详解】解：，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 当时，， 二次函数图象与轴交于， 关于对称轴对称的坐标为， ， ，解得， ①当，都在对称轴左侧时， ，随的增大而减小， ，解得， ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 即到对称轴距离小于到对称轴距离， ，解得， 即， 故答案为：或． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）利用配方法（或公式法）解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号里的式子通分进行减法计算，再把除法转化成乘法进行计算，最后把x的值代入计算即可． 【详解】 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） ∵点P向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点， ∴向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ，如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接，它们的交点为对称中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象可知，连接、、后，它们交于点，且点的坐标为，所以和的对称中心的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 20. 有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长． 【答案】2cm 【解析】 【分析】设截去的小正方形的边长为x cm，从而得出这个长方体盒子的底面的长是（12-2x）cm，宽是（8-2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为x cm，根据题意列方程，得 （12-2x）（8-2x）=32． 整理，得x2-10x+16=0． 解得x1=8，x2=2． x1=8不合题意，舍去． 答：截去的小正方形的边长为2cm． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键． 21. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的表达式及点坐标； （2）点是线段上一动点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把点、的坐标分别代入得到、的方程组，则解方程组得到抛物线解析式，然后解方程得到点坐标，从而确定的长； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【小问1详解】 解：把，分别代入得， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， ； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 设， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，（a，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 22. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知三个不同的实数，，满足． 方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根． （1）用含，，的式子表示方程和的一个相同实数根； （2）求实数，，的值． 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解. （1）将代入方程和组成的方程组解题即可； （2）把代入方程和组成的方程组，解出，得,方程方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得,,结合即可解决问题． 【小问1详解】 解： 是方程和的一个相同的实数根， 则 解得 ； 【小问2详解】 设方程和有一个相同的实数根， 则 解得 ， ∴, ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则解得(其中), 把代入方程方程和， 得,, ∵, ∴,， ∴，，. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的一般形式，熟练掌握新定义是解题的关键. 24. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】（1） 证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； （2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）①此人腾空后的最大高度是米，解析式为； ②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）这条钢架的长度为米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可； （2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论； （3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， ②略 【小问3详解】 解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 槟榔中学2024~2025学年上学期期中考九年级数学科试卷 数学 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项：1．全卷三大题，25小题，另有答题卡； 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分； 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分． 每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 如图所示是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 如图，在中，，将绕点旋转，得到，点的对应点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 4. 有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 2023年中国汽车出口量首次达到全球第一，如图是2021年和2023年新能源汽车占中国出口汽车总量比值的扇形统计图，设2021年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当时， D. 当时，y随x的增大而减小 7. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点B和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线． 直线与相交于点，若以点为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（ ） A. 点在上 B. 是上的外接圆 C. 是的弦 D. 是的内心 9. 野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分． 如果某只野兔一次跳跃中跳跃时间为（单位：），则竖直高度（单位：）为． 根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 野兔经过约，跳跃竖直高度为 B. 野兔跳跃竖直高度为时，经过约 C. 野兔经过约，跳跃竖直高度为，并将继续上升 D. 野兔两次到达竖直高度为的位置，其时间间隔约为 10. 如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝___． 12. 将二次函数化成的形式是________． 13. 如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ． 14. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 15. 有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 16. 已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形； （2）是的边上一点，将△ABC平移后点P的对称点，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（____，_____）． 20. 有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长． 21. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的表达式及点坐标； （2）点是线段上一动点，若，求点的坐标． 22. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 23. 已知三个不同的实数，，满足． 方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根． （1）用含，，的式子表示方程和的一个相同实数根； （2）求实数，，的值． 24. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． （1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； （2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； （3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $