精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月期中调研数学试题

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷 数学 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可. 【详解】， 复数与关于虚轴对称，故. 故选：C 2. 若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可. 【详解】， 故，即， 当时， 故选：A 3. 下列说法中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “若，，，则且”是假命题 D. 设，，则“或”是“”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C. 【详解】对于A, “”是“”的必要不充分条件,故A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误； 对于C，当时，满足，不满足且， 故“若，，，则且”是假命题，故C正确； 对于D，“或”是“”的充要条件，故D正确. 故选：B 4. 在数列中，，则数列前24项和的值为（ ） A. 144 B. 312 C. 288 D. 156 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用并项求和，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 5. 已知实数，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可. 【详解】 设，，故， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比. 【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为， 设圆柱高为h，则，， 由题，，得. 故选：D. 7. 已知，若存在常数，使得为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解． 【详解】由， 得是偶函数，因为不可能是奇函数， 所以和都是偶函数， 为偶函数，则，即， 为偶函数，则，， ，，只有时，， 故选：A 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒成立确定的关系式，从而将转化为只有的式子，再利用导数讨论单调性求最值即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立， 则函数和的零点相同， 所以，则， 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，所以最大值为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则或1 B. 若，则或-3 C. 若，则或3 D. 若，则向量，夹角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行求参判断A选项，根据向量垂直求参判断B选项，应用模长相等计算判断C选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D选项. 【详解】A选项，若，有，解得或，A选项正确； B选项，若，有，解得或3，B选项错误，； C选项，若，有，解得或，C选项正确； D选项，当时，，，，，，向量，夹角的余弦值为，D选项错误． 故选：AC. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是直角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B选项；利用正弦定理边化角即可判断C选项；利用余弦定理求出或，再进行分类讨论即可判断D选项. 【详解】对于A, 若为锐角三角形，则 即， 故，故A正确； 对于B，若，，则， 即，故，且，故是等边三角形，故B错误； 对于C，若，则 即即 故，是等腰三角形.故C正确； 对于D，，解得或， 且， 当时，，为钝角，故， 当时，，B为钝角，故，故D错误. 故选：AC 11. 已知，是函数，两个不同的零点，且，，是函数两个极值点，则（ ） A. B. 或 C. 值可能为11 D. 使得的的值有且只有1个 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是的零点且得，展开后与已知比较可得，可判断A，由有两个不等实解，得的范围，可判断B，直接解方程可判断C，由韦达定理得出，代入，化为关于的方程，引入函数，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B中范围可判断D． 【详解】由已知有两个零点，， 又，是函数两个不同的零点且， 所以， 即 所以，，即，A正确； ，解得或， ，， 由已知有两个不等实根，所以，解得或， 所以或，B错； ，解得或，满足或，C正确； 由，得，， ， 由整理得， 设，则， 或时，，时，， 在在和上递增，在上递减， 又，，， 所以在，，上各有一个零点， 又或，因此只在上在一个解，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数，如果是它的一个零点，则，因此本题中在已知有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设，展开后得出与的关系，从而使得问题可解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 13. 如图，边长为1的正，P是以A为圆心，以AC为半径的圆弧上除点B以外的任一点，记外接圆圆心为O，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角形外心的性质，利用向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图： 由为的外心，则，即，易知， 所以. 故答案为：. 14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图像，利用临界情况，同时与和均相切求解即可. 【详解】恒成立，即的图像一直在和之间， ， 当同时与和均相切时，方程和方程均只有一个解， 即和均只有一个解， 故或，解得或， 结合图像可知，“媒介直线”的截距. 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列前项的和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等比数列， 则， 故； 【小问2详解】 由（1）可知， 故 则 故 故 则 16. 已知向量，，. （1）求函数解析式，写出函数的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标. （2）试用五点作图法作出函数在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）. （3）根据（2）中的图象写出函数的单调增区间、最小值及取得最小值时相应值的集合. 【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，对称中心为. （2）列表： 0 0 2 0 0 描点，连线，画图得： （3）的单调增区间为； 最小值为；取最小值时相应值的集合为：. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出，然后利用整体代入法求解即可； （2）利用五点作图法求解即可； （3）根据函数图像求解即可. 【小问1详解】 向量，，则，， 故的最小正周期， 当 时，， 当 时，， 故的对称轴方程为，对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知，的单调增区间为； 最小值为；取最小值时相应值的集合为：. 17. 如图①，在平面四边形中，，，为对角线中点，为中点，为线段上一点，且，，. （1）求的长. （2）从下面（i）与（ii）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分. （i）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图②，当面面时，求异面直线与所成角的余弦值. （ii）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图③，当时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2）选（i）：；选（ii）： 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可； （2）若选（i），利用空间向量求解即可；若选（ii），利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 因为， 为对角线中点，故, 因为,故， 即， 解得, 故, 则，, 因为，， 则，, 所以, 所以,， 且, 故,则在等腰中，由正弦定理得：， 即， 则. 【小问2详解】 若选（i）：当面面时，因为, 面面,面, 故面，又， 故以点为坐标原点，为轴，为轴，过点做的平行线为轴，可以建如图所示空间直角坐标系， 由（1）知，,故为中点， 则易得 则 设异面直线与所成角为， 则. 若选（ii）：由（1）知，,故为中点， 故, 当时，， 因为，, 故，且，, 故面, 因为为中点，为中点， 故, 则三棱锥的体积:. 18. 已知函数，. （1）如果函数在处的切线，也是的切线，求实数的值. （2）若在存在极小值，试求的范围. （3）是否存在实数，使得函数有3个零点，若存在，求出所有实数的取值集合，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用极值点的定义，得出，然后构造函数求出的范围即可； （3）根据的单调性对进行分类讨论，注意，然后转化为在上有唯一零点求解即可. 【小问1详解】 ，， 故在处的切线为， 也是的切线， 故方程只有一个解，即只有一个解， ，解得. 【小问2详解】 ， ， 当时，，无极值点，不符合题意； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 故的极小值点，则， 故， 设，，则， 此时， 设，则， 时，，单调递增； 时，，单调递减； ，故, 即 【小问3详解】 ，， ， 当时，，在单调递减，不存在3个零点； 当时，，在单调递增，不存在3个零点； 当时，， 因为在上单调递增，设， 则在上也是单调递增，且， 当，， 故存在唯一一个，使， 即在，，，单调递减； 在，，，单调递增； 且，故，且， 故在有唯一零点， ，故， 当时，，因为在有唯一零点，故在也有唯一零点， 故当，有3个零点; 综上所述，所有实数的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性． 19. 对于任意，向量列满足. （1）若，，求的最小值及此时的. （2）若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断的符号并证明你的结论. （3）记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最大值. 【答案】（1），此时或 （2），证明：（i）因为，所以数列不可能是各项均为0的常数列； （ii）当数列为非零常数列时，任意， 若，则， 若，则， 故当数列为非零常数列时，. （iii）当数列为公差不为0的数列时，因，， 若①， 由等差数列性质有，其中 又为奇函数，且在R上单调递增， 则由可得，所以有， 即，， 所以有， 即②，所以由①②知. 同理可证明若，利用函数为奇函数， 且在上单调递增，可证，所以有. 综上可知恒成立. （3）30 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出，进而得到答案； （2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可； （3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解. 【小问1详解】 因为对任意成立， 所以有 将上述各式相加得，又因为，, 所以， 所以有，又， 当或时，，此时或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，所以，即为等差数列， 所以， 由题意知 ， 构造函数， 则， ， ， 所以函数至少有三个零点: 若使得有三个零点，则存在区间，使得为常数， 且三个零点均在内，所以必为偶数，且， 于是有， 故有， 其中， 实际上， 化简得，解得，又为偶数，故的最大值为30. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷 数学 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 0 3. 下列说法中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “若，，，则且”是假命题 D. 设，，则“或”是“”的充要条件 4. 在数列中，，则数列前24项和的值为（ ） A. 144 B. 312 C. 288 D. 156 5. 已知实数，则的最小值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若存在常数，使得为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则或1 B. 若，则或-3 C. 若，则或3 D. 若，则向量，夹角的余弦值为 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，则是直角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若为钝角三角形，且，，，则的面积为 11. 已知，是函数，两个不同的零点，且，，是函数两个极值点，则（ ） A. B. 或 C. 值可能为11 D. 使得的的值有且只有1个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 13. 如图，边长为1的正，P是以A为圆心，以AC为半径的圆弧上除点B以外的任一点，记外接圆圆心为O，则______. 14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前项和为，并满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列前项的和． 16. 已知向量，，. （1）求函数解析式，写出函数的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标. （2）试用五点作图法作出函数在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）. （3）根据（2）中的图象写出函数的单调增区间、最小值及取得最小值时相应值的集合. 17. 如图①，在平面四边形中，，，为对角线中点，为中点，为线段上一点，且，，. （1）求的长. （2）从下面（i）与（ii）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分. （i）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图②，当面面时，求异面直线与所成角的余弦值. （ii）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图③，当时，求三棱锥的体积. 18. 已知函数，. （1）如果函数在处的切线，也是的切线，求实数的值. （2）若在存在极小值，试求的范围. （3）是否存在实数，使得函数有3个零点，若存在，求出所有实数的取值集合，若不存在，请说明理由. 19. 对于任意，向量列满足. （1）若，，求的最小值及此时的. （2）若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断的符号并证明你的结论. （3）记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $