精品解析：山东省青岛市第一中学2025届高三上学期第一次模块考试数学试卷

青岛一中2024-2025学年度第一学期第一次模块考试 高三数学试题 2024.11 本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，与所成角余弦值为 B. 当面时，点的轨迹长度为 C. 的取值范围为 D. 与所成角的范围为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是曲线的对称中心 B 当时，函数有3个零点 C. 若函数有两个零点，则 D. 过坐标原点可以作曲线三条切线 三、填空题： 12. 已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为________. 13 已知直线与曲线相切，则__________． 14. 设数列满足，，，令，则数列的前100项和为___________． 四、解答题 15. 已知函数，其中． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）若，讨论函数单调性． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 18. 已知等比数列各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． （1）求数列和的通项公式： （2）设的前项和，求证：． 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． （1）求的解析式； （2）证明：当时，； （3）设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛一中2024-2025学年度第一学期第一次模块考试 高三数学试题 2024.11 本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分，考试时间120分钟 一、单选题 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量． 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：C． 4. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积. 【详解】如图： ，，，. 根据圆台的侧面积公式：. 所以圆台的高：. 所以圆台的体积为：. 故选：C 5. 函数大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，故排除A， 且当时，，故排除C， ，当时，，故排除D，满足条件的只有B. 故选：B 6. 已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据条件得到，，从而得到，即可求出结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 7. 设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合三角函数诱导公式可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可. 【详解】由已知条件及三角函数诱导公式得： 所以函数的周期， 在同一直角坐标系中作出函数的图象，如图所示： 因为为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性知，是以为底边的等腰三角形， 所以， 由展开整理得：， 又，所以， 设点的纵坐标分别为，则，即， 要使为锐角三角形，则，又， 所以当且仅当时满足要求， 此时，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式. 8. 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围. 【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连接，连接并延长交于点， 则.设该球半径为，则. 由，可得， 故. 在中，，解得. 因为点为的中点，所以， 在中，，所以， 设球心到过点的截面圆的距离为，可知， 截面圆半径， 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值 【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 10. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，与所成角余弦值为 B. 当面时，点的轨迹长度为 C. 的取值范围为 D. 与所成角的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量即可得A正确，利用线面平行性质以及椎体体积公式计算可得点的轨迹即是线段，可得B正确，利用极化恒等式计算可得C正确，由点的位置关系可知D错误. 【详解】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 对于A，如下图所示： 易知，则, 可得， 即当为中点时，与所成角余弦值为，可得A正确； 对于B，易知是边长为的正三角形，故其面积为， 由三棱锥的体积为，可得点到平面的距离为， 即点在与平面平行且距离为的平面内，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面平面，且两平面间的距离等于，所以点平面， 又面，平面平面，即可得点的轨迹即是线段， 因此点的轨迹长度为，即可得B正确； 对于C，依题意可知即为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为为球的直径，所以， 即可得， 又易知当点为正方体与球的切点时，最小；当点为正方体的顶点时，最大； 即，因此可得的取值范围为，即C正确； 对于D，易知的中点即为球心，如下图所示： 当与球相切时，与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误，即D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 当时，函数有3个零点 C. 若函数有两个零点，则 D. 过坐标原点可以作曲线三条切线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据即可判断A；对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B；要使有且仅有2个零点，由单调性可得，故，求解判断C；过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D． 【详解】对于A，对任意的，， 所以点是曲线的对称中心，故A对； 对于B，当时，，， 由，可得，由，可得或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 又因为， 由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点， 当时，，所以当时，函数有一个零点，故B错； 对于C，当时，，此时单调递增，至多一个零点，不符合要求， 当，所以， 令解得或，令解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 由于，要使有两个零点，则，解得时，故C正确； 对于D,，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以， 解得，， 即过点可以作曲线的1条切线，故D错误； 故选：AC 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难点是选项C的判断，解答时要结合函数的单调性，求出函数的极值，结合零点个数列式求解. 三、填空题： 12. 已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，依题意可得，即，再计算，由二次函数的性质求出最小值. 【详解】因为 ， 又复数是实数，所以，即， 所以， 所以当，时. 故答案为： 13. 已知直线与曲线相切，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数几何意义以及切线过点求切线的斜率. 【详解】设直线（）与函数相切，切点为：， 因为，所以切线斜率为：. 所以切线方程为：. 由切线过点，得： 所以，解得：或 所以（舍去）或. 故答案为： 14. 设数列满足，，，令，则数列的前100项和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得. 【详解】数列满足，，， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， ，数列等差数列， 数列的前100项和，即数列的前25项和. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数，其中． （1）若是函数的极值点，求a的值； （2）若，讨论函数的单调性． 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用极值点列方程求出的值，再回代入导函数进行验证即得； （2）对函数求导，分解因式后求得导函数的零点，根据参数的范围分类讨论函数的单调性即可. 【小问1详解】 由可得，，且， 因是函数的极值点，故，解得. 当时，， 由可得，由可得或， 即函数在上递减，在上递增，在上递减，故是的极小值点. 故； 【小问2详解】 由（1），，因， 由，解得或. ① 若，则， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ② 若，即， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ③ 若，则， 则，故函数在上递减. 综上所述， 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减； 当时，函数在上递减； 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减. 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. 【小问2详解】 由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而得到，利用线面垂直的性质得到，进而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理，得到， 解得，所以，得到，又， 所以，即， 又平面，面，所以， 又，面，所以面，又面， 所以平面平面. 【小问2详解】 以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为，，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，得到，取，得到，即， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，整理得到，解得， 所以. 【点睛】 18. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． （1）求数列和的通项公式： （2）设的前项和，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证. 【小问1详解】 由题，设数列的公比为（），的公差为， 由，即， 解得，， 又，即， 解得，. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以 ， ，， 所以. 19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m，n，我们定义函数在处的阶帕德近似为，该函数满足． 注：． 设函数在处的阶帕德近似为． （1）求的解析式； （2）证明：当时，； （3）设函数，若是的极大值点，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式； （2）构造且，利用导数研究其单调性并判断与1的大小关系，即可证结论； （3）利用定义求在处的阶帕德近似函数，并研究的极值确定为界点，再讨论、、并结合导数判断是否为的极大值，即可求范围. 【小问1详解】 由题意，可设，且，则， 而，，且，则， 所以. 小问2详解】 当时，恒有， 令，且，则， 当时，，即在上递增； 当时，，即在上递减； 所以，故，得证. 【小问3详解】 令在处的阶帕德近似为， 由，则，故， 由，，而，则， 所以，故， 由，而，则， 综上，，且， 令，则恒成立， 所以在R上递增，即， 故时，时， 所以时，时， 此时，时不是极值点； 以为界，讨论如下： 由连续函数， 当，则，而， 在上，递减，在上，递增，则， 所以，在两侧恒成立，是极小值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，有， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 当，则，而， 在上，递增，在上，递减，则， 所以，在两侧恒成立，为极大值点； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定为界点，再讨论参数并利用导数研究单调性，及与1的大小关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $