精品解析：四川省仁寿县2024-2025学年高三上学期一模诊断数学试卷

高三诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（不考解析几何）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 2. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断. 【详解】在平行四边形ABCD中，， 而，， ， . 故选：B. 3. 若某圆台的上、下底面的半径分别为1，3，且该圆台的体积为，则该圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题可知，该圆台上底面圆的面积为，下底面圆的面积为， 设该圆台的高为，则该圆台的体积为， 即，解得. 故选：D. 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质可排除BC；根据时，的奇偶性可排除A. 【详解】， 当和时，单调递增，单调递减， 所以在，上单调递减，可排除BC； 当时，，所以图象不关于轴对称，可排除A. 故选：D. 5. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设数列公比为，由等比数列通项公式及题意可得答案. 【详解】设数列公比为，则， ，因， 则（负舍）. 故选：A 6. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积. 【详解】由，得， 则，所以曲线在点处的切线方程为， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B. 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数和对数的运算性质易得，，，进而分析比较与的大小，进而比较与的大小，进而判断即可. 【详解】，， ， 则，，下面比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小，而， 则，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】解方程得，通过计算逐一验证选项即可. 【详解】方程，， 方程的根为， 即方程的根为，， 不妨设，， 则为纯虚数，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上恰有10个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，即可判断AB；再利用整体代入的思想结合正弦函数的性质判断CD. 【详解】由图可知，，，即， 又，则，故A正确； 此时， 又，且，则，故B正确； 此时， 当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 当时，， 因为函数在上有10个零点， 所以在上恰有10个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D. 【详解】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则. 因为，所以异面直线与所成的角即，则. 设，则，，，则， 所以正四棱锥的体积为， 解得，所以，故A错误. 在正方形中，由于，为的中点， 所以，则为二面角的平面角， 所以，故B正确. 设正四棱锥的外接球的球心为，且，又， 由，得，解得， 所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角. 过点作，垂足为， 因为平面，且平面， 所以，又，且平面， 所以平面，又平面， 所以，又，且平面， 所以平面， 则为直线与平面所成的角， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解立体几何中空间角的问题，往往有两种方法，一种是利用定义先找到角的位置，再求解；另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若钝角满足，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据为钝角易得，进而结合正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，，则，所以， 由，解得. 故答案为：5. 13. 已知是奇函数，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由是奇函数，得函数关于对称，进而结合代值计算即可. 【详解】由是奇函数，得函数关于对称， 又当时，， 则. 故答案为：. 14. 在如图所示的方格表中选5个方格，则这5个方格的数中恰有2个11的概率为______，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为______. 10 21 30 41 50 11 20 30 40 49 10 19 29 40 51 11 20 31 39 50 11 23 32 43 52 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型可得第一空；观察题表可发现每列数字最大值都在最后一行出现，可计算出每一列中每个数字与此列最大值的差的绝对值，若要使得被选中数字的和最大，则只需差的绝对值之和最小即可，再通过观察法即可解决. 【详解】由题知表中共有25个数，其中包含3个11， 所以任选5个方格，其中恰有2个11的概率为. 根据题表知每列数字最大值都在最后一行出现， 根据题表可得出每列数字与此列中最大数的差的绝对值，如下表： 1 2 2 2 2 0 3 2 3 3 1 4 3 3 1 0 3 1 4 2 0 0 0 0 0 按要求每行和每列都恰有1个方格被选中，若被选方格的5个数之和最大，则差的绝对值之和最小， 所以要使得5个数之和最大，则这5个数可以为11，23，31，41，51， 此时和为，即和的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求外接圆的直径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，设，，进而结合余弦定理即可求解； （2）结合题意，由三角形的面积公式可得，进而（1）所设，求出，进而结合正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 不妨设，， 则由余弦定理得，， 又，则. 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由题意，，即， 由（1）知，设，， 则，解得， 则，所以， 则外接圆的直径为. 16. 如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明： 因为，，都垂直于平面，则. 取的中点，连接，， 则，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 可得， 且平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）空间直角坐标系，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则， 取，得，，可得. 故点到平面的距离. 17. 在递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式性质转化为，进而求得，，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，因为数列是等差数列， 所以，由解得， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则①， ②， ①-②得 则. 18. 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. （1）求的分布列； （2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 【答案】（1） 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 （2）应选 【解析】 【分析】（1）由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解； （2）分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答. 【小问1详解】 由题意，的可能取值为8，9，10，11，12，13，14， 则， ， ， ， ， ， ， 则的分布列为： 8 9 10 11 12 13 14 0.09 0.12 0.28 0.22 0.2 0.08 0.01 【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2000，2320，2640，2960，3280， 则，， ， ， ， 则. 记为当时购买零件所需费用，的可能取值为2200，2520，2840，3160， 则，， ， ， ， 显然， 所以应选择. 19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 【答案】（1）证明：由可得， 由可得，解得 ， 所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0， （2）①证明：由可得对任意，恒成立， 所以存在常数 ，使得， 令，则，且， 解得， ，则， 由于是“缺陷偶函数”，由， 即，即， 则，得， ， 由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以有两个极值点． ②证明：若，即，则，故， 当时，要证，只需要证， 因为，故， 只需证， 令， 当单调递减，当单调递增， 故 ， 所以，从而，故， 即时，. 【解析】 【分析】（1）根据，即可解方程求解， （2）①根据，取，可得，结合新定义可得，即可对求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证； ②利用放缩法，先证明故，构造求导，确定函数的最值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤: （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（不考解析几何）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 3. 若某圆台的上、下底面的半径分别为1，3，且该圆台的体积为，则该圆台的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 函数的部分图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列的前3项和为21，且，则（ ） A. 6 B. 4 C. D. 2 6. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，是方程的两个根，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上恰有10个零点 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若钝角满足，则______. 13. 已知是奇函数，当时，，则______. 14. 在如图所示的方格表中选5个方格，则这5个方格的数中恰有2个11的概率为______，若要求每行和每列都恰有1个方格被选中，则被选方格的5个数之和的最大值为______. 10 21 30 41 50 11 20 30 40 49 10 19 29 40 51 11 20 31 39 50 11 23 32 43 52 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求外接圆的直径. 16. 如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）若，求点到平面的距离． 17. 在递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数T的分布列为 4 5 6 7 0.3 0.2 0.4 0.1 表示2台设备使用期间需更换的零件个数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. （1）求的分布列； （2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选择哪一个? 19. 若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点． （1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一． （2）对任意，函数都满足． ①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点． ②若，证明：当时，． 参考数据： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $