专题01 整式的乘法与乘法公式（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题01 整式的乘法与乘法公式 判断幂的运算、整式运算正确 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西百色·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 运用平方差公式进行运算 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）下列多项式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列各式能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 幂的运算 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 4．（23-24八年级上·重庆合川·期末）计算： ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 求完全平方式中的字母系数 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 4．（23-24六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 5．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为 ． 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 4．（23-24八年级上·北京海淀·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 5．（23-24六年级下·山东东营·期末）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为 ． 含乘法公式的整式的混合运算 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）化简求值：，其中，． 3．（22-23七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 通过对完全平方公式变形求值 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知实数m，n满足，． (1)求的值； (2)求的值． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）（1）已知，求； （2）已知，，求的值． 4．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读材料： 若x满足，求 的值． 设 ， 则，， 所以 ． 请仿照上面的方法解答下列问题： (1)若x满足 则 ． (2)若x满足，求 的值． 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 多项式乘多项式与图形面积 1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）用几个小的长方形和正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个小长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，请用等式表示你从中得到的结论：________； (2)利用（1）中的结论解决问题：已知，，求的值； (3)如图3，正方形的边长为a，正方形的边长为b，点D，G，C在同一条直线上，连接，，若，，求阴影部分的面积． 平方差公式与几何图形 1．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 2．（22-23七年级下·广东佛山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． (1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：               (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 4．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是______________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 完全平方式在几何图形的应用 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则______． (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 4．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 5．（23-24七年级下·四川达州·期末）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；    公式②： 公式③：    公式④： 图1对应公式_______，图3对应公式________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积________． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 多项式乘积中的规律性问题 1．（23-24七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：； ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律填空： ① ； ②＝ ； (2)利用②的结论求的值； (3)若，求 的值． 2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 5．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 整式乘法中的新定义型问题 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 3．（23-24六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    5．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的乘法与乘法公式 判断幂的运算、整式运算正确 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法，平方差公式，牢记运算性质与法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂的除法、单项式的乘法法则，以及平方差公式即可作出判断． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式计算正确，故本选项符合题意； D． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘单项式、积的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式及合并同类项；掌握运算法则是关键；根据合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式及单项式除以单项式的法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·广西百色·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相除、同底数幂相乘法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确，符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查幂的运算及积的乘方、完全平方公式的运算，正确运用法则是正确解决本题的关键． 用同底数幂的除法、乘法、积的乘方及完全平方公式逐选项判断即可． 【详解】解：A. ，此选项正确，符合题意； B. ，此选项不正确，不符合题意； C. ，此选项不正确，不符合题意；     D. ，此选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同底数幂的除法运算、积的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查了幂的相关运算、合并同类项、完全平方公式等知识点，掌握相关运算法则即可求解； 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 运用平方差公式进行运算 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）下列多项式乘法能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的特征，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式的特征是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，逐项分析即可， 【详解】根据平方差公式的特征，可知： A． ，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； B． ，符合平方差公式，故该选项符合题意； C． ，不是两个数的和与这两个数差的积，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； D． ，不符合平方差公式，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式的结构特性进行判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列各式能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； B、符合平方差公式的特征，故符合题意； C、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； D、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、 ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 幂的运算 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．直接根据积的乘方法则进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法，根据积的乘方与同度数幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·重庆合川·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 求完全平方式中的字母系数 1．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】题目主要考查根据完全平方公式求解未知数，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去和3的积的2倍， ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 【答案】36 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵恰好是一个整式的平方， ∴． 故答案为：36． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，牢记完全平方式有两个——和，并熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的定义即可得出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或． 4．（23-24六年级下·山东东营·期末）如果是一个完全平方式，那么k的值为 ． 【答案】或4 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵， ∴或4， 故答案为：或4． 5．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知是一个关于x的完全平方式，则常数a的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，由是一个关于x的完全平方式，可得出，再利用完全平方公式可得出，即可求出a值． 【详解】解：∵是一个关于x的完全平方式， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 即， 解得， 故答案为：． 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵结果中不含的一次项， ∴ 解得：． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，先去括号，再合并同类项后，根据不含项，则该项的系数为0，即可求得a的值． 【详解】解： ， 关于x的多项式的乘积化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 【答案】3, 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、代入消元法 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． 故答案为：3, ． 4．（23-24八年级上·北京海淀·期中）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．利用多项式乘多项式的法则化简后，使一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵乘积不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（23-24六年级下·山东东营·期末）若的积中不含x的二次项和一次项，则的值为 ． 【答案】125 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵展开式中不含x的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：125． 含乘法公式的整式的混合运算 1．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．原式利用完全平方公式，平方差公式及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 3．（22-23七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先根据整式的混合运算法则，进行化简，再根据非负性求出的值，代入化简后的结果，进行计算即可. 【详解】解：原式 ∴原式 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）（1）先化简，再求值，其中，． （2）利用简便方法计算： ①； ②． 【答案】（1），4；（2）①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答; （2）①利用平方差公式，进行计算即可解答； ②利用乘法的交换律和结合律，进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2）①原式 ； ② ． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)，3 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、整式的混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，乘法公式的灵活运用，化简求值，熟记运算法则与乘法公式是解本题的关键． （1）先利用乘法公式和多项式的乘法法则计算，根据零次幂和负整数指数幂计算求得和的值，再代入即可求解； （2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再整体代入数据计算即可． 【详解】（1）解： ， 又，， 所以，把，代入， 原式； （2）解： ， 又，得， 所以，原式． 通过对完全平方公式变形求值 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式变形求出结果即可； （2）根据完全平方公式变形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， 即， ∴． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）已知实数m，n满足，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式乘法的计算法则和完全平方公式及其变形的运用，熟练掌握法则及公式是解答的关键． （1）根据整式乘法运算法则，去括号之后整体代入求值即可得到答案； （2）根据完全平方公式的变式，即可解答． 【详解】（1）原式 ， （2）解：将两边平分得 ， 因为， 所以 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）（1）已知，求； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）   （2）12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．（23-24七年级下·河南周口·期末）阅读材料： 若x满足，求 的值． 设 ， 则，， 所以 ． 请仿照上面的方法解答下列问题： (1)若x满足 则 ． (2)若x满足，求 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）设，则，，根据，计算求解即可； （2）由，可得，设，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴的值为． 5．（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 多项式乘多项式与图形面积 1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长m、宽m的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长m、宽m的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当，时，求安装健身器材的区域面积． (3)在做施工预算时了解到铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，那么在第（2）问的条件下，建设居民健身区所需地面费用为多少？（仅篮球场需铺设塑胶地面，其余为水泥地面） 【答案】(1)m2 (2)m2 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘法混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了代数式运算的应用，熟悉掌握运算法则是解题的关键； （1）利用长方形面积公式列式运算即可； （2）把，代入（1）中式子运算即可； （3）把费用代入运算即可； 【详解】（1）解：由题意得： 答：安装健身器材的区域面积为； （2）当，时， 安装健身器材的区域面积 ， 答：安装健身器材的区域面积为2780 m2； （3）根据题意，需要的总费用为： ， 当，时，总费用为：（元）； 答：建设该居民健身场所需181000元． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． (1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； (2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】(1) (2)完成硬化共需要28000元． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）由图得，阴影面积为： ； （2）当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是． 设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量： (1)B区的长是___________，宽是___________ ； (2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________； (3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？ 【答案】(1)； (2)， (3)育苗区的边长为． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，区的长是：，宽为：； （2）根据题意，分别求出区和区的长与宽，再计算其种植面积即可； （3）根据题意，可列方程：，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，区的长是：，宽为：， 故答案为：；； （2）解：区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 区的长为：，宽为：， 则区的种植面积是：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，得： ， 解得：， 答：育苗区的边长为． 4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，由图1．可得等式：． (1)由图2，可得等式：___________________； (2)如图3，有A，B，C三种类型纸片足够多张，小明要想用它们拼一个边长分别为和的长方形，则需要用到C型纸片______张； (3)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2)17 (3)54 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题．利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将图②中正方形的面积用两种方法表示出来，即得出答案； （2）由多项式乘多项式的运算法则将展开，整理得，即得出答案； （3）结合（1）得出，由多项式乘多项式的运算法则将展开，两者结合即得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 故答案为：． （2）解：， ∴需要用到C型纸片17张． 故答案为：17； （3）解：， 故， ， ， ， ． 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）用几个小的长方形和正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个小长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． (1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，请用等式表示你从中得到的结论：________； (2)利用（1）中的结论解决问题：已知，，求的值； (3)如图3，正方形的边长为a，正方形的边长为b，点D，G，C在同一条直线上，连接，，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积的关系，代数式求值，完全平方公式的变形的灵活应用，熟练的利用图形面积建立代数公式是解本题的关键． （1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论； （2）将，代入（1）中的结论运算即可解题； （3）先表示出阴影部分的面积，再将，代入即可解题． 【详解】（1）解：把图2看作一个大正方形，它的面积是； 如果把图2看作是由6个小长方形和3个小正方形组成的，它的面积为， 由此可得：， 故答案为：； （2）解： 将，代入可得： ， 解得：； （3）解：由图可知： 阴影部分的面积为：， 正方形的边长为a，正方形的边长为b， ， 将，代入得： 阴影部分的面积为：． 平方差公式与几何图形 1．（23-24八年级上·浙江温州·期末）探究活动： (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 ；（写成两数平方差的形式） (2)知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题： ①计算：； ②若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景； （1）阴影部分的面积等于边长为a与边长为b的正方形的面积差； （2）①根据平方差公式、完全平方公式求解即可； ②由题意，根据平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① ； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（22-23七年级下·广东佛山·期末）乘法公式的探究及应用． (1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个） A．    B． C．     D． (2)当，时，则 ． (3)运用你所得到的公式，计算下列各题： ①； ②． 【答案】(1)D (2)2 (3)①1；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论； （2）利用平方差公式求解即可； （3）①将原式变形为，再利用（1）中公式计算； ②将2变形为，再逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为， 图2的阴影面积为， ∴图1到图2的操作能验证的等式是， 故选：D； （2）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：2； （3）解：① ； ② . 3．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． (1)上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）：               (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 【答案】(1)D (2)①7；②见解析 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了运用平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据图中阴影部分的面积进行解答即可； （2）①根据平方差公式变形进行计算即可；②利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积为， ∵两个图中阴影部分的面积相等， ∴能验证的等式是，故D正确． 故选：D． （2）①， ， ， 故答案为：7； ②． 所以（n为整数）是4 的倍数 4．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 5．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是______________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)120 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：∵，且 ∴ （3）解：如图3，延长，交于一点E ∵四边形是正方形 ∴ ，， ； 完全平方式在几何图形的应用 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将进行变形为：，或等．请根据以上变形解决下列问题： (1)已知，则______． (2)若满足，求的值； (3)如图，四边形是梯形，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握公式的形式及变形是解题关键. （1）根据即可求解； （2）设，可得，据此即可求解； （3）设，则图中阴影部分的面积，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）解：设． 由变形可得： 由题意可知： 即 （3）解：设， 则图中阴影部分的面积 由题意得： ∵ ∴图中阴影部分的面积， 故答案为： 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 【答案】(1)3；2；7 (2)①；②11 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （2）①用两种方法表示出大正方形的面积即可；②利用完全平方公式的变形可得，再由阴影部分面积，结合完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴需要种卡片3张，B种卡片2张，C种卡片7张； 故答案为：3；2；7 （2）解：①小正方形可以是，也可以是， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， 阴影部分面积 3．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）依次为B，D，C，A；（2）①；②结论成立，理由见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、等腰三角形的性质和判定、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的计算， （1）根据图示，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）①根据题意可得，四边形是正方形，设，则，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解；②设空白部分长方形的宽为a，长为b，可得，，，，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解． 【详解】解：（1）图1，，故选B； 图2，，故选D； 图3，，故选C； 图4，，故选A； 依次为B，D，C，A； （2）①已知，，，是等腰直角三角形，当是边的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ， ， ． 故答案为：； ②结论成立，理由如下， 设空白部分长方形的宽为a，长为b， ，，，是等腰直角三角形， ，，，， ． ． 4．（23-24七年级下·广东河源·期末）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 5．（23-24七年级下·四川达州·期末）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；    公式②： 公式③：    公式④： 图1对应公式_______，图3对应公式________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积________． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）①；④；（2）①；②；（3） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景， （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解； ②利用（1）中的公式③和公式④即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解； 掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把两边平方得：， ∴，即， ∴； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 多项式乘积中的规律性问题 1．（23-24七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：； ； ； ； ； (1)根据上面各式的规律填空： ① ； ②＝ ； (2)利用②的结论求的值； (3)若，求 的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并能应用规律． （1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案； ②根据上面各式的规律，可直接得到答案； （2）根据（1）总结出的规律，可得：，据此即可求出算式的值； （3）根据（1）总结出的规律，可得：，又由已知，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得，； ②由题意可得； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∴， （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）观察以下等式： ； ； ． (1)根据以上等式的规律，填空： ①__________；②__________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给的计算方法，即可解答； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：①，② 故答案为：；． （2）解： ． 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路． 问题解决： （1）填空： ________ ________ 猜想： ________ 总结结论： （2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值． 【答案】（1）；；；（2）； 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可； （2）由（1）得出一般性规律，将变形为，计算即可得解． 【详解】解：（1） ， ， 猜想： ； （2）当n为正整数时，， ∴的值为． 5．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）将变形为，再利用（1）中变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ……； ∴， 故答案为：． （2）解： ； （3）解：， ． 整式乘法中的新定义型问题 1．（23-24七年级下·湖南永州·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数x、y，若是一个完全平方式，则k ； (3)对于有理数x、y，若． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点B、C、G在同一条直线上，点E在边上，连接、．若，，，，图中阴影部分的面积为45，求n的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)①56；②2 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，化简后代入计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． 故答案为：． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． 故答案为：． （3）解：①根据定义，得 ， 当时， 原式． ②解：根据题意，得 ． 又图中阴影部分的面积为45，， 故， 解得． 【点睛】本题考查了实数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 3．（23-24六年级下·山东威海·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 5．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）阅读下列材料，回答问题： 材料一：我们定义一种新运算：我们把形如这样的式子叫作“行列式”，行列式的运算方式是：．例如：；；． 材料二：在探究的时候，我们不妨利用多项式和多项式的乘法将其打开：，我们把这个公式叫作“差的完全立方公式”．按同样的方法我得出“和的完全立方公式”为：．这两个公式常运用在因式分解和简便运算等过程中． (1)计算：______；______． (2)已知，，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1)13， (2)18 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据材料一直接计算，再根据材料二中公式变形即可； （2）将变形为，代入计算即可； （3）根据已知得到，再将所求式子利用新定义和公式变形，得到，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； ； （2）∵，， ∴ ； （3）∵，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值，新定义运算，解题的关键是读懂材料所提供的新运算法则，灵活运用给出的差的完全立方公式与和的完全立方公式进行变形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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