【解答题专项】第八单元 数学广角——数与形（知识梳理+典例精讲+专项训练）-2024-2025学年小学数学六年级上册（人教版，含答案）

第八单元 数学广角——数与形 小学数学六年级上册专项训练（知识梳理+典例精讲+专项训练） 一、数与形的基本概念 1．数：数学中用于计量、比较和表示大小的抽象概念，如自然数、小数、有理数等。 2．形：通过现实世界表现出来的形象，用于描述现实事物的形状、大小和位置等属性，如几何图形、坐标轴等。 二、数与形的结合 1．数形结合：将数与形相结合，通过直观的图形来展示数量之间的关系，或通过数量的计算来揭示图形的性质。 2．意义：数形结合有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，使抽象的数学概念变得直观易懂。 三、数与形的规律与公式 1．连续奇数相加的和： 规律：从1开始的n个连续奇数相加的和等于n的平方。公式：1+3+5+...+(2n-1)=n² 2．连续偶数相加的和： 规律：从2开始的n个连续偶数相加的和等于n乘以(n+1)。 公式：2+4+6+...+2n=n×(n+1) 四、数与形的应用 1．统计图： 折线统计图：直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。 扇形统计图：直观显示部分和总量的关系。 2．解决实际问题： 利用数形结合的方法解决植树问题、分数乘法问题等实际问题。 通过画图来帮助理解复杂的数量关系，如连续奇数相加、连续偶数相加等。 【典例1】把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。 （2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。 【详解】（1）50÷2＝25（组）    2＋25×4＋25×2 ＝2＋100＋50 ＝152（个）    152×2×2＝608（平方厘米） 答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。 （2）49＝7×7    7×7＋4×7 ＝49＋28 ＝77（个）    2×2×77＝308（平方厘米） 答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。 【典例2】找规律画一画，算一算。   1      1＋3         1＋3＋5            1＋3＋5＋（    ）          1＋3＋5＋（    ）＋（    ）   1×1    2×2        3×3              （    ）×（    ）        （    ）×（    ） 根据规律计算： 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 【分析】看图并结合算式，第一个图有（1×1）个小圆，第二个图有（2×2）个小圆，第三个图有（3×3）个小圆。对应的加法算式是连续奇数的和，几乘几对应的算式就有几个连续奇数相加。“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”是8个连续奇数相加，那么它的和与“8×8”相等。 【详解】   1      1＋3     1＋3＋5           1＋3＋5＋7          1＋3＋5＋7＋9   1×1    2×2      3×3                4×4                 5×5 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 ＝8×8 ＝64 【典例3】填数游戏：在4×4的方格中，按1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1的顺序依次填入左右或上下相邻的十六个格子内（不能斜向填入另一格），每个格子只能填一个数字。图（1）是按要求填写的（图中箭头表示填写顺序），请你完成另外四个图。 【分析】根据数字的排列顺序填数，和1相邻的数是2，和3相邻的数是2、4，和5相邻的数是4、6，据此进行填数即可。 【详解】图中的线表示填写顺序。（答案不唯一） 【典例4】观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 【分析】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【详解】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 【典例5】摆一摆，找规律。 （1）依次摆下去，第6个图形是什么图形？ （2）摆第7个图形需要用多少根小棒？ （3）摆第n个图形需要用多少根小棒？ 【分析】第1个图形是1个三角形，用3根小棒摆成的； 第2个图形是一个由2个三角形组成的平行四边形，用5根小棒摆成的； 第3个图形是一个由3个三角形组成的梯形，用7根小棒摆成的； 第4个图形是一个由4个三角形组成的平行四边形，用9根小棒摆成的； 依次摆下去： 第5个图形是一个由5个三角形组成的梯形，用11根小棒摆成的； 第6图形是一个由6个三角形组成的平行四边形，用13根小棒摆成的； 第7个图形是一个由7个三角形组成的梯形，用15根小棒摆成的； … 通过观察可以发现，从第2个图开始，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形；小棒的根数则是每次比前一次增加2根。 【详解】答：（1）第6个图形是平行四边形。   （2）1个三角形所需小棒的根数是3； 2个三角形所需小棒的根数是3＋2； 3个三角形所需小棒的根数是3＋2×2： … n个三角形所需小棒的根数是3＋2×（n－1）＝2n＋1， 当n＝7时，2n＋1＝2×7＋1＝15（根） 摆第7个图形需要 15根小棒。   （3）由（2）可知，摆成第n个图形需要用（2n＋1）根小棒。 【典例6】仔细观察，你有什么发现？把你的发现填在下表中。 正方形的个数 1 2 3 4 … （    ） 顶点个数 4 7 10 （    ） … 601 【分析】观察可知，顶点个数＝正方形个数×3＋1，正方形个数＝（顶点个数－1）÷3，据此分析。 【详解】将正方形个数看作n，顶点个数＝3n＋1 3n＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） （601－1）÷3 ＝600÷3 ＝200（个） 正方形的个数 1 2 3 4 … 200 顶点个数 4 7 10 13 … 601 【典例7】请你根据下面图形与数的规律完成下列各题： （1）接着画一画，填一填。 （2）如果不画，这样排列下去，第10个图的数是（    ），第n个图的数是（    ）（用含n的式子表示）。 37．（1）15；21；28；（2）55； 【分析】（1）通过观察，第1个图中有1个点，第2个图中有（1＋2）个点，第3个图中有（1＋2＋3）个点，第4个图中有（1＋2＋3＋4）个点，第几个图形的点数和等于前一个图形的点数和加几。 （2）通过（1）类推，第n个图中有（1＋2＋3＋…＋n）个点，然后通过首尾相加进行化简即可。 【详解】（1）第5个图形：10＋5＝15（个） 第6个图形：15＋6＝21（个） 第7个图形：21＋7＝28（个） （2）第n个图的数： 1＋2＋3＋…＋n ＝（1＋n）×n÷2 ＝（n＋n2）÷2 ＝ 当n＝10时， ＝ ＝ ＝ ＝55 第10个图的数是55；第n个图的数是。 【典例8】用小棒摆六边形，按照下图所示的规律摆。 （1）摆4个六边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 （2）按这个规律摆80个六边形，需要几根小棒？ 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边形需要11根小棒，可以写作：11＝6＋5＝6＋5×1； 摆3个六边形需要16根小棒，可以写成：16＝6＋5＋5＝6＋5×2； 摆4个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋5＝6＋5×3； 6＋5×3 ＝6＋15 ＝21（根） …… 摆n个六边形需要小棒的根数，可以写成：6＋5＋5＋……＋5＝6＋5×（n－1）； 6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1 答：摆4个六边形，需要21根小棒。摆n个六边形，需要（5n＋1）根小棒。 （2）当n＝80时，代入得： 5n＋1 ＝5×80＋1 ＝400＋1 ＝401（根） 答：摆80个六边形，需要401根小棒。 一、解答题 1．探索与发现。 数形结合思想是数学中最重要的、最基本的思想方法之一。计算2＋4＋6＋8＋10＋12…这样的算式有简便方法吗？聪聪遇到这个问题时，他想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图研究（如图）。 序号 1 2 3 4 … 图形 …… 图片个数 2 2＋4 2＋4＋6 2＋4＋6＋8 … (1)观察表格，请把下面等式补充完整。 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝( )×( ) (2)若按此规律继续摆，则序号为( )的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有( )个小圆片。 2．“转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，例如借助如图，计算。 3．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。 （1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（    ）、（    ）、… （2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。    4．有三堆围棋子，每堆有60枚，第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有10枚白子。这三堆棋子中，白子比黑子少多少枚？ 5．观察下面图形的规律，并画一画，填一填。 总结规律：由此可以得出第六个图形一共由（    ）个小三角形组成。 6．如下图在一些大小相等的正方形内分别排列着一些同样大小的圆。 （1）请观察上图并填写下表。 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 （2）你能试着表示出第n个正方形中圆的个数吗？用你发现的规律计算出第18个图形中有多少个圆。 7．有一列数是2，9，8，2，6，2…从第3个数起，每一个数都是它前面的两个数乘积的个位数字。这一列数的第2023个数是多少？ 8．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？ 9．元旦联欢晚会上，大家围坐在一起，一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，如下图所示。 （1）每多一张桌子，可多坐（    ）人，按此规律，n张桌子可坐（    ）人。 （2）五（1）班有54人，至少需要多少张桌子？ 10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常把数与形联系在一起，下图是用形来表示数，请你认真观察：第1幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，第3幅图的点数为9。 (1)按这个规律排下去，第5幅图的点数是( )。 (2)第20幅图的点数是( )。 (3)第幅图的点数是( )。 11．各代表一个数字，下面每个图案都是由中的两个图形（可以是相同的）构成的。观察各图形与它下面的数之间的关系，请你写出最后面图形下面的“？”表示什么。 12．观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 13．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 14．用相同的边长是1厘米的小正方形按照下图的方法拼大正方形，请完成填空。 (1)小正方形的个数分别是( )、( )、( )… (2)大正方形的周长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米… (3)根据图形排列规律，第5个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米；第9个图形中的小正方形有( )个，这个图形的周长是( )厘米。 15．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 16．“黑洞”是宇宙空间中一种神秘的天体，能把接近它的物质吸引进去。在数学中也有神秘的黑洞现象。四位数的黑洞是6174，即：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是6174，6174就是四位数的黑洞。举例说明，例如3214： 4321－1234＝3087 8730－378＝8352 8532－2358＝6174 7641－1467＝6174 7641－1467＝6174 按此继续思考，你能找出三位数的黑洞吗？任选一个三位数试试吧。 17．阅读理解。 六（1）班50人，一次数学素养测评成绩按从高到低排列，前30名的平均分比后20名的平均分多12分。李敏把前30名的平均分加上后20名的平均分再除以2，这样得到的结果与全班实际的平均成绩相差多少分？ 笑笑说：假设前30名的平均分为90分，后20名的平均分就是78分。 则全班实际的平均成绩为（90×30＋78×20）÷50＝85.2（分）； （1）（填一填）李敏算的平均分为：（    ）。相差：（    ）。 奇思说：我来画图分析，看图就能直接求出相差多少分。先画一个长方形表示前30人的总分，长为平均分，宽为人数，再画第二个长方形表示后20人的总分，两部分的长差为12。 （2）想一想：从“移多补少”去想，李敏是（    ）（填“多算”或“少算”）了6×10＝60（分），所以李敏得到的结果与全班实际的平均成绩相差60÷（    ）＝（    ）（分）。 （3）答一答：什么情况下李敏的算法是对的？ 18．观察思考并计算。 (1)观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。         ( )    ( ) (2)根据上面的规律用简便方法计算。 ( )×( )＝( )。 19．笑笑借助图（图1）计算2.8×1.7，你能看明白吗？请在图中填一填。 由上题的思路，图2研究的是（    ）×（    ）。 结合下边的图（图3），请你写出下面算式的结果。 （a＋b）×（a＋b）＝ 20．有2000个数，按照下列的方法排列成五列。 请问2000应写在第几列？ 21．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 22．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。 23．如图，正方形被分成了7个小长方形，任选几个小长方形，将每个小长方形再分成7个小长方形。我们称这样的操作为一次操作，能否经过有限次操作。将正方形恰好分成2010个小长方形？如果能，请写出一种操作方法；如果不能，请说明理由。 24．把编号1~13的13张卡片按编号从小到大的顺序叠成一摞，然后按如下步骤进行操作： 第一步：把这摞卡片按从上到下的顺序分成上（A）、中（B）、下（C）三摞，其中A摞4张，B摞4张，C摞5张； 第二步：把C摞最上面一张卡片拿出来，放在桌子上；然后把B摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第一张卡片上；接着把A摞最上面一张卡片拿出来，放在拿出来的第二张卡片上；……如此按C、B、A的顺序轮流拿卡片，直到将13张卡片重新叠成一摞。 完成以上两步是一次操作，第1次操作过程如下图： （1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是__________。（直接写出答案） （3）第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是多少？（写出详细过程） 25．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成（2m＋1）个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。 （1）求a的最小值；           图1                    图2 （2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。 26．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 27．如图，在一个5×5的方格图中，按图中规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差是固定的数，同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是固定的数。根据图中已填好的数，则第3行第4列应该填入的数是多少？ 28．将1~5填入第一行的五个○中，将相邻两个○中的数之和填入上一行的○中，如此下去直到第五行，如图1，要使第五行○中的数最大，那么第一行中的数应以怎样的顺序填写？最大值是多少？（在图2中填写，并说明填写的理由。） 29．现有a（a＞50）根长度相同的小棒，按图1摆放恰好可以摆成2m个三角形，按图2摆放恰好可以摆成2n个小正方形。 （1）求a的最小值； （2）若这a根小棒还可以按图3恰好摆成p个五边形，且a＜200，求a的最大值。 30．用小棒搭房子。 （1）搭1间房子要（    ）根小棒，搭2间房子要（    ）根小棒，搭3间房子要（    ）根小棒。 （2）搭10间房子要（    ）根小棒，搭n间房子要（    ）根小棒。 （3）如果有65根小棒可以搭多少间房子？ 参考答案 1．(1) 4 5 (2) 11 n（n＋1） 【分析】序号1：2，1个偶数； 序号2：2＋4，2个偶数； 序号3：2＋4＋6，3个偶数； …… 序号几就是几个连续偶数相加。 2＝1×2， 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 …… 结果＝序号几就用几×（几＋1）。 因此，此题是求连续偶数的和，其得数是偶数的个数（即序号）与偶数个数加1的积，据此解答。 【详解】（1）2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 （2）132＝11×12 若按此规律继续摆，则序号为11的图形共有132个小圆片，序号为n的图形，共有n（n＋1）个小圆片。 2． 【分析】由图可知，把正方形看成一个边长是1的正方形，那么先平均分成两份，那么另外一份占，再把第一份平均分成两份，其中一份占，再把分为两份，其中一份是，依次类推，可分到份，所以最终可得到：，即1－＝。 【详解】 ＝1－ ＝ 3．（1）55；89； （2）100÷3＝33（组）……1（个） 这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项； （2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。 【详解】（1）21＋34＝55 34＋55＝89 根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89… （2）100÷3＝33（组）……1（个） 答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。 4．40枚 【分析】由题可得：第一堆黑子＋第一堆白子＝60枚，第二堆黑子＋第二堆白子＝60枚，因为第一堆黑子与第二堆的白子同样多，所以第二堆的白子＋第一堆白子＝60枚，第一堆黑子＋第二堆黑子＝60枚，因此可知第一二堆的黑子数量和等于第一二堆的的白子数量和。在第三堆中可求出白子比黑子少多少枚，就是这三堆棋子中白子比黑子少多少枚。第三堆有10枚白子，即黑子有：60－10＝50（枚），最后用黑子数减去白子数，即可求出白子比黑子少多少枚，据此解答。 【详解】60－10＝50（枚） 50－10＝40（枚） 答：这三堆棋子中，白子比黑子少40枚。 5．作图如下；21 【分析】观察可知，第一个图形小三角形个数是（1＋2＋3），第二个图形小三角形个数是（2＋3＋4），第三个图形小三角形个数是（3＋4＋5），由此可知，每个图形都有3行，第几个图形最上边1行就有几个小三角形，下边依次多1个小三角形，因此第六个图形应该是（6＋7＋8）个小三角形，据此画图并填空。 【详解】 6＋7＋8＝21（个） 由此可以得出第六个图形一共由21个小三角形组成。 6．（1）1；4；9；16；25；36        （2）n2；324个 【分析】（1）通过观察图，可以发现圆的个数依次增加。得出规律如下 图（1）中圆的个数：1＝1×1＝1²； 图（2）中圆的个数：4＝2×2＝2²； 图（3）中圆的个数：9＝3×3＝3²； …… 图（n）中圆的个数：n×n＝n²。 因此可得： 图（4）中圆的个数：4²＝16； 图（5）中圆的个数：5²＝25； 图（6）中圆的个数：6²＝36； （2）由（1）可得，第n个正方形中圆的个数是n²，通过发现的规律计算出第18个图形中有18²个圆，据此解答。 【详解】（1）填表如下： 图形编号 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） 圆的个数 1 4 9 16 25 36 （2）n×n＝n² 18²＝18×18＝324（个） 答：第n个正方形中圆的个数是n²，第18个图形中有324个圆。 7．2 【分析】通过列举2，9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4…可以发现，从第三个数8开始每6个数一组重复出现，用2023先减去不参加重复出现的2个数字，然后除以6可得有多少组，如果整除了那么就是这一组的最后一个数，如果有余数，那么余数是几，就是下一组的第几个；据此可解此题。 【详解】（2023－2）÷6 ＝2021÷6 ＝336……5 说明第2023个就是第337组中的第5个，所以是2。 答：这一列数的第2023个数是2。 【点睛】本题关键是通过列举找出这一列数的规律，从而进行解答。 8．9人 【分析】观察队形可知，原来的队形第一排有1人，第二排有2人，……，总人数是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持队形不变，人数增加最少，第五排应有5人，总人数可以变成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人数就是25－16＝9（人）。 【详解】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1 ＝4×4 ＝16（人） 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 ＝5×5 ＝25（人） 25－16＝9（人） 答：至少应该增加9人。 9．（1）4；4n＋2 （2）13张 【分析】（1）先观察图形，找出桌子数量和能坐人数之间的规律。通过对比一张桌子、两张桌子能坐的人数，来确定每多一张桌子多坐的人数。 一张桌子可以围坐：4×1＋2＝4＋2＝6（人） 两张桌子拼起来可以围坐：4×2＋2＝8＋2＝10（人） 三张桌子拼起来可以围坐：4×3＋2＝12＋2＝14（人） 四张桌子拼起来可以围坐：4×4＋2＝16＋2＝18（人） …… n张桌子拼起来可以围坐：4×n＋2＝（4n＋2）人 一张桌子可以围坐6个人，两张桌子拼起来可以围坐10个人，10－6＝4（人），所以每多一张桌子，可多坐 4 人。 （2）五（1）班有54人，设至少需要x张桌子，由（1）可得4x＋2＝54，解出方程，即可求出五（1）班有54人，至少需要多少张桌子。 【详解】（1）由分析可得：每多一张桌子，可多坐4人，按此规律，n张桌子可坐（4n＋2）人。 （2）解：设至少需要x张桌子。 4x＋2＝54 4x＝54－2 4x＝52 x＝52÷4 x＝13 答：五（1）班有54人，至少需要13张桌子。 10．(1)17 (2)77 (3)4n－3 【分析】（1）（2）（3）通过观察图，发现规律： 第1幅图的点数为1＋0×4＝1＋0＝1 第2幅图的点数为1＋1×4＝1＋4＝5 第3幅图的点数为1＋2×4＝1＋8＝9 第4幅图的点数为1＋3×4＝1＋12＝13 …… 第n幅图的点数为：1＋（n－1）×4＝1＋4n－4＝4n－3 通过发现的规律，算出第5幅图和第20幅图的点数是多少，据此解答。 【详解】（1）4×5－3＝20－3＝17（个） 按这个规律排下去，第5幅图的点数是17。 （2）4×20－3＝80－3＝77（个） 第20幅图的点数是77。 （3）由分析得：第幅图的点数是4n－3。 11．31 【分析】 由可知三角形表示2，圆表示3，正方形表示1。又由这些图案下面的数字可以发现图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字。根据发现的关系可知图案中，里面是圆，表示前面的数字是3，外面是正方形表示后面的数字是1；据此解答。 【详解】 通过分析可知，三角形表示2，圆表示3，正方形表示1， 图案里面的图形表示前面的数字，图案外面的图形表示后面的数字，所以表示31。 【点睛】解决此类问题可以先从组合图案中找到与图形相对应的数字，再根据图案的组合规律推算出对应的数字的排列顺序。 12．（1）1个；3个；6个；10个； （2）21个；45个； （3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个； （4）55个 【分析】从图中可知： （1）有1个三角形； 有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形； 有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形； 有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形； （2）按照这种规律画下去， 第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） （3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。 【详解】（1）1个 2＋1＝3（个） 3＋2＋1＝6（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。 （2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形； （3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：图中一共有55个三角形。 13．（1）10；14 （2）（2n＋4）人 【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。 【详解】（1）2×3＋4 ＝6＋4 ＝10（人） 2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（人） 则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。 （2）n×2＋4＝（2n＋4）人 答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。 14．(1) 1 4 9 (2) 4 8 12 (3) 25 20 81 36 【分析】（1）根据题中图形排列规律： 第1个图形是1行1列，有小正方形：1×1＝1（个）； 第2个图形是2行2列，有小正方形：2×2＝4（个）； 第3个图形是3行3列，有小正方形：3×3＝9（个）； 则第n个图形是n行n列，有小正方形：n×n＝n²（个）。 （2）通过观察可知： 第1个图形边长为1厘米，周长：1×4＝4（厘米）； 第2个图形边长为2厘米，周长：2×4＝8（厘米）； 第3个图形边长为3厘米，周长：3×4＝12（厘米）； 则第n个图形边长为n厘米，周长：n×4＝4n（厘米）。 （3）通过（1）（2）发现的规律，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）由分析可得：小正方形的个数分别是1、4、9… （2）由分析可得：大正方形的周长分别是4厘米、8厘米、12厘米… （3）由分析（1）（2）可得： 5×5＝25（个） 4×5＝20（厘米） 9×9＝81（个） 4×9＝36（厘米） 即第5个图形中的小正方形有25个，这个图形的周长是20厘米；第9个图形中的小正方形有81个，这个图形的周长是36厘米。 15．(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 16．495 【分析】任意写一个三位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差是几，三位数的黑洞就是几。 【详解】例如：576 765－567＝198 981－189＝792 792－279＝513 531－153＝378 873－378＝495 954－459＝495 954－459＝495 答：三位数的黑洞是495。 17．（1）84分；1.2分 （2）少算；50；1.2 （3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。 【分析】（1）平均数等于总数除以个数。对于这道题，要通过计算前30名和后20名的总分来求出全班的实际平均分，再与李敏的计算方法进行对比。然后根据笑笑的赋值法求出李敏计算的平均分以及差值； （2）根据奇思的数形结合可知，李敏少算了60分用少算的分数除以全班人数，即是少算的平均分； （3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。 【详解】（1）（90＋78）÷2 ＝168÷2 ＝84（分） 85.2－84＝1.2（分） 所以李敏算的平均分为84分；与实际平均分相差1.2分。 （2）从“移多补少”去想，李敏是少算6×10＝60（分），所以李敏得到的结果与全班实际的平均成绩相差60÷50＝1.2（分）。 （3）只有当前30名和后20名的平均分相等时，李敏的算法才是正确的。 18．(1) 4 5 (2) 10 11 110 【分析】（1）通过观察图形中小正方形的排列规律，发现了连续偶数相加的求和规律。 4 5 发现了连续偶数相加的求和规律：从2开始的连续n个偶数相加，其和为n×（n＋1） （2）在中，一共有10个偶数相加，然后运用发现的这个规律来计算即可。 【详解】（1）4，5 （2） ＝10×（10＋1） ＝10×11 ＝110 19．见详解 【分析】从图1看出两个数相乘可以借助长方形面积的计算方法，把每个乘数拆成两个数的和相当于把长方形的长和宽分别拆成两段，然后把长方形分割成四个小长方形，分别求出每个长方形面积＝长×宽，再相加即可。 【详解】 1＋0.25＝1.25；1＋0.2＝1.2 （1＋0.25）×（1＋0.2）＝1×1＋1×0.2＋0.25×1＋0.25×0.2＝1＋0.2＋0.25＋0.05＝1.5 由上题的思路，图2研究的是1.25×1.2 （a＋b）×（a＋b） ＝a×a＋a×b＋ a×b＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 20．第三列 【分析】观察图形可知：除去第一行，其它各行的排列都是有规律的，也就是八个数字一组，每四个数字为一行，前四个数字分别占居一二三四列的位置，后四个数字分别占居二三四五列。所以本题需要用有余数除法来解决，先计算2000－5＝1995，再用1995除以8，看余数是多少即可判断出2000应写在哪一列。 【详解】 ＝1995÷8 ＝249……3 2000应写在第三列。 答：2000应写在第三列。 【点睛】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解。 21．（1）见详解 （2）n（n－1）÷2；45 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。 【详解】（1）如下表所示： 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 10 15 （2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次； 当n＝10时，握手次数是： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。 22．不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1 【分析】根据题意可知，每次增加操作后，纸张的数量都增加了5的整数倍，纸张的数量为被5除余1的整数。据此判断即可。 【详解】2009÷5＝401……4 2009被5除余4，所以不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块。 答：不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1。 【点睛】本题考查了带余除法的灵活应用，明确纸张增加的规律是解答本题的关键。 23．不能；理由见详解 【分析】根据题意可知，每次增加操作后，长方形的个数都增加了6的整数倍，长方形的个数为被6除余1的整数。据此判断即可。 【详解】2010÷6＝335 2010恰好是6的整数倍，所以不能经过有限次操作，将正方形恰好分成2010个小长方形。 答：不能经过有限次操作，将正方形恰好分成2010个小长方形，因为2010恰好是6的整数倍。 24．（1）7；（2）11；（3）9 【分析】（1）第一次操作： A段的书的编号（从上往下）分别是：1、2、3、4； B段的书的编号（从上往下）分别是：5、6、7、8； C段的书的编号（从上往下）分别是：9、10、11、12、13； 按照第二步的顺序（从上往下）：13、4、8、12、3、7、11、2、6、10、1、5、9，第6张是7。 （2）第二次操作： A段的书的编号（从上往下）分别是：13、4、8、12； B段的书的编号（从上往下）分别是：3、7、11、2； C段的书的编号（从上往下）分别是：6、10、1、5、9； 按照第二步的顺序（从上往下）：9、12、2、5、8、11、1、4、7、10、13、3、6，第6张是11。 （3）根据（1）和（2），继续往下，得出第三次操作的第6张是1，第四次操作的第6张是13，一直算到第7次后发现规律，列出如下的表格，得出是按照7、11、1、13、9、6这样的顺序循环排列的。 1次 2次 3次 4次 5次 6次 7次 … 7 11 1 13 9 6 7 … 将6个数看成一组，365次里面有60组这样循环，余5个数，则循环里面的第五个数就是第365次操作后从上往下数第6张卡片上的编号。 【详解】（1）第1次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是7。 （2）第2次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是11。 （3）365÷6＝60（组）……5（个） 答：第365次操作后，从上往下数第6张卡片上的编号是9。 25．（1）67； （2）147 【分析】（1）对图1分析： m＝0时，就是有1个三角形时，需要3根小棒； m＝1时，就是有3个三角形时，需要7＝3＋4根小棒； m＝2时，就是有5个三角形时，需要11＝3＋4×2根小棒； …… 需要小棒的数量＝3＋4m。 对图2分析： n＝1时，就是2个正方形时，需要7根小棒； n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝7＋5根小棒； n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝7＋5×2根小棒； …… 需要小棒的数量＝7＋5（n－1）＝5n＋2。 摆成两种图形小棒的数量是一样的，则 a＝3＋4m＝5n＋2，a的值大于50，则m最小12，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝12时，n＝9.8不符合；m＝13时，n＝10.6不符合；m＝14时，n＝11.4不符合；m＝15时，n＝12.2不符合；m＝16时，n＝13符合。 （2）分析图3： p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒； p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒； p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒； …… 需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：67、87、107、127、147、167、187。 其中187和167不是3的倍数，147是3的倍数， 【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：3＋4m。 摆成正方形需要小棒的数量：5n＋2。 3＋4m＝5n＋2 当m＝16，n＝13时 3＋4×16 ＝3＋64 ＝67（根） 答：a的最小值67根。 （2）a＝3（p＋1） a的取值是：67、87、107、127、147、167、187， 其中147符合条件。 答：a的最大值147根。 【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。 26．6张 【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。 【详解】14－4＝10（人） 10÷2＝5（张） 5＋1＝6（张） 答：一共需要拼6张桌子。 27．154 【分析】根据题意可知，设第2行第1列为a，第3行第1列为2a，如下图： 据此可知，①＝（a＋97），③＝（2a＋194），②＝（2a＋③），②＝（91＋①），把①＝（a＋97）和③＝（2a＋194）代入（91＋①）＝（2a＋③）中，然后求出a的值，据此再把a的值代入（2a＋194），求出③，然后根据④＝（194＋③），求出④。 【详解】解：设第2行第1列为a，第3行第1列为2a。 [91＋（a＋97）]＝[2a＋（2a＋194）] [91＋0.5a＋48.5]＝[2a＋a＋97] [91＋0.5a＋48.5]×2＝[2a＋a＋97] ×2 91＋0.5a＋48.5＝2a＋a＋97 91＋0.5a＋48.5＝3a＋97 139.5＋0.5a＝3a＋97 139.5＋0.5a－0.5a＝3a＋97－0.5a 139.5＝2.5a＋97 139.5－97＝2.5a＋97－97 42.5＝2.5a 2.5a＝42.5 2.5a÷2.5＝42.5÷2.5 a＝17 当a＝17时， 第3行第3列为： ×（2×17＋194） ＝×2×17＋×194 ＝17＋97 ＝114 第3行第4列为： ×（194＋114） ＝×308 ＝154 答：第3行第4列应该填入的数是154。 【点睛】本题考查了数表中的规律，先找到规律，再根据规律求解，注意方程思想的运用。 28．第一行中的数排列可以是1、3、5、4、2，理由：尽可能使第一行中最大的数加的次数最多，才能使第五行的数最大；最大值是61 【分析】通过观察可知，48＝20＋28＝8＋12＋12＋16＝3＋5＋5＋7＋5＋7＋7＋9＝1＋2＋2＋3＋2＋3＋3＋4＋2＋3＋3＋4＋3＋4＋4＋5，从第一行数到第五行的数，第一行的数从左往右，依次加了1次、4次、6次、4次、1次。为使第五行的数最大，加6次的数应当是5，加4次的数是3和4，加1次的数是1和2，据此用5×6＋3×4＋4×4＋1＋2即可求出最大值。 【详解】根据分析可知， 最大值：5×6＋3×4＋4×4＋1＋2 ＝30＋12＋16＋1＋2 ＝61 第一行中的数排列可以为：，符合第五行结果为61的排列即可。 答：第一行中的数排列可以是1、3、5、4、2，理由是要尽可能使第一行中最大的数加的次数最多，才能使第五行的数最大，最大值是61。 29．（1）57；（2）177 【分析】（1）对图1分析： m＝1时，就是有2个三角形时，需要5＝1＋4根小棒； m＝2时，就是有4个三角形时，需要9＝1＋4×2根小棒； m＝3时，就是有6个三角形时，需要13＝1＋4×3根小棒； …… 需要小棒的数量＝1＋4m。 对图2分析： n＝1时，就是2个正方形时，需要7＝2＋5根小棒； n＝2时，就是4个正方形时，需要12＝2＋5×2根小棒； n＝3时，就是6个正方形时，需要17＝2＋5×3根小棒； …… 需要小棒的数量＝2＋5n。 摆成两种图形小棒的数量是一样的，则 a＝1＋4m＝2＋5n，a的值大于50，则m最小13，n最小是10，且m、n、a都是整数。当m＝13时，n＝10.2不符合；m＝14时，n＝11符合。 （2）分析图3： p＝2时，就是有2个五边形，需要小棒9根小棒； p＝4时，就是有4个五边形，需要小棒15＝3×4＋3根小棒； p＝6时，就是有6个五边形，需要小棒21＝3×6＋3根小棒； …… 需要小棒的根数＝3p＋3＝3（p＋1），即a的值是3的倍数，在满足（1）的情况下，a的取值是：57、77、97、117、137、157、177， 其中77、97、137、157不是3的倍数，57、117、177是3的倍数。 【详解】（1）摆成三角形需要小棒的数量：1＋4m。 摆成正方形需要小棒的数量：2＋5n。 1＋4m＝5n＋2 4m＝5n＋1 m＝ 当m＝14，n＝11时， 1＋4×14 ＝1＋56 ＝57（根） 答：a的最小值57根。 （2）a＝3（p＋1） a的取值是：57、77、97、117、137、157、177， 57、117、177是3的倍数，177最大。 答：a的最大值177根。 【点睛】认真观察图形，找出图形的变化规律是解题关键。 30．（1）5；9；13 （2）41；（4n＋1） （3）16间 【分析】（1）看图数一数，即可确定搭1间、2间、三间房子需要的小棒根数； （2）搭1间房子要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2间房子要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3间房子要13根小棒，13＝3×4＋1，即小棒根数＝房子数量×4＋1，据此分析； （3）房子数量＝（小棒数量－1）÷4，据此列式解答。 【详解】（1）搭1间房子要5根小棒，搭2间房子要9根小棒，搭3间房子要13根小棒。 （2）10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） n×4＋1＝（4n＋1）根 搭10间房子要41根小棒，搭n间房子要（4n＋1）根小棒。 （3）（65－1）÷4 ＝64÷4 ＝16（间） 答：如果有65根小棒可以搭16间房子。 学 科 网，让 教 学 更 高 效 ！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$