2.1二次函数（八大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.1二次函数（八大类型提分练） 类型一、二次函数的定义 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 类型二、二次函数的一般形式 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 5．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 类型三、根据二次函数的定义求参数的值 6．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 7．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 类型四、根据二次函数的定义求参数的取值范围 10．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 12．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 类型五、判断二次函数关系式 13．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 14．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 15．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 类型六、二次函数与增长率问题 16．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 类型七、二次函数与销售问题 19．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 21．（21-22九年级上·北京房山·期中）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 类型八、二次函数与面积问题 22．（2024九年级上·上海·专题练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·天津西青·期中）如图．若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长．设垂直于墙的一边为，矩形场地的面积为． (1)与的函数关系式为______，其中的取值范围是______； (2)若矩形场地的面积为．求矩形场地的长与宽． 24．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)y与x之间的函数关系式： (2)求自变量x的取值范围： (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间：若不能，说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 2．（16-17九年级·山东济宁·期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 4．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 5．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知是二次函数，则 ． 7．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若是的二次函数，则 ． 9．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 10．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 12．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是 . 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 15．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1二次函数（八大类型提分练） 类型一、二次函数的定义 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 利用二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、中，当时，不是二次函数，该选项不符合题意； B、，不是二次函数，该选项不符合题意； C、，不是二次函数，该选项不符合题意； D、，是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据定义：形如的关系式叫二次函数直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A.是二次函数，符合题意， B.不是二次函数，不符合题意， C.不是二次函数，不符合题意， D.不是二次函数，不符合题意， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北邢台·期中）对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的判断，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 对于①、②、④项，考虑项的系数是否可以取0，若可以，则不是二次函数，若不可以，则是二次函数； 对于③，对任意实数m，，由此即可解答． 【详解】解：①当，即时，，不是二次函数； ②当，即时，，它不是二次函数； ③任意实数m，，故它是二次函数； ④当，即时，，它不是二次函数． 故选：B． 类型二、二次函数的一般形式 4．（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数的一次项系数为（    ） A． B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 根据二次函数的相关概念即可得. 【详解】解：函数的一次项系数是6； 故选：D. 5．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 6．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 类型三、根据二次函数的定义求参数的值 7．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二次项系数不能等于0列式求解． 【详解】解：因为是的二次函数， 所以且， 由得， 解得， 又，即， 所以． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； (2)若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：是一次函数， 且， 解得； （2）解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 类型四、根据二次函数的定义求参数的取值范围 10．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 11．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数，根据二次项系数不能为0列不等式，即可求解 【详解】解：若这个函数是二次函数，则， 即， 解得且． 12．（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值； （2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：函数解析式为：， 当时，， 点不在该二次函数图象上. 类型五、判断二次函数关系式 13．（21-22九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，．动点M，N分别从A，点M从点A开始沿边向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（　　） A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，二次函数．熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键． 根据题意分别求出y与t，S与t满足的函数关系式，然后判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴y是t的一次函数，S是t的二次函数， 故选：D． 14．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 15．（2023·山东淄博·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车匀速从A地行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可. 【详解】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小，故①符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是①②． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决． 类型六、二次函数与增长率问题 16．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得 ， 故选：B． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 类型七、二次函数与销售问题 19．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 20．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键． 设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量，即可得出答案． 【详解】解：设每件电子产品售价为元，商家每天的利润为元， 则每件盈利元，每天可销售件， 根据题意得：， 故选：D． 21．（21-22九年级上·北京房山·期中）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 类型八、二次函数与面积问题 22．（2024九年级上·上海·专题练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 23．（24-25九年级上·天津西青·期中）如图．若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长．设垂直于墙的一边为，矩形场地的面积为． (1)与的函数关系式为______，其中的取值范围是______； (2)若矩形场地的面积为．求矩形场地的长与宽． 【答案】(1)， (2)长为，宽为 【分析】（）根据矩形的面积公式即可得到与的函数关系式，再根据题意列出不等式组即可求出的取值范围； （）把代入函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的实际应用，求出二次函数解析式及自变量的取值范围，根据题意正确求出二次函数解析式是解题的关键 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴，， 答：矩形的长为，宽为． 24．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)y与x之间的函数关系式： (2)求自变量x的取值范围： (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间：若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（1）的函数建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ，． ． （2）解：，， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在自变量x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 二、解答题 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 2．（16-17九年级·山东济宁·期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 3．（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 4．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：① 是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 5．（2024·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数式子，熟悉二次函数式子的一般式是解题的关键． 根据二次函数式子的一般形式列式运算即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）若是的二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 9．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 11．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 12．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是 . 【答案】 【分析】先证明，根据线段的和差可得，，再利相似三角形的性质可得关于的函数解析式，然后根据的长即可得的取值范围。 【详解】解：， ， ∵，， ， ， ，，，， ，， 化简整理得： 故答案为：。 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，列函数关系，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 14．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 15．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 16．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，用长为的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃． (1)设矩形的一边为，面积为，求关于的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)并写出自变量的取值范围； (4)当时，所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）篱笆只有两边，且其和为18，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可； （2）根据二次函数定义可得答案； （3）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可； （4）把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为， 则； 即； （2）解：是二次函数； （3）解：根据实际意义，得， 解得：． ∴自变量的取值范围为 （4）解：把代入，得 ， 答：当时，所围苗圃的面积是． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$