07 数列求和的常用方法-《中学生数理化》高考数学2024年11月刊

2024-11-15
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中学生数理化高中版编辑部
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 教案-讲义
知识点 数列
使用场景 高考复习
学年 2024-2025
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 588 KB
发布时间 2024-11-15
更新时间 2024-11-15
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高考数学
审核时间 2024-11-15
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来源 学科网

内容正文:

􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶 1 a1+ 1 2 = 2 5 为首项,1为公差的等差数列,所 以 1 an+ 1 2 = 2 5+ (n-1)·1=n- 3 5 ,所以an = 13-5n 10n-6 。 (2)由特征方程 x= 7x-2 x+4 ,求得数列 {an}的 不 动 点 为 1 和 2,则 an+1-1 an+1-2 = 7an-2 an+4 -1 7an-2 an+4 -2 = 6 5 ·an-1 an-2 ,所以 an-1 an-2 是首项 为 a1-1 a1-2 =2,公比为 6 5 的等比数列,所以an-1 an-2 =2× 65 n-1 ,解得an= 4×6n-1-5n-1 2×6n-1-5n-1 ,n∈N*。 总结提炼:设f(x)= ax+b cx+d (c≠0,ad- bc≠0),数列{an}满足an+1=f(an),a1 ≠ f(a1)。若f(x)有两个相异的不动点p,q (此时通过不动点法解方程f(x)=x,即得两 个不动点p,q),则 an+1-p an+1-q =k· an-p an-q ,此处 k= a-pc a-qc 。 总之,在分析与解决数列的通项公式时, 除了本文所提到的几种常见的切入技巧,还 要注意回归数列的定义与数列的本质,综合 应用数列的基本性质,全面提升抽象概括能 力和推理论证能力。 (责任编辑 王福华) ■江苏省昆山市柏庐高级中学 袁 庆 数列求和是数列部分的一个重要内容, 它往往是数列知识的综合体现。在熟练掌握 等差数列和等比数列的求和方法的基础上, 对于一 般 数 列 的 求 和,主 要 有 两 种 思 想: (1)转化思想,即将一般数列设法转化为等差 或等比数列,这一思想方法往往通过通项分 解或错位相消来完成;(2)不能转化为等差或 等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位 相减法、倒序相加法等来求和。 一、错位相减法 例 1 已知数列{an}的首项a1=3,其 前n项和为Sn,且Sn+1=3Sn+2n+3,n∈ N*。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n 项和 Tn。 解析:(1)已知Sn+1=3Sn+2n+3,所以 当n≥2时,Sn=3Sn-1+2n+1,两式相减得 Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1)+2,即an+1=3an+ 2,从而an+1+1=3(an+1)。 当n=1时,S2=3S1+5,所以a1+a2= 3a1+5,又a1=3,可得a2=11,从而a2+1= 3(a1+1),故总有an+1+1=3(an+1),n∈ N*。 由a1=3,可知an+1≠0,所以 an+1+1 an+1 =3,即{an+1}是以a1+1=4为首项,3为公 比的等比数列,所以an+1=4×3n-1,即an= 4×3n-1-1。 (2)由(1)知,an=4×3n-1-1,则bn= nan=4n×3n-1-n。 设cn=n×3n-1,{cn}的前n 项和为An, 则An=1+2×3+3×32+…n×3n-1,3An= 1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n ×3n。所以-2An=An-3An=(1+3+32+ …+3n-1)-n×3n= 1-2n 2 ×3 n- 1 2 ,故An= 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 2n-1 4 ×3 n+ 1 4 。 所以Tn=b1+b2+…+bn=4An-(1+ 2+ … +n)=4× 2n-14 ×3 n+ 1 4 - n1+n 2 = (2n-1)×3n+1- n(1+n) 2 。 点评:在求解形如数列{an·bn}的求和 问题时,往往借助错位相减法来分析与处理。 其中,第二步“乘”的公比为等比数列{bn}的 公比q。此 类 问 题 的 答 案 有 时 不 是 那 么 漂 亮、简洁,同学们若没有十足把握,往往可以 通过特殊值加以验证。 二、裂项相消法 例 2 已知数列{an}的前n 项和为 Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数 列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若an>0,设bn=log2(3an+3),求数 列 1 bnbn+1 的前n项和。 分析:(1)借助{an+1}是等比数列加以 转化,通过求和公式的应用与变形,进而得以 确定公比的值,为进一步求解对应的通项公 式奠定基础;(2)由(1)的结论来确定数列 {bn}的通项表达式,对数列 1 bnbn+1 的通项进 行裂项处理,通过相消法进行数列求和。 解:(1)设等比数列{an+1}的公比为q, 其前n项和为Tn。 因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4= 20,易知q≠1,所以T2= (a1+1)(1-q2) 1-q = 4,T4= (a1+1)(1-q4) 1-q =20,两 式 相 除 得 1+q2=5,解得q=±2。 当q=2时,a1= 1 3 ,所以an+1= 4 3× 2n-1= 2n+1 3 ; 当q=-2时,a1=-5,所以an+1= (-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1。 综 上 可 得,an = 2n+1 3 -1 ,或 an = -(-2)n+1-1。 (2)因为an>0,所以an= 2n+1 3 -1 ,所以 bn=log2(3an+3)=n+1,所 以 1 bnbn+1 = 1 (n+1)(n+2)= 1 n+1- 1 n+2 。 所 以 数 列 1 bnbn+1 的 前 n 项 和 为 1 2- 1 3 + 13-14 +…+ 1n+1- 1n+2 = 1 2- 1 n+2= n 2(n+2) 。 点评:涉及一些分式、根式或对数式等的 数列求和问题时,经常借助通项公式的结构 特征,采用裂项相消法进行求和处理。特别 是分式的求和问题,通过分式的变形与转化, 合理作差,为进一步求和过程中的相消处理 提供条件,关键在于把握相消处理时消去的 相关项的规律,不要混淆。 三、分组求和法 例 3 已知等差数列{an}满足a5=9, a2+a6=14。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=an+qan (q>0),求数列{bn} 的前n项和Sn。 分析:(1)设出等差数列的公差,利用题 设条件构建方程组,通过基本量法及等差数 列的通项公式来分析与求解;(2)通过确定数 列{bn}的通项表达式,利用公比的分类讨论, 并结合通项中的分组处理,通过等差数列与 等比数列的求和公式来分析与求解。 解:(1)设数列{an}的公差为 d,则有 a5=9, a2+a6=14, 即 a1+4d=9 , 2a1+6d=14, 解得 a1=1 , d=2。 故数列{an}的通项公式为an=2n-1。 (2)由an=2n-1得bn=2n-1+q2n-1。 当q>0且q≠1时,Sn=[1+3+5+… +(2n-1)]+(q1+q3+q5+…+q2n-1)= n2+q (1-q2n) 1-q2 ; 当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1)。 91 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月 综上可得,数列{bn}的前n 项和Sn= n(n+1),q=1, n2+q (1-q2n) 1-q2 ,q>0且q≠1。 点评:在处理一些数列求和问题时,往往 借助数列通项公式的结构特征,从中加以合 理分组,分别确定其满足等差数列、等比数列 的部分,借助分组求和法,将复杂问题简单 化,转化为典型的等差数列或等比数列的求 和问题来分析与处理。 四、分段函数法 例 4 已知数列{an},{bn}满足a1= b1=1,an+1=bn+2,bn+1=2an。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn= an,an≤bn, bn,an>bn, 求 {cn}的前n项和Sn。 分析:(1)根据递推关系式得到相应的关 系式,结合等比数列的定义对n 分奇偶两种 情况讨论得解;(2)先求出n=1,n=2时对应 的前n项和Sn,再讨论当n≥3,且n为奇数, 以及当n≥4,且n 为偶数时,这两种不同情 况来确定对应的前n 项和Sn,结合分段数列 的形式写出结果即可。 解:(1)根据题意可知,a2=b1+2=3, b2=2a1=2。 又an+2=bn+1+2=2an+2,所以an+2+ 2=2(an+2),即 an+2+2 an+2 =2。 当n 为奇数时,首项为a1+2=3,所以 an+2=3×2 n-1 2 ,即an=3×2 n-1 2 -2; 当n 为偶数时,首项为a2+2=5,所以 an+2=5×2 n-2 2 ,即an=5×2 n-2 2 -2。 所以an= 3×2 n-1 2 -2,n为奇数, 5×2 n-2 2 -2,n为偶数。 当n为奇数时,bn=an+1-2=5×2 n-1 2 - 4;当n为偶数时,bn=an+1-2=3×2 n 2-4。 所以bn= 5×2 n-1 2 -4,n为奇数, 3×2 n 2-4,n为偶数。 (2)由(1)可知,当n 为奇数时,若an≤ bn,即3×2 n-1 2 -2≤5×2 n-1 2 -4,解得n≥1; 当n为偶数时,若an≤bn,即5×2 n-2 2 - 2≤3×2 n 2-4,解得n≥4。 所以c1=a1=b1,c2=b2。 当n≥3时,cn=an,所以S1=c1=a1= 1,S2=c1+c2=a1+b2=3。 当n≥3,且n为奇数时,Sn=S2+(a1+ a2+…+an)-a1-a2=3+(3×20-2+5× 20-2+3×21-2+5×21-2+…+5×2 n-3 2 -2+3×2 n-1 2 -2)-4=8×(20+21+…+ 2 n-3 2 )+3×2 n-1 2 -2n-1=8× 1-2 n-3 2 +1 1-2 +3× 2 n-1 2 -2n-1=11×2 n-1 2 -2n-9。 当n≥4,且n为偶数时,Sn=S2+(a1+ a2+…+an)-a1-a2=3+(3×20-2+5× 20-2+3×21-2+5×21-2+…+3×2 n-2 2 -2+5×2 n-2 2 -2)-4=8×(20+21+…+ 2 n-2 2 )-2n-1=8× 1-2 n-2 2 +1 1-2 -2n-1=2 n+6 2 -2n-9。 综上可得,数列{cn}的前n 项和Sn= 1,n=1, 3,n=2, 11×2 n-1 2 -2n-9,n≥3且n为奇数, 2 n+6 2 -2n-9,n≥4且n为偶数。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 点评:分段数列问题有时在条件中出现 “分段”形式,有时在结论中出现“分段”形式, 经常与数列中的奇偶项问题加以交汇融合。 分段数列问题一般分奇数项、偶数项两种常 见方式来表示,也可以分n=1,n=2,以及数 列其他项的情况来表示,在具体解题过程中, 同学们要合理正确加以分段处理与表示。 总之,数列求和的技巧与方法虽然各有 特色,但只要了解相关数列通项的特征,合理 地化归与转化,掌握数列求和的一些常用方 法,数列求和问题就能迎刃而解。 (责任编辑 王福华) 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年11月

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