21 指数函数与对数数常见典壁考题赏析-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■张文伟 题型1:利用整体代换法求分数指数幂 整体代换法是数学变形与计算的常用方 法,分析条件与结论的结构特点,灵活运用恒 等式是求值的关键。利用整体代换法解决分 数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公 式及变形公式。 例1 已知x+x-1=7,求下列各式的 值。 (1)x2+x-2;(2)x 1 2+x -12;(3)x2-x-2。 解:(1)由x+x-1=7,两边平方得x2+ 2+x-2=49,所以x2+x-2=47。 (2)设m=x 1 2+x -12,两边平方得m2= x+x-1+2=7+2=9。因为 m>0,所以 m=3,即x 1 2+x -12=3。 (3)设n=x 1 2-x -12,两边平方得n2= x+x-1-2=7-2=5。因为n∈R,所以n= ± 5,即x 1 2-x -12=± 5。所以x-x-1= x 1 2+x -12 x 1 2-x -12 = ±3 5。 所 以 x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±215。 跟踪训练 1:已 知 x 1 2 +x -12 = 5,则 x2+x-2= 。 提示:将 x 1 2 +x -12 = 5,两边平方得 x+x-1+2=5,即x+x-1=3,两边再平方得 x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7。 题型2:指数函数的求值问题 求指数函数的函数值的关键是求出指数 函数的解析式。求指数函数的解析式时,一 般采用待定系数法,即先设出函数的解析式, 然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从 而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的 概念是解决这类问题的关键。 例2 函数f(x)= 1 2a-3 ·ax 是指 数函数,则f 1 2 的值为( )。 A.2 B.-2 C.-22 D.22 解:因为函数f(x)是指数函数,所以 1 2a-3=1 ,即a=8,所以函数f(x)=8x,所 以f 1 2 =8 1 2=22。应选D。 跟踪训练2:指数函数y=f(x)满足 f(-2)= 1 9 ,那么f(2)·f(1)等于( )。 A.-3 B.9 C.27 D.81 提示:设指数函数y=f(x)=ax(a>0, 且a≠1),则a-2= 1 9 ,解得a=3,所以指数 函数的解析式为y=f(x)=3x。故f(2)· f(1)=32×31=27。应选C。 题型3:与指数函数有关的定义域(值 域)问题 形如 y=af(x)的 函 数 的 定 义 域 就 是 f(x)的定义域;求形如y=af(x)的函数的值 域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au 的单调性求出y=af(x)的值域,若a的取值范 围不确定,则需对a进行分类讨论。 例3 求下列函数的定义域和值域。 (1)y=32x+1;(2)y=23-x;(3)y=2 1 x-1。 解:(1)易得此函数的定义域为x∈R。 因为2x+1∈R,所以函数y=32x+1 的值域为 (0,+∞)。 (2)易得此函数的定义域为x∈R。因为 3-x∈R,所以函数y=23-x 的值域为(0, +∞)。 (3)由x-1≠0,可得x≠1,所以此函数 的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。因 为 1 x-1≠0 ,2 1 x-1≠1。所以此函数的值域为(0, 1)∪(1,+∞)。 24 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 跟踪训练3:(1)函数y= 1 2 x2-2x 的值 域为 。 (2)求函数y= 3x 1+3x 的定义域和值域。 提示:(1)此函数的定义域为 R。因为 x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以 12 x2-2x ≤ 1 2 -1 =2。又因为 12 x2-2x >0,所以此函 数的值域为(0,2]。 (2)此函数的定义域为 R。因为 y= 3x 1+3x = (1+3x)-1 1+3x =1- 1 1+3x ,又3x>0, 所以1+3x >1,所以0< 1 1+3x <1,所以 -1<- 1 1+3x <0,所以0<1- 1 1+3x <1,所 以此函数的值域为(0,1)。 题型4:指数函数图像与性质的应用 解答函数问题,要重视函数性质的应用, 如果性质应用不充分,会导致解题步骤烦琐 或无法求解。一元二次不等式恒成立问题, 可结合相应的一元二次函数的图像,通过等 价转化求解。一元二次不等式恒成立问题, 还可以利用分离参数,转化为最值问题求解。 例4 已知定义域为 R的函数f(x)= -2x+a 2x+1 是奇函数。 (1)判断并证明该函数在定义域 R上的 单调性。 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t) +f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范 围。 解:(1)由题意得f(0)= -1+a 2 =0 ,解 得a=1。所以f(x)= 1-2x 1+2x ,该函数是减函 数,证明如下。 任取x1,x2∈R,且x1<x2。 f(x2)-f(x1)= 1-2x2 1+2x2 - 1-2x1 1+2x1 = 2(2x1-2x2) (1+2x1)(1+2x2) 。因为x1<x2,所以0< 2x1<2x2,所以2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2) >0,所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)< f(x1),所以此函数在定义域R上是减函数。 (2)由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,可得 f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因为f(x)是奇 函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2)。因为 f(x)是减函数,所以t2-2t>k-2t2,即 3t2-2t-k>0对任意t∈R 恒成立,所以 Δ=4+12k<0,可得k<- 1 3 ,所以实数k∈ - 1 3 ,+∞ 。 跟踪训练4:设a>0,函数f(x)= 4x a+ a 4x 是定义域为R的偶函数。 (1)求实数a的值。 (2)求f(x)在[0,1]上的值域。 提示:(1)由f(x)=f(-x),可得 4x a+ a 4x = 4-x a + a 4-x ,即4x 1a-a +14x a-1a = 0,所以 4x- 1 4x 1a-a =0。根据题意得 1 a-a=0 。又a>0,所以a=1。 (2)由a=1可知,函数f(x)=4x+ 1 4x 。 设任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=4 x1+ 1 4x1 -4x2- 1 4x2 =(4x1 -4x2)1- 1 4 x1+x2 。因为0≤x1<x2,所以 4x1<4x2,所以4x1-4x2<0。因为x1+x2> 0,所以4 x1+x2>1,所以1- 1 4x1 +x2 >0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增。所以函 数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=4+ 1 4= 17 4 ,最小值为f(0)=1+1=2。故函数 f(x)在[0,1]上的值域为 2, 17 4 。 题型5:对数的求值问题 对数的求值问题,应根据对数的两个结 34 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 论loga1=0和loga =1(a>0且a≠1),进 行变形求解。若已知对数值求真数,则可将 其化为指数式运算。已知多重对数式的值, 求参数的值,应从外到内,逐步脱去“log”,再 求解。 例5 (1)求下列各式的值。 log981= ;log0.41= ;lne2 = 。 (2)求下列各式中x 的值。 log2(log2x)=0;log3(lgx)=1。 解:(1)(方法1)设log981=x,则9x= 81=92,所以x=2,即log981=2。 设log0.41=x,则0.4x=1=0.40,所以 x=0,即log0.41=0。 设lne2=x,则ex=e2,所以x=2,即 lne2=2。 (方法2)log981=log9 2=2。 log0.41=0。 lne2=2。 (2)因为log2(log2x)=0,所以log2x= 20=1,所以x=21=2。 因为log3(lgx)=1,所以lgx=31=3, 所以x=103=1000。 跟踪训练5:求下列各式中x 的值。 (1)x=log28;(2)x=lne;(3)x=8 log86; (4)log8[log7(log2x)]=0。 提示:(1)x=log28=log2 3=3。 (2)x=lne=1。 (3)x=8log8 6 =6。 (4)由题意可知,log7(log2x)=1,所以 log2x=7,所以x=27=128。 题型6:利用对数式与指数式互化求值 在对数式、指数式的互化运算中,要注意 灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意 条件和结论之间的关系,才能进行正确的相 互转化。 例6 (1)设3a=4b=36,求 2 a+ 1 b 的 值。 (2)已知2x=3y=5z,且 1 x+ 1 y + 1 z=1 , 求x,y,z的值。 解:(1)(方法1)由3a=4b=36,可得a= log3 6,b=log436。由 换 底 公 式 得 1 a = log363, 1 b=log364 ,所以2 a+ 1 b=2log363+ log364=log3636=1。 (方法2)由3a=4b=36,两边取以6为底 的对数得alog63=blog64=log636=2,所以 2 a=log63 ,1 b= 1 2log64=log62 ,所以2 a+ 1 b =log63+log62=log6 =1。 (2)令2x=3y=5z=k(k>0),则x= log2k,y=log3k,z=log5k,所以 1 x=logk2 , 1 y =logk3, 1 z=logk5 。由1 x+ 1 y + 1 z=1 ,可 得logk2+logk3+logk5=logk30=1,所以 k=30。故x=log230=1+log215,y=log3 0 =1+log310,z=log530=1+log56。 跟踪训练6:已知3a=5b=c,且 1 a+ 1 b= 2,求c的值。 提示:因为3a=5b=c,所以c>0,所以 a=log3c,b=log5c,所 以 1 a =logc3 ,1 b = logc5,所以 1 a+ 1 b=logc15 。由logc15=2, 可得c2=15,即c= 15(负值舍去)。故c= 15。 题型7:对数与指数的实际应用问题 解决与对数相关的实际应用问题,先理 顺题目中的数量关系,再将相关数据代入,最 后利用对数运算性质、换底公式进行计算。 解决与指数相关的实际应用问题,利用取对 数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的 指数运算。 例7 某化工厂生产一种溶液,按市场 需求,杂质含量不能超过0.1%。若初始时 含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少 1 3 ,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的 次数为( )。(参考数据:lg2≈0.3010, lg3≈0.4771) A.6 B.7 C.8 D.9 44 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 解:设至少需要过滤n 次,则0.02× 1- 1 3 n =0.001,即 23 n = 1 20 ,所以nlg 2 3 =lg 1 20 ,即n(lg2-lg3)=-lg20,可得n= -lg(10×2) lg2-lg3 = 1+lg2 lg3-lg2 ≈7.4。又n∈N,所 以n=8,所以至少过滤8次才能使产品达到 市场要求。应选C。 跟踪训练7:在不考虑空气阻力的情况 下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的 质量 M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(单位:kg)满足ev= 1+ M m 2000 (e为自然 对数的底数,ln3≈1.099)。当燃料质量 M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时,求火箭 的最大速度。 提示:由 题 意 得 v=ln 1+ M m 2000 = 2000ln1+ M m ,且 M=2m,所以v=2000 ×ln3≈2000×1.099=2198(m/s)。故当 燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时,火箭的 最大速度约为2198m/s。 题型8:与对数函数有关的综合问题 求对数型函数的值域,一般是先求真数 的范围,再利用对数函数的单调性求解。 例8 已知函数f(x)=log2(x+1)-2。 (1)若f(x)>0,求x 的取值范围。 (2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域。 解:(1)由题意得log2(x+1)-2>0,所 以log2(x+1)>2,所以x+1>4,所以x> 3,所以x 的取值范围是(3,+∞)。 (2)因为x∈(-1,3],所以x+1∈(0, 4],所以log2(x+1)∈(-∞,2],所以log2(x +1)-2∈(-∞,0],即函数f(x)的值域为 (-∞,0]。 跟踪训练8:已知函数f(x)=ln(ax+ 1)+ln(x-1)的图像经过点(3,3ln2)。 (1)求a的值及f(x)的定义域。 (2)求关于x 的不等式f(x)≤ln(2x)的 解集。 提示:(1)由题意得ln(3a+1)+ln(3- 1)=3ln2,即ln(3a+1)=2ln2,所以3a+ 1=4,解得a=1。 由a=1,可得函数f(x)=ln(x+1)+ ln(x-1)。由 x+1>0, x-1>0, 解得x>1,所以函 数f(x)的定义域为(1,+∞)。 (2)由(1)得f(x)=ln(x+1)+ln(x- 1)=ln(x2-1),x>1。不等 式 f(x)≤ ln(2x)可化为ln(x2-1)≤ln(2x)。因为 y=lnx 在 (0,+ ∞)上 是 增 函 数,所 以 0<x2-1≤2x, x>1, 解得1<x≤1+ 2。 故不等式f(x)≤ln(2x)的解集为{x| 1<x≤1+ 2}。 题型9:互为反函数的函数性质 同底数的指数函数与对数函数互为反函 数。互为反函数的两个函数的定义域与值域 互换,互为反函数的两个函数的图像关于直 线y=x 对称。 例9 若函数y=f(x)是函数y=2x 的 反函数,则f[f(2)]的值为( )。 A.16 B.0 C.1 D.2 解:函数y=2x 的反函数是y=log2x,即 f(x)=log2x。所以f[f(2)]=f(log2 )= f(1)=log21=0。应选B。 跟踪训练9:函数y=log3x 1 3≤x≤81 的 反函数的定义域为( )。 A.(0,+∞) B.13 ,81 C.(1,4) D.[-1,4] 提示:由 y=log3x 1 3≤x≤81 ,可知 y∈[-1,4],所以反函数的定义域为x∈ [-1,4]。应选D。 题型10:指数型函数模型 在实际问题中,有关人口增长、银行复 利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型 函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+ p)x(其中 N 为基础数,p 为增长率,x 为时 间)的形式。 例10 习近平总书记提出“绿水青山就 是金山银山”的重要理念,说明呵护地球,人 人有责。某省为响应该理念,计划每年都增 54 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 长相同百分比的绿化面积,且3年时间绿化 面积增长4.5%(参考数据:31045≈10.15, lg1015≈3.006,lg2≈0.301,lg3≈0.477)。 试求: (1)每年绿化面积的增长率。 (2)按此增长率,若2022年年初时,该省 的绿化面积是提出该理念时的 9 8 倍,则习近 平总书记最迟是哪一年首次提出该理念的? 解:(1)设每年绿化面积的增长率为p, 则(1+p)3=1.045,所以p= 3 1045 1000-1≈ 0.015,所 以 每 年 绿 化 面 积 的 增 长 率 约 为 1.5%。 (2)设经过n 年后该省的绿化面积是提 出该理念时的 9 8 倍,则1.015n= 9 8 ,所以n= lg 9 8 lg1.015 = 2lg3-3lg2 lg 1015 1000 = 2lg3-3lg2 lg1015-3 ≈8.5。 取n=9,而2022-9=2013,所以习近平总 书记最迟在2013年首次提出该理念。 跟踪训练10:公司为激励创新,计划逐 年加大研发资金投入。若该公司2020年全 年投入研发资金130万元,在此基础上,每年 投入的研发资金比上一年增长12%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过200万元的 年份是( )。(参考数据:lg1.12≈0.05, lg1.3≈0.11,lg2≈0.3) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 提示:设x 年后研发资金开始超过200 万元,所 以 130(1+12%)x >200,所 以 1.12x> 2 1.3 ,所以x>log1.12 2 1.3 ,所以x> lg2-lg1.3 lg1.12 ≈3.8,所以x>3.8。 由x>3.8可知,2024年研发资金开始 超过200万元。应选B。 题型11:对数型函数模型 有关对数型函数的应用题一般都会给出 函数的解析式,然后根据实际问题求解。对 数型函数模型求解策略:根据实际情况求出 函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中 提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值 回答其实际意义。 例11 5G技术的数学原理之一便是著 名的香农公式:C=Wlog2 1+ S N 。它表示: 在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率 C 取决于信道带宽W、信道内信号的平均功 率S,信道内部的高斯噪声功率 N 的大小, 其中 S N 叫作信噪比。按照香农公式,若不改 变信道带宽 W,而将信噪比 S N 从1000提升 至2000,则C 大约增加了( )。 A.10% B.30% C.50% D.100% 解:当S N=1000 时,可得C=Wlog2(1+ 1000),当 S N=2000 时,可得C=Wlog2(1+ 2000 )。 结 合 题 意 可 得, Wlog2(1+2000)-Wlog2(1+1000) Wlog2(1+1000) = log2 001 log21001 -1≈ 1+log21000 log21000 -1= 1 3lg2 。 由 1 4=lg10 1 4<lg2<lg10 1 3= 1 3 ,结合 选项分析得 1 3lg2≈0.1 。所以将信噪比S N 从 1000提升至2000,C 大约增加了10%。应 选A。 跟踪训练11:生物学家采集了一些动物 体重和脉搏率对应的数据,并经过研究得到 体重和脉搏率的对数型关系:lnf=lnk- lnW 3 ,其中f 是脉搏率(心跳次数/min),体 重为W(g),k为正的常数,则体重为300g的 豚鼠和体重为8100g的小狗的脉搏率之比 为( )。 A. 3 2 B. 4 3 C.3 D.27 提示:已知lnf=lnk- lnW 3 ,所以当 W=300(g)时,可得lnf1= 3lnk-ln300 3 ,即 64 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 lnf31=lnk3-ln300,所以f31= k3 300 。当W= 8100(g)时,可得lnf2= 3lnk-ln8100 3 ,即 lnf32=lnk3-ln8100,所以f32= k3 8100 。 所以 f31 f32 = k3 300 k3 8100 =27,即 f1 f2 =3,所以体 重为300g的豚鼠和体重为8100g的小狗的 脉搏率之比为3。应选C。 题型12:函数的零点所在的区间问题 利用函数的零点存在定理判断零点所在 的区间:先看函数y=f(x)在区间[a,b]上 的图像是否连续,再看是否有f(a)·f(b) <0,若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在 区间(a,b)内必有零点。 例12 (多选题)若函数f(x)的图像在 R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0, f(2)>0,则下列说法错误的是( )。 A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在 区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点, 在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在 区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在 区间(1,2)上一定有零点 解:由题意知f(0)·f(1)<0。根据函 数零点存在定理可得,f(x)在区间(0,1)上 一定有零点。又f(1)·f(2)>0,所以f(x) 在区间(1,2)上无法判断,即可能有零点,也 可能没有零点。应选ABD。 跟踪训练12:函数f(x)=lgx- 1 x 的零 点所在的区间是( )。 A.(0,1) B.(1,10) C.(10,100) D.(100,+∞) 提示:函数f(x)的定义域为(0,+∞), 且f(x)在定义域内单调递增。因为f(1)= -1<0,f(10)=1- 1 10>0 ,所以在(1,10)内 函数f(x)存在零点。应选B。 题型13:判断函数零点的个数 判断函数零点个数的三种方法:利用方 程,转化为解方程,有几个不同的实数解就有 几个零点;利用单调性,结合函数零点存在定 理,可判断y=f(x)在(a,b)内零点的个数; 转化为两个函数图像的交点个数问题。 例13 判断下列函数的零点个数。 (1)函数f(x)=x2- 3 4x+ 5 8 。 (2)函数f(x)=lnx+x2-3。 解:(1)由f(x)=0,即x2- 3 4x+ 5 8= 0,可得Δ= 34 2 -4× 5 8=- 31 16<0 ,所以方 程x2- 3 4x+ 5 8=0 没有实数根,即函数 f(x)的零点个数为0。 (2)(方法1)函数f(x)对应的方程为 lnx+x2-3=0,所以原函数的零点个数即 为函数y=lnx 与y=3-x2 的图像的交点 个数。在同一平面直角坐标系中,画出两函 数的图像(图略)。由图像知,函数y=3-x2 与y=lnx 的图像只有一个交点,所以方程 lnx+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)= lnx+x2-3的零点个数为1。 (方法2)因为f(1)=ln1+12-3=-2 <0,f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,所以 f(1)·f(2)<0。因为f(x)=lnx+x2-3 的图像在[1,2]上是连续的,所以函数f(x) 在(1,2)上必有零点。又f(x)在(0,+∞)上 单调递增,所以只有一个零点,即函数f(x) 的零点个数为1。 跟 踪 训 练 13:已 知 函 数 f (x)= kx+2,x≤0, lnx,x>0, 若k>0,则函数y=|f(x)| -1的零点个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 提示:令 y=|f(x)|-1=0,可 得 |f(x)|=1,即f(x)=1或f(x)=-1。当 x>0时,由lnx=1或lnx=-1,可得x=e 或x= 1 e ;当x≤0时,由kx+2=1或kx+ 2=-1,可得x=- 1 k<0 或x=- 3 k<0 。 74 经典题突破方法 高一数学 2024年11月 所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4。 应选D。 题型14:利用函数的零点求参数的取值 范围 已知函数有零点(方程有根)求参数值 (取值范围)的三种常用方法:直接法,先解方 程得到方程的根,再通过解不等式确定参数 范围;分离参数法,将参数分离,转化成求函 数的值域问题;数形结合法,先对解析式变 形,构造两个函数,再在同一平面直角坐标系 中画出两个函数的图像,利用数形结合的方 法求解。 例14 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个零点0,1,x0,且x0∈(1,2),则a的取 值范围是( )。 A.(-2,0) B.(1,2) C.(2,3) D.(-3,-2) 解:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个零点0,1,x0,把x=0和x=1代入方 程f(x)=0得 f(0)=c=0, f(1)=1+a+b+c=0, 解得 c=0, a+b=-1, 所以f(x)=x3+ax2+(-1- a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1- a。又x0∈(1,2),所以1<-1-a<2,解得 -3<a<-2。应选D。 跟踪训练14:若方程xlg(x+2)=1的 实数根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k等于 ( )。 A.-2 B.1 C.-2或1 D.0 提示:由题意知x≠0,所以原方程可化 为lg(x+2)= 1 x 。在同一平面直角坐标系 中,画出函数y=lg(x+2)与y= 1 x 的图像, 如图1所示。 图1 由图可知,原方程有两个根(两函数图像有 两个交点),一个在区间(-2,-1)上,一个在区 间(1,2)上,所以k=-2或k=1。应选C。 已知关于x 的方程x2+2(m-1)x+ 2m+6=0。 (1)若方程有两个实根,且一个比2大, 一个比2小,求实数m 的取值范围。 (2)若方程有两个实根α,β,且满足0< α<1<β<4,求实数m 的取值范围。 提示:(1)设f(x)=x2+2(m-1)x+ 2m+6。由题意可得函数f(x)的大致图像, 如图2所示。 图2 由图2得f(2)<0,即4+4(m-1)+ 2m+26<0,解得m<-1,所以实数m 的取 值范围为(-∞,-1)。 (2)由题意可得f(x)的大致图像,如图 3所示。 图3 由 图 3 得 f(0)=2m+6>0, f(1)=4m+5<0, f(4)=10m+14>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 - 7 5<m<- 5 4 ,即为实数m 的取值范围。 说明:本文依托于2024年度河南省教育 资源保障研究一般课题“人工智能助教高中 数学实践研究”(课题编号:2024JZB024)。 作者单位:河南省开封高中 (责任编辑 郭正华) 84 经典题突破方法 高一数学 2024年11月