17 指数函数与对数函数问题求解中的“误区警示”-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■刘 强 指数函数与对数函数是两类重要的函 数,涉及这两类函数问题的解题方法灵活多 样,初学者常常会犯这样或那样的错误。下 面就指数函数与对数函数问题求解中的思维 误区进行剖析和警示,希望对同学们的学习 有所帮助。 误区1:忽视指数函数定义中的隐含条件 例1 函数f(x)=(a2-3a+3)·ax 为 指数函数,则实数a= 。 错解:因为f(x)=(a2-3a+3)·ax 为 指数函数,所以a2-3a+3=1,解得a=1或 a=2。 剖析:在指数函数y=ax(x∈R)中,其 中a>0且a≠1,题中忽视了a的取值范围, 导致错解。因为f(x)=(a2-3a+3)·ax 为 指 数 函 数,所 以 a2-3a+3=1, a>0,a≠1, 解 得 a=1或a=2, a>0且a≠1, 所以a=2。 警示:指数函数y=ax(a>0且a≠1) 中,a 为常数,x 为自变量,ax 前面的系数为 1,注意和幂函数y=xα 的区别。 误区2:忽视指数函数中对底数的讨论 例2 若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在 [-1,2]上的最大值为4,最小值为 m,且函 数g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函 数,则a= ,m= 。 错解:若a>1,则a-1=m,a2=4,解得 a=2,m= 1 2 ;若0<a<1,则a-1=4,a2= m,解得a= 1 4 ,m= 1 16 。综上所述,a=2或 a= 1 4 ,m= 1 2 或m= 1 16 。 剖析:上述解法忽视了条件“g(x)在[0, +∞)上是增函数”,对求得的结果未进行检 验。因为g(x)在[0,+∞)上是增函数,所以 1-4m>0,即m< 1 4 。 当a>1时,函数f(x)在[-1,2]上单调 递增,其最小值为1 a=m ,最大值为a2=4,解 得a=2,m= 1 2 ,这时与 m< 1 4 矛盾,舍去; 当0<a<1时,函数f(x)在[-1,2]上单调 递减,最小值为a2=m,最大值为a-1=4,解 得a= 1 4 ,m= 1 16 。 综上可得,a= 1 4 ,m= 1 16 。 警示:当指数函数的底数不确定时,单调 性不明确而无法确定其最值,故应分a>1和 0<a<1两种情况进行讨论。 误区3:求对数函数的复合函数的单调 区间,忽视函数的定义域 例3 函数y=log0.5(4+3x-x2)的单 调递增区间是 。 错解:因为外层函数y=log0.5u 为减函 数,内层函数u=4+3x-x2 的单调减区间 为 3 2 ,+∞ ,所以原函数的单调增区间为 3 2 ,+∞ 。 剖析:上述解法忽视了函数的定义域致 错。因为4+3x-x2>0,所以函数的定义域 为(-1,4)。又外层函数为减函数,内层函数 u=4+3x-x2 在 -1, 3 2 上为增函数,在 3 2 ,4 上为减函数,所以函数y=log0.5(4+ 3x-x2)的单调增区间为 32 ,4 。 警示:若复合函数是减函数,外层函数为 43 易错题归类剖析 高一数学 2024年11月 增函数,则内层函数必为减函数。 误区4:求复合函数的定义域,忽视“内 层函数的值域是外层函数的定义域” 例4 已知函数f(x)=log3x+2,x∈ [1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域。 错解:设t=log3x。因为x∈[1,9],所 以t∈[0,2],所以函数y=[f(x)]2+f(x2) 等价于函数y=t2+6t+6。因为t∈[0,2], 所以所求函数的值域是[6,22]。 剖析:因为函数f(x)的定义域为[1,9], 所以 1≤x≤9, 1≤x2≤9, 所以x∈[1,3],即函数y= [f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3]。 设t=log3x,因为x∈[1,3],所以t∈ [0,1]。函数y=[f(x)]2+f(x2)等价于函 数y=t2+6t+6。因为t∈[0,1],所以y= t2+6t+6的 值 域 为[6,13],即 函 数 y= [f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13]。 警示:求复合函数的值域,遵循“定义域 先行”的原则,借助换元法,等价转化为二次 函数在区间上的值域求解。 误区 5:忽 视 对 数 函 数 f (x)= loga( x2+1±x)的性质的应用 例5 求函数f(x)=ln(x+ x2+1), x∈[-2,2]的最大值和最小值。 错解:由区间端点处取得最值,比较可得, f(x)min=ln(-2+5),f(x)max=ln(2+5)。 剖析:上述解法没有研究函数f(x)= loga( x2+1±x)的性质,虽结果对了,但解 题思路错误。 已知函数的定义域为 R,且定义域关于 原点对称。由f(-x)+f(x)=ln(-x+ x2+1)+ln(x+ x2+1)=ln1=0,可知 该函数为奇函数。 由f(x)=x+ x2+1在[0,+∞)上单 调递 增,结 合 奇 函 数 的 对 称 性,可 知 函 数 f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(x)min= ln(-2+ 5),f(x)max=ln(2+ 5)。 警示:判断f(x)=ln( x2+1+x)为 奇函数且在R上单调递增是解题的关键。 误区6:分段函数的单调性,忽视分界点 处函数值的大小关系 例 6 已 知 函 数 f (x ) = (2-a)x+1,x<1, ax,x≥1 是 R上的增函数,求实 数a的取值范围。 错解:要使函数f(x)在 R上是增函数, 需满足函数y=(2-a)x+1与y=ax 均为 增函数,所以 a>1, 2-a>0, 所以1<a<2,即实 数a∈(1,2)。 剖析:上述解法只考虑到各段函数在相 应定义域内为增函数,忽视函数f(x)在分界 点处函数值的大小关系。要使函数f(x)在 R上是增函数,需满足函数g(x)=(2-a)x +1与h(x)=ax 均为增函数,且还要满足在 x=1 处,有 g(1)≤h(1)成 立,所 以 2-a>0, a>1, 2-a+1≤a, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 3 2≤a<2 。故实数a 的 取值范围是 3 2 ,2 。 警示:分段函数在区间上单调到 R上单 调,既要保证区间上单调又要保证区间分界 点处函数值的大小关系。 已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+ 1)x+1],若f(x)的值域为(-∞,+∞),求 实数a的取值范围。 提示:设函数t=(a2-1)x2+(a+1)x+1。 因为f(x)∈(-∞,+∞),所以t∈(0,+∞),即 t只要能取到(0,+∞)上的任何实数即满足要 求。当 (a2 - 1) ≠ 0 时,需 满 足 a2-1>0, Δ=(a+1)2-4(a2-1)≥0, 可得1<a≤53;当 a2-1=0时,可得a=±1,若a=1,则t=2x+1 满足要求,若a=-1,则t=1不满足要求(舍 去)。综上所述,实数a∈ 1, 5 3 。 作者单位:江苏省口岸中学 (责任编辑 郭正华) 53 易错题归类剖析 高一数学 2024年11月