09 情景交融剖析函数模型的应用&10 对数运算中的“五大题型”-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■刘长柏 函数模型是数学与实际生活之间联系的 桥梁,考查同学们利用数学知识解决生活问 题的综合能力,函数模型的应用、选择及构 造,有助于加深对函数的理解与运用。 一、利用给定函数模型解决实际问题 例1 中国茶文化博大精深,茶水的口感 与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种 绿茶用90℃的水泡制,再等到茶水温度降至 60℃时饮用,可以产生极佳口感;在20℃室温 下,茶水温度从90℃开始,经过tmin后的温 度为y℃,可选择函数y=60×0.9t+20(t≥ 0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律, 则在上述条件下,该种绿茶茶水达到最佳饮用 口感时,需要放置的时间最接近的是( )。 (参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48) A.2.5min B.4.5min C.6min D.8min 解:已知函数y=60×0.9t+20(t≥0), 令60×0.9t+20=60,则0.9t= 2 3 ,所 以 lg0.9t=lg 2 3 ,即tlg 9 10=t (2lg3-1)=lg2 -lg3,所以t= lg2-lg3 2lg3-1 ≈ 0.30-0.48 2×0.48-1= 0.18 0.04=4.5 (min)。应选B。 点评:题中给出了函数模型,正确利用指 数函数模型是解题的关键。 二、建立函数模型解决实际问题 例2 某科技研发公司2021年全年投入 的研发资金为300万元,在此基础上,计划每 年投入的研发资金比上年增加10%,则该公 司全年投入的研发资金开始超过600万元的 年份是( )。(参考数据:lg2=0.301, lg3=0.477,lg5=0.699,lg11=1.041) A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年 解:设从2021年后,第x 年该公司全年 投入的研 发 资 金 为y 万 元,则 y=300× (1+10%)x。由题意可得,300×(1+10%)x >600,即1.1x>2,所以x>log1.12= lg2 lg1.1 = lg2 lg11-lg10 = lg2 lg11-1 = 0.301 1.041-1≈7.3 , 则x≥8。故该公司全年投入的研发资金开 始超过600万元的年份是2029年。应选C。 点评:“直线上升”是匀速增长,其增长量 固定不变;“指数增长”是先慢后快,其增长量 成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增 长”是先快后慢,其增长速度缓慢。 三、数学文化问题 例3 2023年2月27日,学堂梁子遗址 入围2022年度全国十大考古新发现终评项 目。该遗址先后发现石制品300多件,已知 石制品化石样本中碳14质量N 随时间t(单 位:年)的衰变规律满足 N=N0 1 2 t 5730(N0 表示碳14原有的质量)。经过测定,学堂梁 子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质 量约是原来的 3 8 ,据此推测该石制品生产的 时间距今约( )。(参考数据:ln2≈0.69, ln3≈1.09) A.8037年 B.8138年 C.8237年 D.8337年 解:由题意得 N0 1 2 t 5730 = 3 8N0 ,所以 1 2 t 5730 = 3 8 ,所以 t 5730ln 1 2=ln 3 8 。化简 可得,t= 5730ln 3 8 ln 1 2 = 5730(ln3-3ln2) -ln2 = 57303- ln3 ln2 ≈8138(年)。应选B。 点评:求解数学文化应用问题,需在认真 阅读题目的基础上,抓住问题的关键与实质。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 51 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■曹学志 对数的有关运算主要围绕指数式与对数 式的互化、对数恒等式、对数运算法则、换底 公式等展开,凸显对数运算性质的“正用、逆 用和变形应用”。 题型一:指数式与对数式的互化及对数 运算 例1 (1)若2x=6,log4 4 3=y ,则x+ 2y 的值是( )。 A.3 B. 1 3 C.log23 D.-3 (2)已知4a-3ab=16,log2a= a+1 b ,则 b= 。 解:利用对数式与指数式的互化,结合指 数与对数的运算法则求解。 (1)因为log4 4 3=y ,所以4y=22y= 4 3 , 所以2x+2y=2x·22y=6× 4 3=8=2 3,所以 x+2y=3。应选A。 (2)因为log2a= a+1 b ,所以2 a+1 b =a,即 ab=2a+1。所以4a-3ab=4a-3·2a+1=16, 即(2a)2-6·2a-16=0,解得2a=8或2a= -2(舍去),所以a=3。结合ab=2a+1 得 3b=24,解得b=log316。 感悟:对数的定义是对数形式与指数形 式互化的依据,ab=c⇔b=logac,且注意底数 始终是不变的。对数式与指数式的互化是解 决问题的重要手段。 题型二:利用对数恒等式和对数运算化 简求值 例2 (1)若xlog23=1,则3x+3-x= ( )。 A. 5 2 B. 13 6 C. 10 3 D. 3 2 (2)lg4-lg 2 5-0.125 1 3 - 3 log3 1 2 = 。 解:(1)因为xlog23=1,所以x=log32。 所以3x+3-x=3log3 2 +3-log3 2 =2+ 1 2= 5 2 。应 选A。 (2)lg4-lg 2 5-0.125 1 3 - 3 log3 1 2 = lg4× 5 2 - 12 3 1 3 -3 1 2log3 1 2 =1- 1 2 - 3 log3 2 2= 1 2- 2 2= 1- 2 2 。 感悟:对数恒等式a logaN=N,其实质是 指数式与对数式的互化。 题型三:积、商、幂的对数运算 例3 (1)lg500+lg 8 5- 1 2lg64+ 50(lg2+lg5)2= 。 (2)(lg2)2+lg5×lg20= 。 解:(1)lg500+lg 8 5- 1 2lg64+50 (lg2 +lg5)2=lg(5×100)+lg8-lg5- 1 2lg2 6+ 50=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+50=52。 (2)(lg2)2+lg5×lg20=(lg2)2+lg5 ×lg(4×5)=(lg2)2+lg5×(lg4+lg5)= (lg2)2+lg5×(2lg2+lg5)=(lg2)2+lg5 ×2lg2+(lg5)2=(lg2+lg5)2=1。 感悟:若a>0且a≠1,M>0,N>0,则 loga(M ·N)=logaM +logaN;loga M N = logaM-logaN;logaMn=nlogaM(n∈R)。拓 展:logamM n= n mlogaM (n∈R,m≠0)。 题型四:换底公式在对数运算中的“沟 通”运用 例4 (1)若实 数 a,b,c 满 足25a= 403b=2015c=2019,则 下 列 式 子 正 确 的 是( )。 A. 1 a+ 2 b= 2 c B. 2 a+ 2 b= 1 c 61 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 C. 1 a+ 1 b= 2 c D. 2 a+ 1 b= 2 c (2)已知log189=a,18b=5,则log3645= 。 解:(1)由52a=403b=2015c=2019,可 得 2a =log52019,b=log4032019,c= log20152019。由 换 底 公 式 得 1 2a=log20195 , 1 b=log2019403 ,1 c=log20192015 。因为5× 403=2015,所 以 log20195+log2019403= log20192015,所以 1 2a+ 1 b= 1 c ,即1 a+ 2 b= 2 c 。应选A。 (2)(方法1)由18b=5,可得log185=b。 所 以 log3645 = log18(9×5) log18(18×2) = log189+log185 1+log182 = a+b 1+log18 18 9 = a+b 2-a 。 (方法2)因为18b=5,所以log185=b。 所 以 log3645= log1845 log1836 = log18(9×5) log18 182 9 = log189+log185 2log1818-log189 = a+b 2-a 。 (方法3)因为log189=a,18b=5,所以 lg9=alg18,lg5=blg18。 所 以 log3645= lg45 lg36 = lg(9×5) lg 182 9 = lg9+lg5 2lg18-lg9 = alg18+blg18 2lg18-alg18= a+b 2-a 。 (方法4)因为log189=a,所以18a=9。 因为18b=5,所以45=5×9=18b·18a= 18a+b。令log3645=x,则36x=45=18a+b,即 36x = 183 ·18 3 x =18a+b,所 以 18 2 9 x = 18a+b,所 以 xlog18 182 9 =a+b ,所 以 x= a+b log18182-log189 = a+b 2-a 。 感悟:灵活运用换底公式logaM= logcM logca (c>0,c≠1)及推论loganb m= m nlogab (n≠0) 是解题的关键。 题型五:指数与对数运算的综合问题 例5 (1)若x,y∈R,且2x=18y=6xy, 则x+y=( )。 A.0 B.1 C.1或2 D.0或2 (2)已知a,b∈(1,+∞),若ax=by=2, a+ b=4,则 2 x+ 1 y 的最大值为 。 解:(1)令2x=18y=6xy=k,则x=log2k, y=log18k,xy=log6k。由xy=log2k·log18k =log6k,结合换底公式得 lgk lg2 ·lgk lg18 = lgk lg6 , 所以lgk=0或lgk= lg2·lg18 lg6 。 当lgk=0时,可得x=0且y=0,即x +y=0;当lgk= lg2·lg18 lg6 时,可得x+y= log2k+log18k=lgk 1 lg2+ 1 lg18 =lgk· lg2+lg18 lg2·lg18 = lg2·lg18 lg6 · lg (2×18) lg2·lg18 = lg36 lg6 =2。应选D。 (2)因为ax=by=2,所以x=loga2,y= logb2,所以 1 x=log2a ,1 y =log2b,所以 2 x+ 1 y =2log2a+log2b=log2a2b=log2(a b)2= 2log2ab。 又因为a+ b=4,所以4=a+ b≥ 2 ab,所以4≥ab,当且仅当a= b,即b =a2=4时等号成立。所以 2 x+ 1 y =2log2a +log2b=2log2ab≤4,当且仅当b=a2=4 时等号成立,所以当a=2,b=4时, 2 x+ 1 y 的 最大值为4。 感悟:解决指数与对数综合问题的关键 是学会换底公式与对数运算法则的结合与应 用。 作者单位:江苏省沭阳县建陵高级中学 (责任编辑 郭正华) 71 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月