01 教你三招化简对数式&02 对数函数模型的探究及应用-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■张洪军 王佩其 在解答对数的求值问题、最值问题、单调 性问题、参数问题时,要先对对数式进行化 简,那么化简对数式有哪些招数? 第一招:根据对数运算的性质进行化简 对数的运算性质:已知a>0且a≠1,M >0,N>0,b∈R,则loga(M·N)=logaM+ logaN,loga M N =logaM -logaN ,logaMb = blogaM。解题时,要根据对数式的结构特征, 选择与之相应的运算性质进行化简。 例1 化简下列各式。 (1)2log32-log3 32 9 +log38-5 log53; (2)log3 4 27 3 +lg25+lg4+5 log52;(3)log535 +2log1 2 2-log5 1 50-log514 。 解:(1)原式=2log32-(5log32-2)+ 3log32-3=2log32-5log32+2+3log32- 3=-1。 (2)原式=log3 4 27+lg(25×4)+2= 3 4+2+2= 19 4 。 (3)原式=log535+log5 0-log514+ 2log1 2 2 1 2=log5 35×50 14 +log12 2=log5 3-1=2。 点评:在化简时,可将同底数的两个对数 式的和、差化为对数式的积、商形式,也可将 对数式的积、商拆成同底数的两个对数式的 和、差形式。 第二招:利用换底公式进行化简 logaN= logmN logma (a>0,a≠1,m>0,m≠ 1,N>0)叫换底公式。利用换底公式可将对 数的底数统一,方便进行约分和加减运算。通 常将10或e作为底数,便于计算与求值。 例2 化简下列各式。 (1)(log153)2+ log159 log515 -log15 ·log15 1 5 ; (2)log32+log23 2- log32 log23 - log23 log32 。 解:(1)原式= log153 2+log159·log15 + log15 2= log153 2+2log153·log15 + log15 2=log153+log15 2=log1515 2=1。 (2)原式= ln2ln3+ ln3 ln2 2 - ln2 ln3 ·ln2 ln3- ln3 ln2 ·ln3 ln2= ln2 ln3 2 + ln3ln2 2 +2- ln2ln3 2 - ln3 ln2 2 =2。 点评:解题的关键是换底公式的应用,且 要注意logab与logba互为倒数。 第三招:通过指数式与对数式的互化进 行化简 利用指数式与对数式的互化进行化简的 关键是灵活运用指数和对数的定义、性质及 运算法则。 例3 (1)已知10a=2,10b=3,则2 b a = ;(2)已知a=log25,8=5b,则ab= ; (3)若3a=12,b=log412,则 1 a+ 1 b= 。 解:(1)因为10a=2,10b=3,所以a= lg2,b=lg3。故2 b a=2 lg3 lg2=2 log23=3。 (2)由8=5b,可得b=log58,所以ab= log25·log58=3log25·log52=3。 (3)因为3a=12,所以a=log312,所以 1 a+ 1 b= 1 log312 + 1 log412 =log123+log124= log1212=1。 点评:无论是将指数式化成对数式,还是 将对数式化成指数式,必须遵循“化成同底 数”的原则。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■丁 萍 对数函数模型是一种重要的函数模型, 下面归纳整理对数作为变量或对数函数的复 合函数模型及应用。 模型1:形如y=loga(Ax2+Bx+c) (a>0,a≠1)的探究及应用 例1 已知函数f(x)=lg(x2+ax-a -1),给出下述论述,其中正确的是( )。 A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞, -1)∪(1,+∞) B.f(x)一定有最小值 C.当a=0时,f(x)的定义域为R D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递 增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4} 解:当a=0时,由x2-1>0,可得f(x) 的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),A正确, C错误。对于B,当a=0时,函数f(x)= lg(x2-1),由x∈(-∞,-1)∪(1,+∞), 可得x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2- 1)的值域为 R,B错误。对于D,函数f(x) 在区间[2,+∞)上单调递增,此时内函数 y=x2+ax-a-1在[2,+∞)上也单调递 增,所以对称轴x=- a 2≤2 ,解得a≥-4,但 当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x= 2处无定义,D错误。应选A。 体验:二次函数作为真数的对数函数 y=loga(Ax2+Bx+c)(a>0,a≠1),既可以 探究定义域,也可以探究单调性与值域,注意 定义域和值域均为 R的区分,单调性需满足 “同增异减”且真数在区间恒大于0。 模型2:形如f(x)=loga( mx2+1± mx)的奇偶性和单调性的应用 例2 已知函数f(x)=ln(1+x2- x),若不相等的正实数a,b 满足f(a)+ fb- 5 2 =0,且a,b恰为g(x)=|lnx|-k 的两个零点,则k= 。 解:由函数f(x)=ln( 1+x2-x),可 得f(x)+f(-x)=ln( 1+x2 -x)+ ln( 1+x2+x)=ln(1+x2-x2)=ln1=0。 因为函数f(x)的定义域为 R,所以f(x)为 R上的奇函数。所以f(x)=-f(-x)= -ln( 1+x2+x)=ln 1 1+x2+x 。 令u= 1 1+x2+x ,当x>0时,u(x)为 减函数,而y=lnu 为增函数,结合复合函数 的单调性知f(x)=ln( 1+x2-x)在(0, +∞)上为减函数。 因为函数f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(x)为R上的减函数。 因为不相等的正实数a,b满足f(a)= -fb- 5 2 =f 52-b ,所以a=52-b,即 a+b- 5 2=0 。 又a,b恰为g(x)=|lnx|-k的两个零 点,不妨设a<b,所以g(a)=|lna|-k=0, g(b)=|lnb|-k=0,所以|lna|=|lnb|,所 以lna=-lnb或lna=lnb(舍去),所以lna +lnb=0,所以ln(ab)=0,所以ab=1。 由上可得 a+b- 5 2=0 , ab=1, 解得 a=2, b= 1 2 或 4 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 a= 1 2 , b=2, 所以k=|lna|=ln2。 体验:一个函数是奇函数,只需研究它在 (0,+ ∞)上的单调性,即可判断其定义域上 的单调性。 模型3:形如y=A(logax)2+Blogax+ C(a>0,a≠1)的探究及应用 例3 已 知 函 数 f(x)=(logax)2- logax-2(a>0,a≠1),若∀x∈[2,4], f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围。 解:由f(x)≥4得(logax)2-logax- 6=(logax-3)(logax+2)≥0,所以logax≤ -2或logax≥3。 当a>1时,x∈[2,4],(logax)max= loga4,(logax)min=loga2,所以loga4≤-2= loga -2 或loga2≥3=loga 3,解得1<a≤ 3 2;当0<a<1时,x∈[2,4],(logax)max= loga2,(logax)min=loga4,所以loga2≤-2= loga -2 或loga4≥3=loga 3,解得 2 2≤a<1 。 综 上 所 述,实 数 a 的 取 值 范 围 为 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 ∪(1,32]。 体验:y=A(logax)2+Blogax+C(a> 0,a≠1)常转化为二次函数在区间上的问题 求解。 模型4:形如f(x)=a|x-m|+b(a>0, a≠1)的探究及应用 例4 已知定义在 R上的函数f(x)= 2|x-m|-1(m 为 实 数)是 偶 函 数,记 a= f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b, c的大小关系为( )。 A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 解:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)= f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得|x- m|=|x+m|,即mx=0,所以m=0,所以函 数f(x)=2|x|-1。显然函数f(x)=2|x|-1 在[0,+∞)上单调递增,且a=f(|log0.53|) =f(log23),b=f(log25),c=f(0)。因为 0<log23<log25,所以c<a<b。应选B。 或者,由f(x)=2|x|-1,可得a=2 |log0.53| -1=2log2 3 -1=3-1=2,b=2log2 5 -1=5-1 =4,c=20-1=0,所以c<a<b。应选B。 体验:利用偶函数的定义,确定参数m= 0是解题的关键。 模型5:形如f(x)=|logax±m|的探究 及应用 例5 已知函数f(x)=lg|x-1|,下列 命题中所有正确的序号是 。 ①函数f(x)的定义域和值域均为 R; ②函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增;③函数f(x)的图像关于 y 轴对称;④函数f(x+1)为偶函数;⑤若 f(a)>0,则a<0或a>2。 解:由函数f(x)=lg|x-1|,可得x- 1≠0,即x≠1,所以函数的定义域为{x|x≠ 1}≠R,①不正确。由函数y=|x-1|在 (-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递 增,可得复合函数f(x)=lg|x-1|在(-∞, 1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,②正 确。因为函数f(x)的定义域不关于原点对 称,所以函数f(x)不具有奇偶性,③不正确。 由函数f(x+1)=lg|x|,其图像关于y 轴 对称,可知f(x+1)为偶函数,④正确。由 f(a)>0,可得lg|a-1|>0,所以|a-1|> 1,即a-1>1或a-1<-1,所以a<0或 a>2,⑤正确。答案为②④⑤。 体验:函数f(x)=|logax|的定义域为 {x|x>0},且为非奇非偶函数,依据底数可 探究区间上的单调性和整个图像。注意结论 “若方程|logax|=a有两个零点x1,x2,则满 足0<x1<1<x2,x1x2=1”的灵活应用。 若0<a<1,b>0,且ab-a-b=-2,则 ab+a-b 的值为 。 提示:由ab-a-b=-2,可得(ab-a-b)2 =a2b+a-2b-2=4,即a2b+a-2b=6,所以(ab +a-b)2=a2b+a-2b+2=6+2=8,所以ab+ a-b=22(负值舍去)。 作者单位:甘肃省榆中县第二中学 (责任编辑 郭正华) 5 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月