专题14三角形与全等三角形-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题14三角形与全等三角形 一、单选题 1．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（    ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 4．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 5．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 6．（2022·江苏南通·中考真题）用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 11．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（    ）    A． B． C． D． 13．（2022·江苏南通·中考真题）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 15．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 17．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 18．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 19．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 20．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 21．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 22．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    23．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． 24．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °． 25．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 ．（只需添一个） 26．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 27．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    28．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    29．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 三、解答题 30．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 31．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 33．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 34．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 35．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 36．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 37．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 38．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 39．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 40．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证． 41．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 42．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 43．（2023·江苏·中考真题）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．    44．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 45．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 46．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 47．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，．求证：． 48．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF． 求证： (1)△DOF≌△BOE； (2)DE=BF． 试卷第4页，共26页 10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14三角形与全等三角形 一、单选题 1．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 2．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（    ） A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边． 4．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(   ) A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 5．（2022·江苏淮安·中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】A.∵， ∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B.∵， ∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C.∵，， ∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D.∵， ∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 6．（2022·江苏南通·中考真题）用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，则6−3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 7．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【答案】D 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2023·江苏·中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 11．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 12．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 13．（2022·江苏南通·中考真题）如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得∠1＋∠2＝80°，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，∵， ∴∠4＝∠1， ∴∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，求出∠1＋∠2＝80°是解题的关键． 14．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 15．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据ASA一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理． 二、填空题 16．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 17．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 18．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可） 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 19．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 【答案】6 【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC 当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 20．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 21．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 22．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 23．（2022·江苏镇江·中考真题）一副三角板如图放置，，，，则 ． 【答案】105 【分析】根据平行性的性质可得，根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 24．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °． 【答案】105 【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】，， ， ∵∠E=60°， ∴∠F=30°， 故答案为：105 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 25．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 ．（只需添一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理进行添加即可． 【详解】解：添加即可， 理由如下： ， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：． 26．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 27．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点，    ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 28．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 29．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 【答案】1 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 三、解答题 30．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 31．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴ ； （2）∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 32．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 33．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 34．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 35．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴． 36．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 37．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 38．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 39．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，与相交于点，，． (1)求证：； (2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【详解】（1）证明： ， ，． 在和中，， ； （2）解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 40．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边，上，且，对角线分别交，于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接交于O，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，，，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：所作图形如图， ．   【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键． 42．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． （2）如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 43．（2023·江苏·中考真题）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件． 44．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析     ② 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． （1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 在和中 ∴． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．      ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 45．（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    (1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】（1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． 【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． （2）证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 46．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 47．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 48．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF． 求证： (1)△DOF≌△BOE； (2)DE=BF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE； （2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点， ∴AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF． 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）； （2）证明：∵△BOE≌△DOF， ∴EO=FO， ∵OB=OD， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∴DE=BF． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键． 试卷第4页，共26页 35 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$