专题12二次函数解答压轴题-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题12二次函数解答压轴题 一、解答题 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【详解】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 5．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) (3) 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 6．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入即可求解； （2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线， 平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解； （3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， 故答案为； （2）解：过点D作DM⊥OA于点M，    ∵， ∴二次函数的解析式为 设， ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，， ∴， 解得m=或m=8（舍去）， 当m=时，， ∴， ∵， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为， 把代入得， 解得a=3或a=（舍去）， ∴平移后得抛物线为 ∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， 在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小， ∴； （3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为， ∵顶点为在上， ∴， ∴平移后的抛物线为，顶点为， ∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1， ∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q， ∴， ∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方， ∴∠PCQ与∠CQP都是锐角， ∵是直角三角形， ∴∠CPQ=90°， ∴， ∴化简得， ∴p=1（舍去），或p=3或p=， 当p=3时，， 当p=时，， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 9．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 【答案】(1)3 (2)①；②1或或 【分析】（1）当时，，即； （2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或． 【详解】（1）解：当时，，即； （2）解：①将点A代入 得，， 解得：， ∴解析式为：， 而， ∴对称轴为直线：， 当，且时， ∴y随着x的增大而减小， ∴当，，当时，， 由得，， 解得：或（舍） ∴； ②在中，， 由题意得，，， ∴四边形为平行四边形或等腰梯形， 当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 将点代入， 得：， 解得：或（舍）， ∴； 当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， 即； 当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则， ∵ ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点P代入， 得：， 解得：或， 而当时，，故舍， ∴， 综上：点P的横坐标为1或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为； （3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为． 【详解】（1）解：（1）将，代入，得， ， 解得： 对应的函数表达式为：； （2）解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线l于点H（如答图①） 由二次函数的对称性得，， ∴． 又，而 ． 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，（舍去）． 点P的坐标为； （3）解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②） ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点D，E分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ∴，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， ① 点F在上， ， 即． ， ② 由①，②可得． 解得（舍去），， ． 的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 11．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 12．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； （2）解：连接，   ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3）解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）．      设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知：    当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知：    当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 13．（2023·江苏盐城·中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．    【答案】（1）①；（2）或；（3）或或 【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可； （2）求出函数与坐标轴的交点，再由求出点坐标，代入二次函数解析式计算即可； （3）先求出，的坐标，再根据的顶点在矩形的边上分类讨论即可． 【详解】（1）函数交轴于，交轴于， ∵点、都在函数图象上 ∴①为函数的轴点函数； ∵点不在函数图象上 ∴②不是函数的轴点函数； 故答案为：①； （2）函数交轴于，交轴于， ∵函数的轴点函数 ∴和都在上， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴或 当时，把 代入得 ，解得， 当时，把 代入得 ，解得， 综上，或； （3）函数交轴于，交轴于， ∵，以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形 ∴，，, ∵函数（为常数，）的轴点函数 ∴和在上 ∴，整理得 ∴ ∴的顶点坐标为， ∵函数的顶点在矩形的边上 ∴可以分三种情况讨论：当与重合时；当在上时；当在上时； 当与重合时，即，解得； 当在上时，，整理得，解得 此时二次函数开口向下，则 ∴整理得：， 由整理得， ∴ 解得， ∴， 当在上时，，整理得，解得 ∴ 此时对称轴左边y随x的增大而增大， ∴ ∴整理得： ∴代入、后成立 ∴， 综上所述，或或 【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义． 14．（2023·江苏镇江·中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．    (1)分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． (2)求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） (3)将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据直线与y轴交于E，得到，根据点C与点B关于原点对称，求得，得到，设直线的解析式为，将，代入得解方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据n与m的关系式为，得到在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，解方程得到，根据线段与点B所在的函数图象有公共点，列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）由直线与y轴交于E，得， ∵点C与点B关于原点对称，， ∴， 由直线与y轴交于点F，得，即， 综上所述，， 设直线对应的一次函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴， 同理； 由点F在点E上边知: ，且， ∴，即；    （2）由题意得，， 整理得，； （3）∵n与m的关系式为， ∴在函数的图象上， 由旋转得，， 当在点B所在的函数图象上时，， 解得， ∵线段与点B所在的函数图象有公共点， ∴或， 由旋转得，且； ∵或． ∵， ∴或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求得n与m的关系式是解题的关键． 15．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)见解析 (3)n的取值范围为且 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 16．（2023·江苏宿迁·中考真题）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 【答案】(1)② (2)；、 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：    与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； （3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：    联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键． 17．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 【答案】(1)， (2)①；②2或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解． ②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点 ∴ 解得： ∴，，； （2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、． ∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ 设直线的解析式为 ∴ 解得： 直线解析式为． 设， ， ， 当时，取得最大值为， 的最大值为． ②如图2，已知，令，则， 在上取点，使得， ∴， 设，则， 则， 解得， ∴，即． 如图3构造，且轴，相似比为， 又∵， 设，则． 分类讨论：ⅰ当时，则， ∴与的相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． ⅱ当时，则， ∴相似比为， ∴，， ∴， 代入抛物线求得，（舍）． ∴点横坐标为． 综上所示，点的横坐标为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．    (1)求点的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ． 【答案】(1)，； (2)①的大小不变，理由见解析；②线段的长度存在最大值为； (3) 【分析】（1）得，解方程即可求得的坐标，把化为顶点式即可求得点的坐标； （2）①在上取点，使得，连接，证明是等边三角形即可得出结论；②由，得当最小时，的长最大，即当时，的长最大，进而解直角三角形即可求解； （3）设的中点为点，连接，过点作于点，证四边形是菱形，得，进而证明得，再证，得即，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， 令，， 解得或， ∴； （2）解：①的大小不变，理由如下： 在上取点，使得，连接，    ∵， ∴抛物线对称轴为，即， ∵将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴， ， ， ∴，   ∴是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即的大小不变； ②，∵， ∴当最小时，的长最大，即当时，的长最大， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴，   ∴ ， ∴ ， ∴ ，即线段的长度存在最大值为； （3）解：设的中点为点，连接，过点作于点，    ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵的中点为点， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的中点为点，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴，   ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用： 【分析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论； 尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则，    ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 拓展提升：延长到点C，使，    ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由【探究发现】可知，， ∴， ∴， ∴； 尝试应用：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，的最小值是 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 20．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答； （2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：令，则有：，解得：或， ∴． （2）解：∵抛物线过 ∴抛物线的对称轴为， 设， ∵， ∴, 如图：连接，则， ∴， ∴切线为边长的正方形的面积为， 过点P作轴，垂足为H，则：， ∴ ∵， ∴，      假设过点,则有以下两种情况： ①如图1：当点M在点N的上方，即      ∴，解得：或， ∵ ∴； ②如图2：当点M在点N的下方，即    ∴，解得：， ∵ ∴； 综上，或． ∴当不经过点时，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 21．（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【详解】（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 【答案】（1）；（2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称，见解析；（3）①④；（4），见解析 【分析】（1）证明，得出，进而勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式； （2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解； （4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴，∴． ∵，点是的中点，∴． 在中，， ∴．∴． ∴关于的表达式为：． （2）取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称． 理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示．    （3）根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． （4）关于的函数表达式为； 当取任意实数时，有如下相关性质： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键． 23．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． （3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　   　　   ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． （3）如图3，由（2）知，当时，， 此时 则，，则的面积为1，不合题意舍去． 当时，， 则， ∴，此时的面积为3，符合题意 ∴． 依题意，四边形是正方形， ∴． 取的中点，在中可求得． 在中可求得． ∴当三点共线时，取最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键． 24．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．    (1)若，，则的值为________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据，得，则，代入计算即可； （2）利用，得，再由，得，即可证明结论； （3）根据点P在上，可得，再由点G在上，可得，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴即； （3）解：若点在上，则， 由（2）得， ∴， ∵点从点到点运动， ∴， ∴， ∴即， 又∵是上一点， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（2022·江苏淮安·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点横坐标为或或或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 26．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．    (1)∠EDC的度数为 ； (2)连接PG，求△APG 的面积的最大值； (3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； (4)求的最大值． 【答案】(1)45° (2)9 (3)PE=DG，理由见解析 (4) 【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DEBP，然后由平行线的性质即可解答； （2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF= 、GF=CF= ；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可； （3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系； （4）先说明△CEF∽△CDH得到，进而得到，然后将已经求得的量代入可得 ，然后根据求最值即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12 ∴∠B=∠ACB=45° ∵，D、E分别为BC、PC的中点 ∴DEBP，DE= ∴∠EDC=∠B=45°． （2）解：如图：连接PG ∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC ∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形 ∴DF=EF= ，GF=CF= ， 设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE ∴DE=，EF= ∵Rt△APC， ∴PC= ∴CE= ∵Rt△EFC ∴FC=FG= ∴CG=CF= ∴AG=12-CG=12-= ∴S△APG= 所以当x=6时，S△APG有最大值9．    （3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下： ∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF ∴△GFD≌△CFE(SAS) ∴DG=CE ∵E是PC的中点 ∴PE=CE ∴PE=DG； ∵△GFD≌△CFE ∴∠ECF=∠DGF ∵∠CEF=∠PEG ∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE． （4）解：∵△GFD≌△CFE ∴∠CEF=∠CDH 又∵∠ECF=∠DCH ∴△CEF∽△CDH ∴，即 ∴ ∵FC= ，CE=，CD= ∴ ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 27．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①_________，_________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点． ①与相等吗？请说明你的理由； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 (3)①，理由见解析；②3 【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值； ②通过A（-2，0），E即可求出AE的长度； 通过B，F即可求出BF的长度； （3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：，．通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出的长度． ②由①可得，求解即可． 【详解】（1）令，则，解得， ∴， 将点代入中，解得， ∴点的坐标为． 将，，代入可得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（）， ∴联立关系式得：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：，； ②当时，位于的上方，∵、， ∴，， ∴， 当时，位于的下方，同理可证． 故可得：； （3）方法一： ①∵二次函数图像的顶点为， 二次函数的图像的顶点为， ∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的． ∴的对应点为，的对应点为， 联立关系式可得：， 整理得：， ， 当时，解得：，， ∴，， ∴． ②∵，． ∴， ∴， 解得:． 方法二： ①设、平移前的对应点分别为、，则． 则， ∵、平移前的对应点分别为、， 由（2）②及平移的性质可知，． ②∵， ∴， ∵到轴的距离为，点是轴与二次函数的图像的交点， ∴平移后点的对应点即为点． ∵二次函数图像的顶点为， 二次函数的图像的顶点为， ∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的． ∴，将点的坐标代入中，解得． 另解： ∵， ∴， 的对应点为． ∵， ∴点的横坐标为，代入，得． ∴．将点的坐标代入中，解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键． 28．（2022·江苏南通·中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)3或； (3) 【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可； （2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得； （3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围． 【详解】（1）解：∵点到x轴的距离为2，大于1， ∴不是反比例函数图象的“1阶方点”， ∵点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1， ∴和是反比例函数图象的“1阶方点”， 故答案为：②③； （2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2）， 当a＞0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个， 则过点（－2，2）或（2，－2）， 把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）； 把（2，－2）代入得：，解得：； 当a＜0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个， 则过点（2，2）或（－2，－2）， 把（2，2）代入得：，解得：； 把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）； 综上，a的值为3或； （3）∵二次函数图象的顶点坐标为（n，）， ∴二次函数图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动， ∵y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点， 如图，当过点（n，－n）时， 将（n，－n）代入得：， 解得：， 当过点（－n，n）时， 将（－n，n）代入得：， 解得：或（舍去）， 由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 29．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)成立，理由见解析 (3)存在，4 【分析】（1）先画出图形，再结合实际操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，从而可得答案； （2）解法1：设半径为的圆与直线的交点为 ．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，从而验证猜想； 解法2：设半径为的圆与直线交点为，可得，解方程可得．则，再消去，可得，从而验证猜想； （3）如图，设所描的点在上，由， 建立方程，整理得结合，都是正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴ 故答案为：或 （2）小明的猜想成立． 解法1：如图，设半径为的圆与直线的交点为 ． 因为，所以，即， 所以， 所以上，小明的猜想成立． 解法2：设半径为的圆与直线交点为， 因为，所以，解得，所以． ，消去，得， 点在抛物线上，小明的猜想成立． （3）存在所描的点在上，理由： 如图，设所描的点在上， 则，因为， 所以， 整理得， 因为，都是正整数， 所以只有，满足要求． 因此，存在唯一满足要求的，其值是4． 【点睛】本题考查的是切线的性质，垂径定理的应用，坐标与图形，二次函数的图像与性质，勾股定理的应用，方程的正整数解问题，理解题意，建立几何模型与函数模型是解本题的关键． 30．（2022·江苏常州·中考真题）已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表： … 0 1 2 3 … … 4 3 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______； (3)、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）， (3)∠ACB=45°或135° 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性求出，即可得到答案； （3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出，，然后分四种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵原二次函数解析式为 由题意得平移后的二次函数解析式为， ∴平移后的二次函数对称轴为直线， ∵二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且二次函数的开口向下， ∴， ∴， ∴符合题意的二次函数解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一），； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m， ∴C的横坐标为， ∴点A的坐标为（m，），点C的坐标为（，）， ∵点B的横坐标为m+1， ∴点B的坐标为（m+1，）， ∴，， 如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC， ∵A、C关于对称轴对称， ∴轴， ∴， ∵，， ∴， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=45°， 同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°， 如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时， 过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D， 同理可证△BDC为等腰直角三角形， ∴∠BCD=45°， ∴∠ACB=135°， 同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°， 综上所述，∠ACB=45°或135° 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 31．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）； (2) (3) 【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得； （2）方法一：如图1，连接AE．由解析式分别求得，，．根据轴对称的性质，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如图2，过点D作交BC于点H．由方法一，得，．证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解； （3）设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． 【详解】（1）当时，． 解方程，得，． ∵点A在点B的左侧，且， ∴，． 当时，． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）方法一：如图1，连接AE． ∵， ∴，． ∴，，． ∵点A，点B关于对称轴对称， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴解方程，得． 方法二：如图2，过点D作交BC于点H． 由方法一，得，． ∴． ∵， ∴， ． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． ∵， ∴解方程，得． （3）． 设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时，即． ∵， ∴． ， ， ∴． 解得， 又， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，角度问题，解直角三角形，相似三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键． 32．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：； ②求； (3)当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析，② (3)或． 【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式； （2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论； ②由，得到，设点D的坐标为（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值； （3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点， ∴代入 (0，0)， (4，0)得，， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）①证明：∵ ＝， ∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点， ∴由抛物线的对称性可知OC＝AC， ∴∠CAB＝∠COD， ∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点， ∴ △ABC≌△BC， ∴∠CAB＝∠，AB＝B， ∴∠COD＝∠， ∵∠ODC＝∠BD， ∴； ②∵， ∴， 设点D的坐标为（d，0）， DC＝， ∵点与、点不重合， ∴0＜d＜4， 对于 ＝来说， ∵ a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4， ∴当d＝2时，DC有最小值为， OC＝， ∴有最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵OC＝2， ∴B＝AB＝1， ∴点B的坐标是（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），C（2，﹣2）代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝2x－6， 设点的坐标是（p，q）， ∴线段A的中点为（，）， 由折叠的性质知点（，）在直线BC上， ∴＝2×－6， 解得q＝2p－4， B＝， 整理得＝1， 解得p＝2或p＝， 当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意， 当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意， 设直线的解析式为y＝x＋， 把点B（3，0），（，）代入得，， 解得， ∴直线的解析式为y＝x＋4， 联立直线和抛物线得到，， 解得，， ∴直线与二次函数的交点横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键． 33．（2022·江苏扬州·中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割： (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)20dm； (3)能切得半径为3dm的圆． 【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解； （2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可； （3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是与抛物线在y轴右侧的切点即可． 【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8） 设二次函数解析式为y=ax²+bx+c， ∵对称轴为y轴， ∴b=0，将A、C代入得，a=，c=8 则二次函数解析式为， 如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m， 则P点坐标可以表示为（m，2m） 代入二次函数解析式得， ，解得（舍去）， ∴2m=， 则正方形的面积为； （2）如下图所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0） 将x=n代入二次函数解析式，得 ， 则EF=， 矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+）=， 当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm； （3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下： 如图，N为上一点，也是抛物线上一点，过点N作的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P， 设， 由勾股定理得：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 设QN的解析式为： ∴ ∴ ∴QN的解析式为： 与抛物线联立为： 所以此时N为与抛物线在y轴右侧的唯一公共点， 所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆． 【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键． 34．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，其中． (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最大值为 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于0即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点B的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，可以推出,由此即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得． 由，则符合题意， ∴， ∴． （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点在第三象限． （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为 当时，， ∴． 将代入， 解得． ∵在轴的负半轴上， ∴． ∴． 过点作，垂足为， ∵， ∴． 在中， , ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 试卷第4页，共26页 98 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12二次函数解答压轴题 一、解答题 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 3．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 5．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 6．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 7．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 8．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024·江苏常州·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)________； (2)如图，已知点A的坐标是． ①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； ②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标． 10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 11．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 12．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．    (1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； (2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； (3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 13．（2023·江苏盐城·中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． 【初步理解】 （1）现有以下两个函数：①；②，其中，_________为函数的轴点函数．（填序号） 【尝试应用】 （2）函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点.若，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得.以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形.若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值．    14．（2023·江苏镇江·中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，．    (1)分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． (2)求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） (3)将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 15．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 16．（2023·江苏宿迁·中考真题）规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 17．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点． (1)请直接写出，的值； (2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求的最大值； ②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标． 18．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点，顶点为．连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．点分别在线段上，连接与交于点．    (1)求点的坐标； (2)随着点在线段上运动． ①的大小是否发生变化？请说明理由； ②线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)当线段的中点在该二次函数的图象的对称轴上时，的面积为 ． 19．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    20．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 21．（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 22．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境  建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示．    【由数想形  新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图2所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．    【数形结合  深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归  拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是__________；一般地，当取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 23．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 24．（2022·江苏南京·中考真题）如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．    (1)若，，则的值为________； (2)求与之间的函数表达式； (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围． 25．（2022·江苏淮安·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 26．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．    (1)∠EDC的度数为 ； (2)连接PG，求△APG 的面积的最大值； (3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； (4)求的最大值． 27．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①_________，_________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； (3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点． ①与相等吗？请说明你的理由； ②若，求的值． 28．（2022·江苏南通·中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 29．（2022·江苏盐城·中考真题）【发现问题】 小明在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】 小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图像上． (1)【分析问题】 小明利用已学知识和经验，以圆心为原点，过点的横线所在直线为轴，过点且垂直于横线的直线为轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为___________． (2)【解决问题】 请帮助小明验证他的猜想是否成立． (3)【深度思考】 小明继续思考：设点，为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 30．（2022·江苏常州·中考真题）已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表： … 0 1 2 3 … … 4 3 0 … (1)求二次函数的表达式； (2)将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______； (3)、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数． 31．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数； (2)若，求m的值； (3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围． 32．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：； ②求； (3)当时，求直线与二次函数的交点横坐标． 33．（2022·江苏扬州·中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割： (1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由． 34．（2022·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，其中． (1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值． 试卷第4页，共26页 17 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