精品解析：云南省昆明市东川区2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024－2025学年上学期期中检测 九年级数学 试题卷 （本试卷共三个大题27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. （-1，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，0） 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 有若干个好朋友除夕夜晚打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话21次，设这些朋友一共x人，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 11. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. 和 D. 和 13. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 14. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 17. 若是关于x的二次函数，则a的值是_______． 18. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是____________． 19. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是_____． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）； （3） 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与、、点对应），请在图中画出． 22. 已知关于的方程． （1）判断此方程根的情况； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 23. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，用描点法画出这个二次函数的图象； （3）根据图象直接写出0<x<3时，y的取值范围． x … … y … … 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 26. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 27. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． （1）求抛物线经过的定点的坐标； （2）是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上学期期中检测 九年级数学 试题卷 （本试卷共三个大题27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题2分，共30分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，3 B. 0，2， C. 0，， D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可. 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选D 3. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. （-1，2） B. （1，2） C. （1，0） D. （-1，0） 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的顶点式可求得答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为（-1，0）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，0）． 4. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点A坐标为（-2，1），且点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标为（2，-1）． 故选：B． 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 6. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移．二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，根据函数图象平移规律即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得到， 再向上平移2个单位长度，得到， 故选：B． 9. 有若干个好朋友除夕夜晚打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话21次，设这些朋友一共x人，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知1人通话交流次，则可表示出一共通话的次数，可列出方程． 【详解】解：设这些朋友一共x人， 根据题意得，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键． 10. 对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线 B. 函数的最大值是3 C. 开口向下，顶点坐标 D. 当时，随的增大而增大. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 11. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 12. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，熟练掌握抛物线与x轴交点的纵坐标为0是解题的关键． 13. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 14. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：B 15. 如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同， ， 则， 故选：A． 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：3． 17. 若是关于x的二次函数，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得，且，求解即可得． 【详解】解：由题意得：，且， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的一般形式的结构特征：（1）函数的关系式是整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不等于零． 18. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是____________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵，， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为： 19. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点是， 当时，． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的解，解一元二次方程的一般方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， 直接开平方得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴或， 解得． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． （1）将先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到（点、、分别与点、、对应），请在图中画出； （2）将绕原点顺时针旋转得到（点、、分别与、、点对应），请在图中画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和旋转： （1）先找到点A，B，C平移后的对应点、、，再顺次连接，即可求解； （2）先找到点A，B，C旋转后的对应点、、，再顺次连接，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 22. 已知关于的方程． （1）判断此方程根的情况； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此得出方程有两个不相等的实数根； （2）将代入原方程可求出，将其代入代数式中即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：将代入方程，得，即， ． 23. 已知二次函数． （1）将二次函数的表达式化为的形式； （2）在平面直角坐标系xOy中，用描点法画出这个二次函数的图象； （3）根据图象直接写出0<x<3时，y的取值范围． x … … y … … 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）y＝ (x-2)2－1 （2）列表 x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （3）观察函数图象知,当0＜x＜3时，＜3． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 25. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质； （1）由旋转的性质易证为等边三角形，即得出，从而可求出； （2）由旋转的性质易证，．又易证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即、、三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 26. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 【答案】（1）每件服装应降价20元； （2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； 【小问2详解】 解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 27. 如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点（1，3）就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点． 设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． （1）求抛物线经过的定点的坐标； （2）是否存在实数，使顶点在轴上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． 【小问1详解】 解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴， ∵，在的图象上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $