精品解析：黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期9年级数学学科期中考试（人教版第二十一章-第二十四章） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 将方程化为一元二次方程3x2﹣8x=10的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（　　） A. 3，﹣8，﹣10 B. 3，﹣8，10 C. 3，8，﹣10 D. ﹣3，﹣8，﹣10 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（　　） A. （1，3） B. （2，﹣1） C. （0，﹣1） D. （0，1） 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 6. 如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 20cm2 B. 15cm2 C. 10cm2 D. 25cm2 7. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 周日，东东从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，东东立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的倍，在整个过程中，东东离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则东东在图书馆查阅资料的时间为（　　） A. 55 B. 40 C. 30 D. 25 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________． 12. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则______． 14. 若是方程的一个根，那么k的值等于______． 15. 抛物线的对称轴是______． 16. 如图，切于点A，连接交于点D，点C为上一点，，则的度数为___________． 17. 若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______． 18. 二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是_____． 19. 已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为______． 20. 如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后的坐标是_______． 三、解答题（本题共7道大题，满分60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到． 26. 22022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元． （1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？ 27. 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期9年级数学学科期中考试（人教版第二十一章-第二十四章） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 将方程化为一元二次方程3x2﹣8x=10的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（　　） A. 3，﹣8，﹣10 B. 3，﹣8，10 C. 3，8，﹣10 D. ﹣3，﹣8，﹣10 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元二次方程3x2﹣8x=10的一般形式3x2﹣8x﹣10=0， 其中二次项系数3，一次项系数﹣8，常数项是﹣10， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练掌握系数概念和常数项概念是基础． 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 3. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形． 故选：B． 4. 将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（　　） A. （1，3） B. （2，﹣1） C. （0，﹣1） D. （0，1） 【答案】B 【解析】 【详解】解：二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1， 即y=（x﹣2）2﹣1， 所以顶点坐标为（2，﹣1）， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，根据“左加右减，上加下减”解决问题． 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答，②当绕点旋转圈数时，，即可得到答案． 【详解】解：①如图， ∵， ∴， ∵绕点旋转到得到， ∴， ∴， ∴． ②当绕点旋转圈数时，， 故最小旋转度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 6. 如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 20cm2 B. 15cm2 C. 10cm2 D. 25cm2 【答案】A 【解析】 【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A． 7. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 【答案】C 【解析】 【详解】解：设票股价的平均增长率x. 则 即 故选C 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5， ∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米， 把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2， 解得：x=±3， 2×3﹣4=2， 所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米， 故选B． 9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 10. 周日，东东从家步行到图书馆查阅资料，查完资料后，东东立刻按原路回家．已知回家时的速度是去时速度的倍，在整个过程中，东东离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则东东在图书馆查阅资料的时间为（　　） A. 55 B. 40 C. 30 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象可得，东东从家步行到图书馆的速度为，则回家时的速度为，以此可求出回家所用的时间，再用总的时间减去去图书馆和回家的时间即可选择． 【详解】解：根据图象可知， 东东从家步行到图书馆的速度为： ， ∵回家时的速度是去时速度的倍， ∴回家时的速度为： ， 则回家所用的时间为： ， ∴东东在图书馆查阅资料的时间为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 点与点关于原点对称，则点的坐标是_________． 【答案】（﹣2，﹣1）． 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1）， 故答案为（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标． 12. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 13. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，由此即可解决问题． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征． 14. 若是方程的一个根，那么k的值等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中得： ， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 15. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是直线即可确定． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易． 16. 如图，切于点A，连接交于点D，点C为上一点，，则的度数为___________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 17. 若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】12或16 【解析】 【分析】分6为等腰三角形的腰长和6为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当6为等腰三角形的腰长时，则 关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x1=6 代入方程得，36-48+m=0 解得m=12 则方程为 x2−8x+12=0 解方程，得另一个根为x2=2 ∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理； （2）当6为等腰三角形的底边长时，则 关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根 ∴根的判别式 解得，m=16 则方程为x2−8x+16=0 解方程，得 x1=x2=4 ∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理． 综上，m的值为12或16． 故答案为：12或16． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的定义，三角形的三边关系定理等知识点．正确分两种情况讨论是解题关键． 18. 二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜﹣ ． 【解析】 【详解】因为二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，所以△＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0，解得k＜﹣，故答案为k＜﹣． 19. 已知正方形的边长为8，点E为正方形边上一点，，则线段的长为______． 【答案】6或 【解析】 【分析】直接根据正方形的性质进行计算可得答案． 【详解】解：当点E在边上时，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当点E在边上时，如图： ∵，， ∴． 故答案为：6或． 【点睛】此题考查的是正方形的性质，能够进行分类讨论是解决此题的关键． 20. 如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，B的坐标为，点P是内切圆的圆心．将沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2023次滚动后的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律及三角形内切圆与内心，依次求出前三次滚动后圆的内心的对应点的坐标，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：如图，设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ，， ，， ∴在中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，点坐标为， ∵，即点P到三边距离都相等， ∴每次滚动后点纵坐标都为， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，且， 第2023次滚动后点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，满分60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法分解因式是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ，， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，， 解得：，． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 25. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF． （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　 　点，按顺时针方向旋转　 　度得到． 【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）A；90 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，用SAS证明△ADE≌△ABF； （2）△ADE与△ABF的公共顶点是旋转中心，对应线段的夹角是旋转角． 【详解】解：（1） 略 （2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心点A，按顺时针方向旋转90度得到． 故答案为A，90． 26. 22022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元． （1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式； （2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当销售单价为65元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为2825元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，在顶点出取最大值即可． 【小问1详解】 解：设日销售量（件与销售单价（元的函数关系式是， 点，点在该函数图象上， ， 解得， 即日销售量（件）与销售单价（元）的函数关系式是； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 即该批玩具的日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式是； 【小问3详解】 解：由（2）知：， 该函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，此时， 答：当销售单价为65元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为2825元． 27. 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)； （2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16； （3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)． 【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线， ，解得：， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为． （2） 当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为． 假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ． ， ． ， 当时，的面积最大， 最大面积是 16 ． ， 存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ． （3） 设点的坐标为，则点的坐标为， ． 又， ． 当时， 有， 解得：，， 点的坐标为或； 当或时， 有， 解得：，， 点的坐标为，或，． 综上所述：点的坐标为，、、或，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $