15.2 线段的垂直平分线（4个知识点+3个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

15.2 线段的垂直平分线 课程标准 学习目标 ①理解线段垂直平分线的概念； ②探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ③会尺规作线段的垂直平分线。 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理，并能运用其解决相关问题； 2.能够用尺规作已知线段的垂直平分线； 知识点01 作线段垂直平分线 ·尺规作线段的垂直平分线：如图， 步骤1.分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F． 步骤2.过点E、F作直线． 则直线EF就是线段AB的垂直平分线 【即学即练1】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，直线在网格线上． (1)画出关于直线对称的； (2)作线段的垂直平分线，交于点，交于点． 【即学即练2】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，已知，P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点02 线段的垂直平分线的性质定理 ·性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 如图，证明思路：利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵MN⊥AB于点O，AO=BO，P在直线MN上，∴PA=PB 【即学即练3】（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点连接，若，，则的长为 ．    【即学即练4】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 知识点03 线段的垂直平分线的判定定理 ·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 如图，证明思路：①SSS证明△PAQ≌△PBQ；②利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵PA=PB，P在直线MQ上，∴MQ⊥AB，AO=BO 【即学即练5】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； 知识点04 三角形三边垂直平分线的性质 ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 几何表述：如图，在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC 【即学即练6】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【即学即练7】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题： 问题 作法 原理 【题型一：利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长】 例1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 变式1-1.（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于D点，交于E点，的周长为，，则周长为（    ） A． B． C． D． 变式1-2.（2024·安徽安庆·一模）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 例2．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)如图，的周长为18，求的长． (2)求，，求的度数． 【题型二：利用线段垂直平分线的性质求最值】 例3．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 变式3．如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【题型三：线段的垂直平分线与全等三角形综合】 例4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 变式4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 例5．（22-23八年级上·福建龙岩·开学考试）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与的大小关系，并说明理由． 一、选择题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 2．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部 B．三角形三条中线的交点称为三角形的重心 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三边的距离相等 6．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 7．如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．（15-16八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 二、填空题 9．（20-21八年级上·山东济宁·期中）如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 10．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于 ． 三、解答题 12．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 13.（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知：在中，，， (1)作的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)求证：是中点． 14.如图．ABC中，∠B=∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC，QB=RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上． 15．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 15．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．    (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)连接，求证：平分； (3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 16．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 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【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：6． 【即学即练4】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：、分别为、的垂直平分线， ，，，， ∵的周长为， ， ，即， ∵的周长为， ， ， ， 故答案为：6.5． 知识点03 线段的垂直平分线的判定定理 ·判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 如图，证明思路：①SSS证明△PAQ≌△PBQ；②利用SAS证明△PAO≌△PBO 几何表述：∵PA=PB，P在直线MQ上，∴MQ⊥AB，AO=BO 【即学即练5】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； 知识点04 三角形三边垂直平分线的性质 ·三角形的垂直平分线性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 几何表述：如图，在△ABC中， ∵l⊥AB且平分AB，m⊥BC且平分BC，n⊥AC且平分AC， ∴l 、m、 n交于点P，且PA= PB= PC 【即学即练6】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 【即学即练7】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（    ） A．在两边高线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两边垂直平分线的交点处 D．在两内角平分线的交点处 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，可知超市应建在，两边垂直平分线的交点处， 故选：． ·利用线段的垂直平分线，求线段差的最值问题： 问题 作法 原理 【题型一：利用线段垂直平分线的性质求三角形的周长】 例1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 变式1-1.（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，交于D点，交于E点，的周长为，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由是的垂直平分线，得到，，进而得到，从而推出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 周长为． 故选：B． 变式1-2.（2024·安徽安庆·一模）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换，根据的周长为15可计算出的长． 【详解】解：由作法得，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， 即， ∴， 解得， ∴． 故答案为：5． 例2．如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)如图，的周长为18，求的长． (2)求，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算； （2）由对顶角相等得，根据垂直的定义得到，由（1）知，可得又，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）垂直平分， ， ， 又， ， 又的周长， ， ； （2）， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 【题型二：利用线段垂直平分线的性质求最值】 例3．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 变式3．如图，在中，，，，垂直平分，点为形线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，设交于点，连接，根据垂直平分线的性质得出 ，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直平分， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ∵，， ∴的周长最小值为： 故选B． 【题型三：线段的垂直平分线与全等三角形综合】 例4．（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线是线段的垂直平分线，理由见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定； （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）根据垂直平分线的判定即可得出证明； 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）是线段的垂直平分线，理由如下： ∵，， ∴在的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线． 变式4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）猜想：、，证明如下： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴，平分， ∴，， ∴，． 例5．（22-23八年级上·福建龙岩·开学考试）如图， 中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、． (1)求证：； (2)请你判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，垂直平分线的性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）先利用判定，从而得出； （2）再利用全等的性质可得，再有，从而得出，两边和大于第三边从而得出． 【详解】（1）证明：， ． 为的中点， 又， 在与中， ． ． （2）证明：． ， ，． 又， （垂直平分线到线段端点的距离相等）． 在中，， 即． 一、选择题 1．（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上．根据线段的垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上， ∴到三个顶点的距离相等的点应该在各边的垂直平分线上， ∴凉亭应选的位置是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C 3．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知直线l是线段的垂直平分线，垂足为O，M，N是直线l上两点．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分的性质和全等三角形的判定和性质，根据垂直平分的性质得，，，结合即可证明，则有即可逐个判断选项． 【详解】解：有题意知，，，，则C正确； ∵， ∴，则A正确； ∴，则D正确； 无法证明， 故选：B． 4．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）到三角形的三个顶点距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 【详解】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（    ） A．三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部 B．三角形三条中线的交点称为三角形的重心 C．三角形的一个外角等于两个内角的和 D．三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三边的距离相等 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质、重心的概念、画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高、三角形的中线、三角形的外角、线段的垂直平分线，根据三角形的高的定义、三角形的中线的定义、三角形的外角的性质、线段的垂直平分线的性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、三角形三条高线所在直线的交点在三角形内部、外部或斜边上，该选项说法错误，不符合题意； 、三角形三条中线的交点称为三角形的重心，该选项说法正确，符合题意； 、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，该选项说法错误，不符合题意； 、三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等，该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 6．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接的周长为，边的长为7，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 7．如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵是中边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B. 8．（15-16八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 二、填空题 9．（20-21八年级上·山东济宁·期中）如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 【答案】/20厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出即可． 【详解】∵垂直平分于点F， ∴， ∵， ∴， 即， ∵垂直平分于点D， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， ， 的周长为， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故答案为：8． 11．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于 ． 【答案】19 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：19． 三、解答题 12．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 13.（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，已知：在中，，， (1)作的垂直平分线，分别交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)求证：是中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上 并灵活运用是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）求出，由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，进而得出，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即是中点． 14.如图．ABC中，∠B=∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC，QB=RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】根据全等三角形的判定定理证明BQPCRQ，得到QP=QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论． 【详解】证明：连接PQ， 在BQP和CRQ中，， ∴BQPCRQ， ∴QP=QR， ∴点Q在PR的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质以及线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 15．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，边，的垂直平分线交于点． (1)求证：； (2)求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据垂直平分线的性质直接可得到答案； （2）根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵边、的垂直平分线交于点， ∴，， ∴； （2）证明：∵边，的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 点在的垂直平分线上． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 15．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点．    (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)连接，求证：平分； (3)设，其他条件不变时，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】（）连接，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解； （）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）如图，连接，，    ∵垂直平分，垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）由（）知，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， 同理， ∴，即平分； （3）∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， 设，， ∴，， 在中，，， ∴，即， 在四边形中，， ∴． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 16．教材呈现：以下是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连结．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图1，，垂足为点C、，点P是直线上的任意一点． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． 请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （1）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，垂足分别为M，N，，直接写出的周长为__________． （2）如图③，在中，，，E、P分别是上任意一点，若，的面积为30，直接写出的最小值是__________． 【答案】教材呈现：证明见解析；定理应用：（1）30；（2）． 【知识点】线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、最短路径问题 【分析】教材呈现：证明即可得证； （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （2）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴； 定理应用： （1）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为20． 故答案为：30； （2）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$