15.1 轴对称图形（4个知识点+7个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

15.1 轴对称图形 课程标准 学习目标 ①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 ②能画出简单平而图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 ③认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 1.了解轴对称和轴对称图形的概念，理解轴对称和轴对称图形之间的区别与联系，能够识别简单的轴对称图形，并指出其所有的对称轴； 2.知道轴对称和轴对称图形的性质,能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形； 3.掌握坐标平面内关于x轴、y轴对称的点的坐标间的关系。 知识点01 轴对称图形与对称轴 ·如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【即学即练1】（24-25八年级上·全国·期中）下面电路元件的符号中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． ·常见的轴对称图形及其对称轴数量： 轴对称图形 圆 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 线段 角 对称轴 无数 4 2 3 1 1 2 1 1 【即学即练2】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的学习用具中，不是轴对称图形的是（    ） A． B．C． D． 【即学即练3】（23-24八年级上·山东聊城·期中）在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是（   ） A．角、圆 B．角、直角梯形、圆 C．角、线段、圆 D．角、线段、锐角三角形 知识点02 成轴对称图形 ·成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点） 【即学即练4】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   ·对应点连线段与对称轴的关系：对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段 如图，l为成轴对称图形和的对称轴； 对应点：A和A’，B和B’，C和C’； 对应点的连线段：AA’，BB’，CC’； 对应点连线段的中点：AA’的中点O1，BB’ 的中点O2，CC’ 的中点O3； 对称轴l与对应点连线段的关系：l⊥AA’、 l⊥BB’、 l⊥CC’ ·成轴对称的两个图形全等：对应边相等，对应角相等 【即学即练5】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图和关于直线l对称，则图中一定与相等的是（   ）    A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 知识点03 轴对称和轴对称图形的性质 ·经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线． （线段的垂直平分线是这条线段的对称轴，线段是轴对称图形） ·成轴对称图形的性质： 一般地，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 【即学即练7】如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 知识点04 轴对称性质在坐标系中的应用 ·表示一点关于x轴、y轴的对称点的坐标：已知点P(x,y)，它关于ｘ轴对称的点的坐标为P(x,-y)，它关于ｙ轴对称的点的坐标为P(-x,y)。 【即学即练8】（24-25八年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称得到的点的坐标是 ，点关于轴对称得到的点的坐标是 ． 【即学即练9】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点的对应点分别为点； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 一、轴对称与轴对称图形的区别与联系 ·轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 二、将军饮马问题——利用轴对称的性质求线段和的最小值 ·问题内容：如图1，古希腊一位将军，每天要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营。怎么走，才能使他每天走的路程之和最短？ （图1） （图2） （图3） ·解题方法：如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置 ·方法证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝CB'，C′B＝C'B'， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． ·方法总结：利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”解决问题。 ·题型总结：适用于求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 【题型一：光线反射现象中的轴对称问题】 例1．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式1.（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 光的反射现象中，法线为对称轴，入射光线和反射光线关于法线对称，入射角等于反射角。 【题型二：折叠问题中的轴对称变换】 例2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，若沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，小明同学得出了下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号为 ．    【方法技巧与总结】 折叠前后是成轴对称图形，两个图形成轴对称即两个图形全等，应用对应边相等、对应角相等转化边角关系进行解题。 【题型三：台球桌面上的轴对称问题】 例3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    例4.如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    变式4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【方法技巧与总结】桌球碰到桌面上，再反弹回去，其运动路线和光的反射相似：反射角等于入射角 【题型四：设计轴对称图案】 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（   ）个． A． B． C． D． 变式5.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，满足条件的点共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】①确定对称轴；②作对称点；③画对称图形；④分类讨论对称点的位置 【题型五：轴对称与坐标变换】 例6．（24-25八年级上·天津河西·期中）点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式6．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）已知点落在轴上，那么点P关于轴对称的点的坐标为 ． 例7．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 【题型六：在坐标系中作轴对称图形】 例8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是 ； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型七：利用轴对称求最短距离】 例9．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 例10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 一、选择题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）   A． B． C． D．   4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，内有一点P，P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于A、B点．若的长为16，则的周长为 ． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中．点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 °． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如果点和点关于x轴对称，那么的值是 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线m成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出； (2)连接，则与m的关系是； (3)在直线m上找一点P，使得值最小． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）△ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示． (1)分别写出、点的坐标； (2)请你帮小颖在这个坐标系内画出，使与关于轴对称，并帮小颖写出点和点的坐标； (3)请画出，使与关于轴对称，请写出点和点的坐标． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，； (2)在（）的条件下，写出点，，的坐标． 14．（23-24八年级上·黑龙江黑河·阶段练习）如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.1 轴对称图形 课程标准 学习目标 ①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 ②能画出简单平而图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 ③认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 1.了解轴对称和轴对称图形的概念，理解轴对称和轴对称图形之间的区别与联系，能够识别简单的轴对称图形，并指出其所有的对称轴； 2.知道轴对称和轴对称图形的性质,能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形； 3.掌握坐标平面内关于x轴、y轴对称的点的坐标间的关系。 知识点01 轴对称图形与对称轴 ·如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【即学即练1】（24-25八年级上·全国·期中）下面电路元件的符号中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． ·常见的轴对称图形及其对称轴数量： 轴对称图形 圆 正方形 长方形 等边三角形 等腰三角形 等腰梯形 菱形 线段 角 对称轴 无数 4 2 3 1 1 2 1 1 【即学即练2】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的学习用具中，不是轴对称图形的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C不能找到一条直线，使图形折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形； 故选C． 【即学即练3】（23-24八年级上·山东聊城·期中）在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是（   ） A．角、圆 B．角、直角梯形、圆 C．角、线段、圆 D．角、线段、锐角三角形 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念容易得出结果． 【详解】解：在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是： 角、线段、圆； 直角梯形不是轴对称图形，若锐角三角形不是等腰三角形就不是轴对称图形． 故选：C． 知识点02 成轴对称图形 ·成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点） 【即学即练4】（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意； B．两个图形不成轴对称，不符合题意； C．两个图形不成轴对称，不符合题意； D．两个图形成轴对称，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． ·对应点连线段与对称轴的关系：对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段 如图，l为成轴对称图形和的对称轴； 对应点：A和A’，B和B’，C和C’； 对应点的连线段：AA’，BB’，CC’； 对应点连线段的中点：AA’的中点O1，BB’ 的中点O2，CC’ 的中点O3； 对称轴l与对应点连线段的关系：l⊥AA’、 l⊥BB’、 l⊥CC’ ·成轴对称的两个图形全等：对应边相等，对应角相等 【即学即练5】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图和关于直线l对称，则图中一定与相等的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形的对应边相等，即可得出结果． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴； 故选A． 【即学即练6】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、画对称轴 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是找到对称轴． （1）连接，所在直线即为所求． （2）连接交于点P，连接交于点F，即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求． ∵， ∴， ∴和关于直线l对称． 即直线l为四边形的对称轴． （2）解：如图，即为所求． 根据（1）可得，和关于对称， ∴， ∴， ∴， 即． 知识点03 轴对称和轴对称图形的性质 ·经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线． （线段的垂直平分线是这条线段的对称轴，线段是轴对称图形） ·成轴对称图形的性质： 一般地，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 【即学即练7】如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】此题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两个三角形全等，且对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点的连线，且平分对应点与对称轴上某点连线的夹角，根据轴对称的性质依次判断． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，直线平分, 正确的有（1）（2）（3）， 故选：A． 知识点04 轴对称性质在坐标系中的应用 ·表示一点关于x轴、y轴的对称点的坐标：已知点P(x,y)，它关于ｘ轴对称的点的坐标为P(x,-y)，它关于ｙ轴对称的点的坐标为P(-x,y)。 【即学即练8】（24-25八年级上·北京·期中）平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称得到的点的坐标是 ，点关于轴对称得到的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握：①关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴点关于轴对称得到的点的坐标是，点关于轴对称得到的点的坐标是． 故答案为：；． 【即学即练9】（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点的对应点分别为点； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． （1）分别作出点关于轴对称的点，然后顺次连接； （2）根据的位置写出点的坐标． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）解：点的坐标为，，． 一、轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 二、将军饮马问题——利用轴对称的性质求线段和的最小值 ·问题内容：如图1，古希腊一位将军，每天要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营。怎么走，才能使他每天走的路程之和最短？ （图1） （图2） （图3） ·解题方法：如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置 ·方法证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝CB'，C′B＝C'B'， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． ·方法总结：利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”解决问题。 ·题型总结：适用于求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 【题型一：光线反射现象中的轴对称问题】 例1．（2024·河南平顶山·三模）光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式1.（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余求出，进而可得，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 【方法技巧与总结】 光的反射现象中，法线为对称轴，入射光线和反射光线关于法线对称，入射角等于反射角。 【题型二：折叠问题中的轴对称变换】 例2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 根据平行线的性质和折叠的性质可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：∵，将沿折叠，、两点分别与、对应， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，，若沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，小明同学得出了下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论序号为 ．    【答案】①②④ 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，，可知①②正确；由，可得，则，，可知④正确；由，可知③错误；然后作答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ∴①②正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴， ∴，，④正确，故符合要求； ∴，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②④． 【方法技巧与总结】 折叠前后是成轴对称图形，两个图形成轴对称即两个图形全等，应用对应边相等、对应角相等转化边角关系进行解题。 【题型三：台球桌面上的轴对称问题】 例3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 例4.如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    【答案】 【知识点】点坐标规律探索、台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 变式4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 【方法技巧与总结】桌球碰到桌面上，再反弹回去，其运动路线和光的反射相似：反射角等于入射角 【题型四：设计轴对称图案】 例5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握“轴对称的性质”是解题的关键．若两个图形关于某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定义逐一分析可得答案． 【详解】解：符合题意的图案有： 符合要求．的白色小正方形有个， 故选：C 变式5.（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，点、、都在方格纸的格点上，请你再找一个格点，使点、、、组成一个轴对称图形，满足条件的点共有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，以的垂直平分线和所在直线为对称轴，即可得出满足条件的点；关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：根据图形的对称性，以的垂直平分线和所在直线为对称轴，可得满足条件的点共有2个， 如图： 故选：B． 【方法技巧与总结】①确定对称轴；②作对称点；③画对称图形；④分类讨论对称点的位置 【题型五：轴对称与坐标变换】 例6．（24-25八年级上·天津河西·期中）点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化：轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质求出对称点的横坐标，即可得解； 【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标是， ， 解得：， 对称点的坐标是， 故选：B． 变式6．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）已知点落在轴上，那么点P关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了轴上点的坐标性质以及关于轴对称的点坐标性质，得出m的值是解题关键． 依据点在x轴上，即可得到，进而得出，再根据点P1与点P关于y轴对称，即可解答． 【详解】解：∵点落在轴上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P关于轴对称的点的坐标为． 故答案为： 例7．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵和点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：5． 【题型六：在坐标系中作轴对称图形】 例8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： (1)在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是 ； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，5 (2)图见解析 (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形 【分析】本题考查了坐标与图形以及画轴对称图形，掌握相关结论即可． （1）利用“割补法”即可求解； （2）确定各顶点关于x轴的对称点即可完成作图； （3）设点P坐标为，由题意得，，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 的面积， 故答案为： （2）解：如图所示： （3）解：设点P坐标为， 由题意得，， 解得或 ∴点P的坐标为或 【题型七：利用轴对称求最短距离】 例9．（23-24八年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，首先得到当点B，C，D三点共线时，最小，然后求出所在直线的表达式为，然后当时求出，即可求出点C的坐标． 【详解】如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C， ∴ ∴当点B，C，D三点共线时，最小． ∵ ∴ ∴设所在直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∴当时， 解得 ∴点的坐标是． 故答案为：． 例10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 【答案】（1）图见详解；（2）；（3）；（4）图见详解 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查坐标与图形—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于y轴对称的点，进而问题可求解； （2）根据（1）中图形可进行求解； （3）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （4）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解 【详解】解：（1）所作如图所示： （2）由（1）图可得： 故答案为； （3）由题意得：内一点，在内的对称点的坐标为； 故答案为； （4）先作点B关于y轴的对称点D，连接，则与y轴的交点即为所求的点P，如图所示： 一、选择题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）在美术字中，有些汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】A、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； B选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）围棋被认为是世界上最复杂的棋盘游戏，中国古代称之为“弈”，蕴含着中华优秀的传统文化，下面四个围棋图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，即“如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴”，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义，A选项是轴对称图形， 故选：A． 3．（22-23八年级下·河北邢台·开学考试）如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   【答案】A 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断. 【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是   故选：A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形. 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【答案】 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 7．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，内有一点P，P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H，分别交、于A、B点．若的长为16，则的周长为 ． 【答案】16 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后可得答案． 【详解】解：∵P点关于的轴对称点是G，P点关于的轴对称点是H， ∴，， ∵的长为16， ∴的周长为：， 故答案为：16． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中．点是上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为点，，则的度数为 °． 【答案】76 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】此题考查翻折的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．根据三角形内角和和翻折的性质解答即可． 【详解】解：，将△沿着翻折得到， ， ， ． 故答案为：76． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如果点和点关于x轴对称，那么的值是 ． 【答案】6 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查两点关于x轴对称的点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标相同． 两点关于x轴对称，纵坐标应互为相反数． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ， ∴， 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线m成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出； (2)连接，则与m的关系是； (3)在直线m上找一点P，使得值最小． 【答案】(1)见解答 (2) (3)见解答 【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质可知，． （3）连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴． 故答案为：． （3）解：如图，连接，交直线于点，连接， 此时值最小，则点即为所求． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用3种不同的方法） 【答案】见解析 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）△ABC在平面直角坐标系内的位置如图所示． (1)分别写出、点的坐标； (2)请你帮小颖在这个坐标系内画出，使与关于轴对称，并帮小颖写出点和点的坐标； (3)请画出，使与关于轴对称，请写出点和点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)见解析，， 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质及作图，熟练掌握关于坐标轴对称的点的特征是解题的关键． （1）由、、在坐标系内的位置可得答案； （2）分别确定、、关于轴对称的对应点，，，再顺次连接即可； （3）根据关于轴对称的点的坐标特点可得答案． 【详解】（1）解：由、、在坐标系内的位置可得，； （2）解：如图所示是所画的图形： 根据，在坐标系内的位置可得：；； （3）解：如图所示， ∵与关于轴对称， ∴点和点的坐标为：，． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴对称的图形，点，，的对应点分别为点，，； (2)在（）的条件下，写出点，，的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，． 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（）分别作出点关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （）根据平面直角坐标系特点，写出的坐标即可； 本题考查了根据轴对称变换作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：分别作出点关于轴对称的点，然后顺次连接，如图， ∴即为所求； （2）解：根据（）可得： ，，． 14．（23-24八年级上·黑龙江黑河·阶段练习）如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接． (1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度； (3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． (4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)存在，或或或 【知识点】轴对称中的光线反射问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线段最短 【分析】（1）根据完全平方数和绝对值的非负性得到，，解一元一次方程即可得出答案； （2）过点作轴于点，易证得，于是可得，，进而可求出点的坐标，又可得出，于是可求出的度数； （3）由（2）可得，因此，，于是可推出，进而可求出，于是，，据此即可求出点的坐标；取点，连接，连接交于点，易证得，于是有，，进而可证得垂直平分，连接交于点，连接，则，此时最小，，然后由角平分线的性质及三角形的面积公式即可得出此时与之间的数量关系； （4）当点在轴上运动时，点在直线上运动，根据垂线段最短可知：当时，最短，过点作于点，过点作于点，进而可求得点的坐标，设，若是等腰三角形，则分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别列方程求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，, 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 在等腰直角中，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， ，， 又， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接，连接交于点， ， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， 垂直平分， 点与点关于直线对称， 如图，连接交于点，连接， 垂直平分， ， 此时最小，， ， 是的角平分线， 点到，的距离相等， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：，； （4）解：存在，理由如下： 由（2）、（3）可得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短可知：当时，最短， 如图，过点作于点，过点作于点， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 设，若是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时， 则有：， 即：， 解得：， ； 当时， 则有：， 即：， 解得：，， 或； 当时， 则有：， 即：， 解得：（此时点与点重合，故舍去），， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质（及），已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，等式的性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，轴对称中的光线反射问题，角平分线的性质，三角形的面积公式，垂线段最短，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直接开平方法解一元二次方程等知识点，正确作出辅助线并运用分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$